高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題階段滾動(dòng)檢測(cè)（五）

階段滾動(dòng)檢測(cè)(五)120分鐘150分一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2024·武漢模擬)過點(diǎn)(1,0)且與直線x+2y2=0垂直的直線方程為()A.x2y1=0 B.x2y+1=0C.2xy2=0 D.2x+y1=0【解析】選C.由直線x+2y2=0可得其斜率為12,則與其垂直的直線斜率為故過點(diǎn)(1,0)且與直線x+2y2=0垂直的直線方程為y=2(x1),即:2xy2=0.2.(2024·湛江模擬)漢代初年成書的《淮南萬畢術(shù)》記載:“取大鏡高懸,置水盆于下,則見四鄰矣.”這是中國(guó)古代人民利用平面鏡反射原理的首個(gè)實(shí)例,體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一條光線從點(diǎn)(2,0)射出,經(jīng)y軸反射后的光線所在的直線與圓x2+y22x2y=0相切,則反射光線所在直線的斜率為()A.1 B.1或1C.1 D.2【解析】選C.易知(2,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2,0),由平面鏡反射原理,反射光線所在的直線過(2,0)且與該圓相切,將圓x2+y22x2y=0化簡(jiǎn)后可得(x1)2+(y1)2=2,所以圓心為(1,1),易知(2,0)在該圓上,所以(2,0)即為切點(diǎn),因此圓心與切點(diǎn)連線與反射光線垂直,設(shè)反射光線所在直線的斜率為k,即0-12-1×k=3.(2024·鹽城模擬)已知圓O1:x2+y22x3=0和圓O2:x2+y22y1=0相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)為()A.22 B.25 C.4 D.2【解析】選A.由題意知圓O1:x2+y22x3=0,即圓O1:(x1)2+y2=4,圓心為O1(1,0),半徑r1=2,圓O2:x2+y22y1=0,即圓O2:x2+(y1)2=2,圓心為O2(0,1),半徑r2=2,則r1r2<|O1O2|=12+12=2<r1+r將圓O1:x2+y22x3=0和圓O2:x2+y22y1=0的方程相減,可得直線AB的方程為xy+1=0,則O1(1,0)到直線xy+1=0的距離為|2|2故弦AB的長(zhǎng)為2r12-(4.過雙曲線C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)A作一條漸近線的平行線,交另一條漸近線于點(diǎn)P,△OAP的面積為34(O為()A.32 B.3 C.12 D【解析】選A.雙曲線的右頂點(diǎn)為A(a,0),雙曲線的漸近線方程為y=±bax,由對(duì)稱性,不妨令過A的直線與y=bax平行,則該直線方程為y=ba(由y=解得x=即P(a2,b2則S△OAP=12|OA|·|yP|=14ab=又e=ca=2,a2+b2=c2,解得a=1,b=3所以點(diǎn)A(1,0)到漸近線y=±3x的距離為d=312+5.(2023·全國(guó)甲卷)已知雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,其中一條漸近線與圓(x2)2+(y3)2=1交于A,B兩點(diǎn),則A.15 B.55 C.255 【解析】選D.由e=5,得c2a2=a2+b所以雙曲線的一條漸近線不妨取y=2x,則圓心(2,3)到漸近線的距離d=|2×2-3|22+1=55,6.已知直線l1:4x3y+6=0和直線l2:x=2,拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和l2距離之和的最小值是()A.355+1 B.2 C.165 【解析】選D.由題可知x=1是拋物線y2=4x的準(zhǔn)線,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則F(1,0),所以動(dòng)點(diǎn)P到l2的距離等于P到x=1的距離加1,即動(dòng)點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|+1.所以動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F到直線l1:4x3y+6=0的距離加1,即其最小值是|4-7.(2024·重慶模擬)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn),點(diǎn)M,N滿足=,2=+,若四邊形MONP的周長(zhǎng)等于4b,則橢圓C的離心率e=(A.12 B.22 C.32 【解析】選C.因?yàn)?,所以點(diǎn)M為線段PF1的中點(diǎn),因?yàn)?=+,所以=,即=,所以點(diǎn)N為線段PF2的中點(diǎn),又因?yàn)辄c(diǎn)O為線段F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)M∥PF2且|OM|=12|PF2|,ON∥PF1且|ON|=12|PF所以四邊形MONP的周長(zhǎng)為|PF1|+|PF2|,又因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上不在坐標(biāo)軸上的一點(diǎn),所以|PF1|+|PF2|=2a,所以2a=4b,即ba=1故橢圓C的離心率e=ca=1-b8.(2024·貴陽模擬)我們通常稱離心率為5-12的橢圓為“黃金橢圓”,稱離心率為5+12的雙曲線為“黃金雙曲線A.正△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),則以B,C為焦點(diǎn),且過D,E的橢圓是“黃金橢圓”B.已知ABCDEF為正六邊形,則以A,D為焦點(diǎn),且過B,C,E,F的雙曲線是“黃金雙曲線”C.“黃金橢圓”上存在一點(diǎn),該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直D.“黃金雙曲線”的實(shí)半軸長(zhǎng),一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離,半焦距能構(gòu)成等比數(shù)列【解析】選D.對(duì)于A,以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為2,以B,C為焦點(diǎn),且過D,E的橢圓方程設(shè)為x2a2+y2b2=1(a>b>0),所以|CD|=3,橢圓的離心率為2c2a=|對(duì)于B,以AD的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2,|AD|=4,|FD|=23,以A,D為焦點(diǎn),且過B,C,E,F的雙曲線方程設(shè)為x2a2y2b2=1(a>0,b>0),離心率為2c2a=|對(duì)于C,設(shè)“黃金橢圓”的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0),F2(c,0),由x02a2+y02b2=1,可得y02=b2(1x02a2),=(cx0又因?yàn)椤包S金橢圓”的離心率ca=5所以(ca)2=(5-12)2=3-52,c2=3-52a2,·=(cx0)(cx0)+y02=x02+y02c2=b2(1x02a2)+x所以“黃金橢圓”上不存在一點(diǎn),與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直.故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,設(shè)“黃金雙曲線”的方程為x2a2y2b2=1(a>0,b>0),實(shí)半軸長(zhǎng)為a,一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為b,半焦距為c,因?yàn)殡x心率ca=5+12,b2ac=c2a2ac=(5+1所以b2=ac,a,b,c成等比數(shù)列.故D正確.【加練備選】(2024·武漢模擬)已知a,b∈R,ab<0,函數(shù)f(x)=ax2+b(x∈R).若f(st),f(s),f(s+t)依次成等比數(shù)列,則平面Oxy上的點(diǎn)(s,t)的軌跡是()A.直線和焦點(diǎn)在x軸的橢圓B.直線和焦點(diǎn)在y軸的橢圓C.直線和焦點(diǎn)在x軸的雙曲線D.直線和焦點(diǎn)在y軸的雙曲線【解析】選D.由題意可知,f(st)f(s+t)=[f(s)]2,即[a(st)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2,對(duì)其整理變形:(as2+at2+b2ast)(as2+at2+b+2ast)=(as2+b)2,(as2+at2+b)2(2ast)2(as2+b)2=0,(2as2+at2+2b)at24a2s2t2=0,at2(2as2+at2+2b)=0,因?yàn)閍b<0,所以t=0或2as2+at2+2b=0,即t=0或t2-2所以點(diǎn)(s,t)的軌跡為直線和焦點(diǎn)在y軸的雙曲線.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線l1:4x+3y2=0,l2:(m+2)x+(m1)y5m1=0(m∈R),則()A.直線l2過定點(diǎn)(2,3)B.當(dāng)m=10時(shí),l1∥l2C.當(dāng)m=1時(shí),l1⊥l2D.當(dāng)l1∥l2時(shí),兩直線l1,l2之間的距離為3【解析】選ABD.l2:(m+2)x+(m1)y5m1=0(m∈R)變形為m(x+y5)+2xy1=0,由x+y-5=0,2x-y-1=0當(dāng)m=10時(shí),l1:4x+3y2=0,l2:12x+9y51=0,所以412=39≠-2-51,故兩直線平行當(dāng)m=1時(shí),l1:4x+3y2=0,l2:x2y+4=0,因?yàn)?×1+3×(2)≠0,故兩直線不垂直,故C錯(cuò)誤;當(dāng)l1∥l2時(shí),則滿足m+24=m-13≠-5m-1-2,解得m=10,此時(shí)l1:4x+3y2=0,l2:12x+9y51=0,即410.(2024·西安模擬)已知圓O:x2+y2=4,直線l:mx+ny+3=0,則下列說法正確的是()A.當(dāng)n=3m≠0時(shí),直線l的傾斜角為5πB.當(dāng)m=n=1時(shí),直線l與圓O相交C.圓O與圓E:(x2)2+(y3)2=1相離D.當(dāng)m=0,n=1時(shí),過直線l上任意一點(diǎn)P作圓O的切線,則切線長(zhǎng)的最小值為3【解析】選AC.對(duì)于A:當(dāng)n=3m≠0時(shí),直線l為mx+3my+3=0,所以直線的斜率為m3m=設(shè)傾斜角為α,則tanα=33因?yàn)棣痢?0,π],所以α=5π6,故A正確對(duì)于B:當(dāng)m=n=1時(shí),直線l為x+y+3=0,由x2+y2=4,可得:圓心O(0,0),半徑r=2,所以圓心到直線l的距離d=|3|12+所以圓與直線相離,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:因?yàn)閳AE:(x2)2+(y3)2=1,所以圓心E(2,3),半徑R=1,因?yàn)閨OE|=22+32=13>所以兩圓相離,故C正確;對(duì)于D:當(dāng)m=0,n=1時(shí),直線l為y=3,過直線l上任意一點(diǎn)P作圓O的切線,設(shè)切點(diǎn)為Q,則切線長(zhǎng)|PQ|=|PO|2所以當(dāng)|PO|取得最小值時(shí),|PQ|最小,因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l:y=3上,所以當(dāng)OP⊥l時(shí),|OP|最小,此時(shí)|OP|min=3,所以|PQ|min=32-4=5,故11.(2024·海南模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)為B(0,2),離心率為22,M,N為則()A.C的方程為x24+B.1|MF1C.△MNF2的面積隨周長(zhǎng)變大而變大D.直線BM和BN的斜率乘積為定值1【解析】選AD.由題易知b=2,ca=22,2+c2=a2,解得c=2,a=2,故橢圓方程為x24+y2連接MF1,MF2,NF1,NF2,由橢圓對(duì)稱性知MF1NF2為平行四邊形,|MF1|+|NF1|=|MF1|+|MF2|=2a=4,1|MF1|+4|NF1|=1|MF1|+4|MF2|≥54+14×2|M當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=43,|MF2|=83時(shí)等號(hào)成立,故B對(duì)選項(xiàng)C:由選項(xiàng)B可知:|MF2|+|NF2|=|MF1|+|NF1|=4,設(shè)M(x1,y1),則|OM|=x12+y12=4(1-y122)+y12=4-y12,由對(duì)稱性,不妨設(shè)M在第一象限,故|OM|隨y1的增大而減小,△MNF2的面積隨y1的增大而增大,即△MNF2的面積隨周長(zhǎng)變大而變小,C錯(cuò)誤;對(duì)選項(xiàng)D:設(shè)M(x1,y1),則N(x1,y1),又B(0,2),所以kBM·kBN=y1-2x1因?yàn)辄c(diǎn)M(x1,y1)在橢圓上,結(jié)合選項(xiàng)C,x12=42y12,所以kBM·kBN=y12-三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2024·長(zhǎng)沙模擬)已知圓A:x2+(y3)2=1,過動(dòng)點(diǎn)P作圓A的切線PB(B為切點(diǎn)),使得|PB|=3,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為______________.

答案:x2+(y3)2=4【解析】設(shè)P(x,y),由|PB|=3得|PB|2=3,則x2+(y3)21=3,即x2+(y3)2=4.13.(2024·茂名模擬)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,直線l1,l2均過點(diǎn)F分別交拋物線C于A,B,D,E四點(diǎn),若直線l1,l2斜率乘積的絕對(duì)值為8,則當(dāng)直線l2的斜率為________時(shí),|AB|+|DE|的值最小,最小值為________.

答案:±2218【解析】由題意,拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(2,0),設(shè)直線l1的方程為y=k1(x2),聯(lián)立方程y整理得k12x2(4k12+8)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以|AB|=x1+x2+p=4k12設(shè)直線l2的斜率為k2,同理可得|DE|=x3+x4+p=4k22可得|AB|+|DE|=8k12+8+8k2又由|k1·k2|=8,得|AB|+|DE|=16+8k12+8k2當(dāng)且僅當(dāng)|k1|=|k2|=22時(shí),等號(hào)成立,所以|AB|+|DE|的最小值為18,此時(shí)|k2|=22,k2=±22.14.(2024·福州模擬)光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn);光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出,如圖1,一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)F1、F2的橢圓Γ與雙曲線Ω構(gòu)成,Γ與Ω的離心率之比為3∶4,現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)F1發(fā)出,依次經(jīng)Ω與Γ反射,又回到了點(diǎn)F1,歷時(shí)t1秒;若將裝置中的Ω去掉,如圖2,此光線從點(diǎn)F1發(fā)出,經(jīng)Γ兩次反射后又回到了點(diǎn)F1,歷時(shí)t2秒,則t2t1答案:8【解析】由橢圓定義得|BF1|+|BF2|=2a1①,|AF2||AF1|=2a2②,①②得,|BF1|+|AF1|+|BF2||AF2|=|BF1|+|AF1|+|BA|=2a12a2,即△ABF1的周長(zhǎng)為2a12a2,由橢圓定義知△CDF1的周長(zhǎng)為4a1,因?yàn)楣饩€的速度相同,且雙曲線與橢圓共焦點(diǎn),所以t2t1=4a12a1【方法規(guī)律】本題解答的關(guān)鍵是注意到光線的速度相同,且雙曲線與橢圓共焦點(diǎn),利用橢圓和雙曲線的定義求解兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)由此即可順利得解.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2024·資陽模擬)已知☉O的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),☉O上的點(diǎn)到直線l:x+y22=0的距離的最小值為1.(1)求☉O的方程;【解析】(1)由題意,☉O的圓心O(0,0)到直線l:x+y22=0的距離d=|2設(shè)☉O的半徑為r,則☉O上的點(diǎn)到直線l距離的最小值為dr=2r,由2r=1,解得r=1,所以☉O的方程為x2+y2=1.(2)過點(diǎn)P(4,2)作☉O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.求四邊形OAPB的面積.【解析】(2)由題可知,PA⊥OA,PB⊥OB,連接OP,則四邊形OAPB的面積S=2S△POA=2×12×1×|PA|=|PA又|OP|2=42+22=20,則|PA|=|OP|2-|所以四邊形OAPB的面積S=19.16.(15分)(2024·武漢模擬)已知點(diǎn)M(2,2)在拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)M作直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),斜率為2的直線與拋物線交于A,D兩點(diǎn).(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;【解析】(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=p2依題意,p2=2,解得p所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.(2)①求證:直線BD過定點(diǎn)N;②若△ABN的面積為S,且滿足S≤205,求直線l斜率的取值范圍.【解析】(2)①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),顯然AB不垂直于y軸,設(shè)直線AB方程為x+2=m(y2),由x消去x得:y28my+16(m+1)=0,由Δ=64m264(m+1)>0,得m<1-52或m>1+52,y1+y2=8m,y1即y1+y2=12y1y28,直線AD的斜率kAD=y3-y1x3-x1=y同理直線BD的斜率kBD=8y2+y3,直線BD的方程為yy2=8整理得(y2+y3)y=8(xx2)+y2(y2+y3),即(y2+y3)y=8x8x2+y22+y2y又y22=8x2,于是(y2+y3)y=8x+y2y由y1+y3=4及2y1+2y2=y1y216,得y2y3=2(y2+y3)24,則(y2+y3)y=8x+2(y2+y3)24,因此直線BD:(y2+y3)(y2)=8(x3)過定點(diǎn)N(3,2),所以直線BD過定點(diǎn)N(3,2).②顯然MN∥x軸,S△ABN=S△BNMS△ANM=12|MN||y1y2|=52|y1y2=20m2-m-1≤205,則解得2≤m<1-52或1+52<m≤3,而直線l則5+12<k≤12或13≤所以直線l斜率的取值范圍是(5+12,12]∪[1317.(15分)(2024·新余模擬)如圖,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓O:x2+y2=b2,已知橢圓C的離心率為223,直線2x(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;【解析】(1)直線2x2y6=0與圓O相切,則b=|2由橢圓的離心率e=ca=1-b解得a2=9,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y(2)橢圓C的上頂點(diǎn)為B,EF是圓O的一條直徑,EF不與坐標(biāo)軸重合,直線BE、BF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P,Q,求△BPQ的面積的最大值.【解析】(2)由題意知直線BP,BQ的斜率存在且不為0,BP⊥BQ,不妨設(shè)直線BP的斜率為k(k>0),則直線BP的方程為y=kx+1.由y=kx+1x29所以P(-18k9k用1k代替k,得Q(18kk則|PB|=(0+18k9k2|BQ|=(0-18kk2+9)

2+(1+9-k2k2+9)

2=189+k2·1+k2,S設(shè)k+1k=μ則S△BPQ=162μ82+9(μ2-2當(dāng)且僅當(dāng)9μ=64μ,即k+1k=μ=83,即k=所以(S△BPQ)max=278【加練備選】(2024·合肥模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),離心率為32,點(diǎn)(1)求E的方程;【解析】(1)由題意ca=32,3a2+14b則E的方程為x24+y2(2)過K(1,0)作互相垂直的兩條直線l1與l2,設(shè)l1交E于A,B兩點(diǎn),l2交E于C,D兩點(diǎn),AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N.探究:△OMN與△KMN的面積之比是否為定值?若是,請(qǐng)求出定值;若不是,請(qǐng)說明理由.【解析】(2)△OMN與△KMN的面積之比為定值,定值為4,理由如下:設(shè)直線AB的方程:x=my1,A(x1,y1),B(x2,y2),討論:①當(dāng)m≠0,且m≠±1時(shí),聯(lián)立x=可得(m2+4)y22my3=0,Δ=16m2+48>0,則y1+y2=2m所以yM=y1+y22=mm2+4,xM=myM1=m·mm2設(shè)直線CD的方程:x=-1m同理可得N(-4m24所以kMN=-m4m2+1-mm2+4所以直線MN:ymm2+4=54×mm2-1(x+4m所以直線MN恒過定點(diǎn)T(45②當(dāng)m=±1時(shí),不妨設(shè)直線l1:y=x+1;l2:y=x1,可發(fā)現(xiàn)MN⊥x軸,且MN過T(45③當(dāng)m=0時(shí),直線MN依然過T(45,0),但無法形成三角形綜上,直線MN恒過點(diǎn)T(45設(shè)點(diǎn)O,K到直線MN的距離分別是d1,d2,S△OMNS△KMN=12|MN|×18.(17分)(2023·新高考Ⅱ卷)在雙曲線C中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為(25,0),離心率為5.(1)求C的方程;【解析】(1)由題意c=25,e=5=ca,則a=2,b2=16,雙曲線C的方程為x24(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過點(diǎn)B(4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn),M在第二象限,直線MA1與NA2交于P,證明:P在定直線上.【解析】(2)方法一:設(shè)過點(diǎn)B的直線為x=ty4,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立雙曲線得(4t21)y232ty+48=0,則y1+y2=32t4t2-1,y設(shè)直線MA1:y-y1y1=x-x1x1+2,設(shè)直線NA2:y-y2y2=x-x2x2-2,聯(lián)立消去y得方法二:①當(dāng)l⊥y軸時(shí),不符合題意.②設(shè)直線l:x=ty4,M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),聯(lián)立方程組x=ty-4,x24-y因?yàn)橹本€與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn),即4則y1+y2=32t4t2-1,y又因?yàn)镸A1與NA2相交于點(diǎn)P,則y0x0+2=y1x1+2,y0x0-2=所以點(diǎn)P在定直線x=1上.方法三:設(shè)過點(diǎn)B的直線為y=k(x+4),M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立雙曲線得(4k2)x28k2x1616k2=0,則x1+x2=8k24-k2,x1·x2=-16(1+k2)4-k2,即(x1+52)(x2+52)=94設(shè)直線