湖南省雅禮教育集團(tuán)（七校）2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

【新結(jié)構(gòu)】20232024學(xué)年度湖南省雅禮教育集團(tuán)2024年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則(

)A. B. C. D.2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則為A. B.5 C.2 D.3.設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是(

)A.內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B.，垂直于同一個(gè)平面

C.，平行于同一條直線 D.，垂直于同一條直線4.定義在R上的函數(shù)滿足，且，則(

)A. B.0 C.1 D.35.已知向量，滿足，，則在方向上的投影向量為(

)A.2 B. C. D.6.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為(

)A. B. C. D.7.某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量一個(gè)球體建筑物的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)切點(diǎn)，地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若小明同學(xué)在B，C處分別測(cè)得球體建筑物的最大仰角為和，且米，則該球體建筑物的高度為米．

A. B. C. D.8.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，SC的中點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)E作與SC垂直的平面，則平面截正四棱錐所得的截面面積為A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.學(xué)?！拔磥?lái)杯”足球比賽中，甲班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為乙班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，你認(rèn)為下列說(shuō)法中正確的是(

)A.平均來(lái)說(shuō)乙班比甲班防守技術(shù)好

B.乙班比甲班防守技術(shù)更穩(wěn)定

C.乙班在防守中有時(shí)表現(xiàn)非常好，有時(shí)表現(xiàn)比較差

D.甲班很少不失球10.伯努利試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種隨機(jī)試驗(yàn)，其特點(diǎn)是每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果.若連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，記錄這n次試驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)事件“n次試驗(yàn)結(jié)果中，既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面”，事件“n次試驗(yàn)結(jié)果中，最多只出現(xiàn)一次反面”，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若，則M與N不互斥 B.若，則M與N相互獨(dú)立

C.若，則M與N互斥 D.若，則M與N相互獨(dú)立11.如圖，在四邊形ABCD中，和是全等三角形，，，，下面有兩種折疊方法將四邊形ABCD折成三棱錐.折法①將沿著AC折起，得到三棱錐，如圖折法②將沿著B(niǎo)D折起，得到三棱錐，如圖下列說(shuō)法正確的是

A.按照折法①，三棱錐的外接球表面積恒為

B.按照折法①，存在滿足

C.按照折法②，三棱錐體積的最大值為

D.按照折法②，存在滿足平面，且此時(shí)BC與平面所成線面角正弦值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)定點(diǎn)__________.13.如圖所示，已知平面ABC，，，則__________.

14.已知向量，滿足，，則的最大值為_(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題12分已知函數(shù)求的最小正周期求的最小值以及取得最小值時(shí)x的集合.16.本小題12分記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足求角若，，AD是中線，求AD的長(zhǎng).17.本小題12分我校在2021年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)共分成五組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時(shí)規(guī)定成績(jī)?cè)?5分以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績(jī)小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格.根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)與平均數(shù);如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中共選出5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少?18.本小題12分如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)M和點(diǎn)N在棱上，且求證：平面求證：19.本小題12分

已知平面四邊形ABCD，，，，現(xiàn)將沿BD邊折起，使得平面平面BCD，此時(shí)，點(diǎn)P為線段AD的中點(diǎn).

求證：平面若M為CD的中點(diǎn)，求MP與平面BPC所成角的正弦值;在的條件下，求二面角的平面角的余弦值.

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了集合的表示方法以及集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

先求出集合M，再根據(jù)交集運(yùn)算即可求得結(jié)論．

【解答】

解：集合，

，

故選：2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)的除法法則求出復(fù)數(shù)z，再求出，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

所以

故選3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了充要條件的定義和面面平行的判定定理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

由充要條件的定義結(jié)合面面平行的判定定理可得結(jié)論．【解答】

解：內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行不能得出，內(nèi)的所有直線與平行才能得出：

，垂直于同一平面或，平行于同一條直線，不能確定，的位置關(guān)系：

，垂直于同一條直線可以得出，反之當(dāng)時(shí)，若垂于某條直線，則也垂于該條直線.

故選4.【答案】D

【解析】【分析】本題重點(diǎn)考查利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

求出周期，利用周期性即可求解.【解答】

解：因?yàn)椋?/p>

則，

從而，即以4為周期，

故5.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了投影向量，屬于基礎(chǔ)題.【解答】

解：根據(jù)定義可知：在方向上的投影向量為，答案選C。6.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查了三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，以及外接球表面積的求解，屬于基礎(chǔ)題

由題意作出圖形，易知球心在三棱柱上、下底面的中心O，連線的中點(diǎn)處，利用幾何關(guān)系即可求出答案．

【解答】

解：由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，均為

設(shè)O，分別為下、上底面的中心，且球心為的中點(diǎn)，

又，，，設(shè)球的半徑為R，

則，

所以

故選7.【答案】B

【解析】【分析】本題主要正弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

設(shè)該球體建筑物的高度為x，球心為O，用x表示出OB的長(zhǎng)度，再在中，結(jié)合正弦定理進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】

解：設(shè)該球體建筑物的高度為x，球心為O，連接OA，OB，OC，如圖，

在中，，，

則，

在中，，，，，

由正弦定理可得，

則

故選8.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查空間幾何體的截面問(wèn)題截面形狀、面積，利用余弦定理解三角形，屬于中檔題.

根據(jù)給定條件，作出平面截正四棱錐所得的截面，再借助余弦定理、三角形面積公式求解作答.

【解答】

解：在正四棱錐

中，連接

AC

，則

，

是正三角形，由

SC

的中點(diǎn)為E，得

，而

，則

，在

中，

，

，令平面

與直線

SB

交于

F

，連

，則

，

，即點(diǎn)

F

在棱

SB

上，同理平面

與棱

SD

相交，令交點(diǎn)為

G

，連

，于是四邊形

AFEG

為平面

截正四棱錐

所得的截面，由對(duì)稱性知

≌

，在

中，

，而

，在

中，

，由余弦定理得

，在

中，

，

，所以所得截面面積

.故選：A9.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，屬于基礎(chǔ)題.【解答】

解：A從平均數(shù)角度考慮是對(duì)的;

B從標(biāo)準(zhǔn)差角度考慮是錯(cuò)的;

C從標(biāo)準(zhǔn)差角度考慮是對(duì)的;

D從平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差角度考慮是對(duì)的.10.【答案】AD

【解析】【分析】本題主要考查互斥事件與對(duì)立事件的相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

若，寫出對(duì)應(yīng)的樣本空間即可判斷A和B；若，寫出對(duì)應(yīng)的樣本空間，即可判斷C和【解答】

解：若，樣本空間為正,正正,反反,正反,反，正,反反,正，正,正正,反反,正，正,反反,正，則M與N不互斥，，

于是，所以M與N不相互獨(dú)立，則A正確、B錯(cuò)誤；

若，樣本空間為正,正,正正,正,反正,反,正反,正,正正,反,反反,正,反反,反,正反,反,反，正,正,反正,反,正反,正,正正,反,反反,正,反反,反,正，正,正,正正,正,反正,反,正反,正,正，正,正,反正,反,正反,正,正，則M與N不互斥，，于是，所以M與N相互獨(dú)立，則C錯(cuò)誤，D正確.

故選：11.【答案】ACD

【解析】【分析】本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積，棱錐體積，線面角的求解，屬于中檔題.

由已知利用棱錐的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積判斷A；由棱錐棱錐結(jié)構(gòu)特征判斷B；由棱錐體積判斷C；由線面角的定義求出大小判斷【解答】解：由題意知，，

取AC的中點(diǎn)O，由于和是直角三角形且全等，

故，

故在折法①的折疊過(guò)程中，三棱錐的外接球的球心為O，半徑為1，

故該球的表面積恒為，故A選項(xiàng)正確；

按照折法①，在折起過(guò)程中，點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的投影在線段BD上不包括端點(diǎn)，

而線段不包括端點(diǎn)不存在使得，故不存在滿足，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

按照折法②，取BD的中點(diǎn)H，，

當(dāng)平面平面BCD時(shí)，三棱錐體積取得最大值，

此時(shí)體積，故C選項(xiàng)正確;

當(dāng)時(shí)，，，

故此時(shí)，，

又因?yàn)?，平面?/p>

故平面，

故為BC與平面所成線面角，

則，故D選項(xiàng)正確.

故選

12.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：當(dāng)且時(shí)，令得，，此時(shí)，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)定點(diǎn)故答案為：13.【答案】12

【解析】【分析】本題考查向量的模的求法，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

由題意，可得，計(jì)算，從而得出結(jié)果.【解答】解：已知平面，

AB，BC在平面ABC內(nèi)，所以，

三角形ABC中，，

則，，

故答案為：14.【答案】

【解析】【分析】本題考查向量模的坐標(biāo)表示、向量數(shù)量積與向量的垂直關(guān)系。

根據(jù)題意可得，即可建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由得，則，結(jié)合三角函數(shù)設(shè)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值.【解答】解：取平行四邊形OACB，連接OC

設(shè)，則，因?yàn)橄蛄?，滿足，所以，即，設(shè)，，如圖以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則所以，則，故，所以因?yàn)椋?，可設(shè)即，所以，其中，所以，所以故的最大值為，即的最大值為故選：15.【答案】解：由得，

所以；

由知，此時(shí)，即，

故x的集合為

【解析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式即可求得答案；

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】解：因?yàn)?，由正弦定理可知：，，，又A為三角形內(nèi)角，所以由，得，又，在中由余弦定理得：，所以

【解析】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，向量數(shù)量積，屬于中檔題.17.【答案】解：第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為，

第四組的頻率為，第五組的頻率為，所以中位數(shù)在第三組，不妨設(shè)為x，則，解得，平均數(shù)為；根據(jù)題意，“良好”的學(xué)生有人，“優(yōu)秀”的學(xué)生有人，所以分層抽樣得“良好”的學(xué)生有人，“優(yōu)秀”的學(xué)生有人，將三名優(yōu)秀學(xué)生分別記為，兩名良好的學(xué)生分別記為，則這5人中選2人的基本事件有：共10種，其中至少有一人是“優(yōu)秀”的基本事件有：共9種，所以至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是

【解析】本題考查頻率分布直方圖，考查分層抽樣，簡(jiǎn)單的古典概型計(jì)算，是中檔題.

計(jì)算各組的頻率得中位數(shù)在第三組，不妨設(shè)為x，進(jìn)而根據(jù)求解，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可得答案.由分層抽樣得良好”的學(xué)生有2人，“優(yōu)秀”的學(xué)生有3人，進(jìn)而根據(jù)古典概型求解即可.18.【答案】解：在長(zhǎng)方體中，，

點(diǎn)M和點(diǎn)N在棱上，且，

連接AC、BD，設(shè)，連接ON，則O為AC的中點(diǎn)，

又N為CM的中點(diǎn)，所以，

又平面BDN，平面BDN，

所以平面

在長(zhǎng)方體中，，

則ABCD為正方形，所以，

因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，

，，平面，

所以平面，

平面，所以，

又，，，，

所以，所以∽，

所以，

又，

所以，

所以，

又，BD，平面BDN，

所以平面BDN，

又平面BDN，所以

【解析】本題考查了線面平行的判定、線面垂直的判定和線面垂直的性質(zhì)，是中檔題.

連接AC、BD，設(shè)，連接ON，易得，由線面平行的判定即可得證；

先證明平面BDN，由線面垂直的性質(zhì)即可得證.19.【答案】證明：，，

為等邊三角形，

為AD中點(diǎn)，，

取BD中點(diǎn)E，連接AE，則，

平面平面BCD，平面平面，平面ABD，

平面BCD，又平面BCD，

又，，AD、平面ABD，

平面

平面ABD，

又，CD、平面ACD，

平面解：過(guò)點(diǎn)M作，垂足為如圖所示由知，平面因?yàn)槠矫鍭CD，所以

又，平面BPC，所以平面BPC，所以為MP與平面BPC所成角.由知，平面平面ABD，所以在中，，

，因?yàn)镸為CD的中點(diǎn)，所以在中，，在中，，在中，，所以所以MP與平面BPC所成角的正弦值為取ED的中點(diǎn)為O，連接PO，因?yàn)镻為線段AD的中點(diǎn)，所以，由知，平面BCD，所以平面

又平面BCD，所以