專題77銳角三角函數(shù)（全章直通中考）（培優(yōu)練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（蘇科版）

專題7.7銳角三角函數(shù)（全章直通中考）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，點在的延長線上，，與相切，切點分別為C，D．若，則等于（

）

A． B． C． D．2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知等腰直角，，，點C是矩形與的公共頂點，且，；點D是延長線上一點，且．連接，，在矩形繞點C按順時針方向旋轉一周的過程中，當線段達到最長和最短時，線段對應的長度分別為m和n，則的值為（

）

A．2 B．3 C． D．3．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，連接，過點作，交的延長線于點．設的面積為的面積為，若，則的值為（

）

A． B． C． D．4．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別經(jīng)過原點和點的動直線，夾角，點是中點，連接，則的最大值是（

）

A． B． C． D．5．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，四邊形為正方形，將繞點逆時針旋轉至，點，，在同一直線上，與交于點，延長與的延長線交于點，，．以下結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2021·四川內江·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的頂點分別在反比例函數(shù)和的圖象上，若，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）在正方形中，，點E是邊的中點，連接，延長至點F，使得，過點F作，分別交、于N、G兩點，連接、、，下列正確的是：①；②；③；④（

）A．4 B．3 C．2 D．18．（2021·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，有以下結論：（其中R為ABC的外接圓半徑）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，則ABC的外接圓面積為（

）A． B． C． D．9．（2020·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）規(guī)定：給出以下四個結論：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的結論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2021·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC邊在y軸的正半軸上，點B的坐標為（4，2），反比例函數(shù)的圖象與BC交于點D，與對角線OB交于點E，與AB交于點F，連接OD，DE，EF，DF．下列結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2021·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．過點D作，垂足為E，則．12．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，平分．若，，則．13．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點O是正方形的中心，．中，過點D，分別交于點G，M，連接．若，則的周長為．14．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，則AD的長是．15．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的頂點在反比例函數(shù)的圖像上，頂點在第一象限，對角線軸，交軸于點．若矩形的面積是6，，則．

16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點，過作交于點，將沿折疊得到，交于點．若，則．

17．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點D是線段AB上一動點，點H是直線上的一動點，動點，連接．當取最小值時，的最小值是．

18．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合．若DE∥BC，AF＝EF，則四邊形ADFE的面積為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點E是⊙O上異于A，B的點，點F是的中點，連接AE，AF，BF，過點F作FC⊥AE交AE的延長線于點C，交AB的延長線于點D，∠ADC的平分線DG交AF于點G，交FB于點H．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求sin∠FHG的值；（3）若GH＝，HB＝2，求⊙O的直徑．20．（8分）（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉得到，旋轉角等于，連接．（1）當點E在上時，作，垂足為M，求證；（2）當時，求的長；（3）連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．21．（10分）（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，設BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點G，求的值．22．（10分）（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）無人機在實際生活中應用廣泛．如圖8所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中P處，測得樓樓頂D處的俯角為，測得樓樓頂A處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為100米，樓的高度為10米，從樓的A處測得樓的D處的仰角為（點A、B、C、D、P在同一平面內）．（1）填空：___________度，___________度；（2）求樓的高度（結果保留根號）；（3）求此時無人機距離地面的高度．23．（10分）（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊的中點，將線段繞點旋轉至位置，點在直線外，連接．

（1）如圖1，求的大?。唬?）已知點和邊上的點滿足．（?。┤鐖D2，連接，求證：；（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．24．（12分）（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，連接．（1）求點B，點C的坐標；（2）如圖1，點在線段上（點E不與點B重合），點F在y軸負半軸上，，連接，設的面積為，的面積為，，當S取最大值時，求m的值；（3）如圖2，拋物線的頂點為D，連接，點P在第一象限的拋物線上，與相交于點Q，是否存在點P，使，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：1．D【分析】連接、、，交于，如圖，利用切線的性質和切線長定理得到，，平分，根據(jù)等腰三角形的性質得到，則，根據(jù)圓周角定理得到，所以，然后求出即可．解：連接、、，交于，如圖，

，與相切，切點分別為，，，，平分，，，，，，∵∴∵∴在中，，，．故選：D．【點撥】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理和解直角三角形．2．D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可求得，當線段達到最長時，此時點在點的下方，且，，三點共線，求得，，根據(jù)勾股定理求得，即，當線段達到最短時，此時點在點的上方，且，，三點共線，則，，根據(jù)勾股定理求得，即，即可求得．解：∵為等腰直角三角形，，∴，當線段達到最長時，此時點在點的下方，且，，三點共線，如圖：

則，，在中，，即，當線段達到最短時，此時點在點的上方，且，，三點共線，如圖：

則，，在中，，即，故，故選：D．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，根據(jù)旋轉推出線段最長和最短時的位置是解題的關鍵．3．A【分析】如圖，過作于，證明，由，即，可得，證明，可得，設，則，可得，，再利用正切的定義可得答案．解：如圖，過作于，

∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，即，設，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選A【點撥】本題考查的是圓周角定理的應用，勾股定理的應用，銳角三角函數(shù)的應用，作出合適的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵．4．A【分析】根據(jù)已知條件，，得出的軌跡是圓，取點，則是的中位線，則求得的正弦的最大值即可求解，當與相切時，最大，則正弦值最大，據(jù)此即可求解．解：如圖所示，以為邊向上作等邊，過點作軸于點，則，則的橫坐標為，縱坐標為，∴，取點，則是的中位線，∴，∵，∴點在半徑為的上運動，∵是的中位線，∴，∴，當與相切時，最大，則正弦值最大，在中，，過點作軸，過點作于點，過點作于點，則∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴設，,則∴∴∴解得：∴∴的最大值為，故選：A．【點撥】本題考查了相似三角形的性質與判定，求正弦，等邊三角形的性質。圓周角定理，得出點的軌跡是解題的關鍵．5．D【分析】利用旋轉的性質，正方形的性質，可判斷①正確；利用三角形相似的判定及性質可知②正確；證明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再證明即可求出可知③正確；過點E作交FD于點M，求出，再證明，即可知④正確．解：∵旋轉得到，∴，∵為正方形，，，在同一直線上，∴，∴，故①正確；∵旋轉得到，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；設正方形邊長為a，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∵，∴，故③正確；過點E作交FD于點M，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故④正確綜上所述：正確結論有4個，故選：D【點撥】本題考查正方形性質，旋轉的性質，三角形相似的判定及性質，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點，結合圖形求解．6．D【分析】連接AC、BD，根據(jù)菱形的性質和反比例函數(shù)的對稱性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作BM⊥x軸于M，CN⊥x軸于N，證得△OMB∽△CNO，得到，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得結果．解：連接、，四邊形是菱形，，菱形的頂點分別在反比例函數(shù)和的圖象上，與、與關于原點對稱，、經(jīng)過點，，，，作軸于，軸于，，，，，，，，故選：．【點撥】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，菱形的性質，解直角三角形，三角形相似的判定和性質，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質與菱形的性質．7．B【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于對邊比鄰邊即可求解；②中先證明得到EM=EC，DM=FC，再證明即可求解；③中先證明GECM，得到即可求解；④中由得到，再由即可求解．解：①∵，∴∠DMF=90°=∠NCF，且對頂角∠MND=∠CNF，∴∠GFB=∠EDC，∵ABCD為正方形，E是BC的中點，∴BC=CD，∴，①正確；②由①知，又，已知，∴（），∴，∴，∵，，，∴（），∴，故②正確；③∵，，∴BE=ME，且∠B=∠GME=90°，GE為和的公共邊，∴（），∴，∵，∴，由三角形外角定理可知：，∴，∴，∴，∵，，∴，故③錯誤；④由上述可知：，，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選B．【點撥】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．8．A【分析】方法一：先求出∠C，根據(jù)題目所給的定理，,利用圓的面積公式S圓=．方法二：設△ABC的外心為O，連結OA，OB，過O作OD⊥AB于D，由三角形內角和可求∠C=60°，由圓周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性質，∠OAB=∠OBA=，由垂徑定理可求AD=BD=，利用三角函數(shù)可求OA=，利用圓的面積公式S圓=．解：解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°∠A∠B=180°75°45°=60°，有題意可知，∴，∴S圓=．方法二：設△ABC的外心為O，連結OA，OB，過O作OD⊥AB于D，∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°∠A∠B=180°75°45°=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=，∵OD⊥AB，AB為弦，∴AD=BD=，∴AD=OAcos30°，∴OA=，∴S圓=．故答案為A．

【點撥】本題考查三角形的外接圓，三角形內角和，圓周角定理，等腰三角形性質，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓的面積公式，掌握三角形的外接圓，三角形內角和，圓周角定理，等腰三角形性質，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓的面積公式是解題關鍵．9．C【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡三角函數(shù)，即可判斷結論．解：（1），故此結論正確；（2），故此結論正確；（3）故此結論正確；（4）==，故此結論錯誤.故選：C．【點撥】本題屬于新定義問題，主要考查了三角函數(shù)的知識，解題的關鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎知識，理解題中公式.10．A【分析】根據(jù)題意，圖中各點的坐標均可以求出來，，，只需證明即可證明結論①；先求出直線OB的解析式，然后求直線OB與反比例函數(shù)的交點坐標，即可證明結論②；分別求出和，進行比較即可證明結論③；只需證明，即可求證結論④．解：∵OABC為矩形，點B的坐標為（4，2），∴A點坐標為（4，0），C點坐標為（0，2），根據(jù)反比例函數(shù)，當時，，即D點坐標為（1，2），當時，，即F點坐標為（4，），∵，∴，∵，∴，∴，，∴，故結論①正確；設直線OB的函數(shù)解析式為：，點B代入則有：，解得：，故直線OB的函數(shù)解析式為：，當時，（舍）即時，，∴點E的坐標為（2，1），∴點E為OB的中點，∴，故結論②正確；∵，∴，由②得：，，∴，故結論③正確；在和中，，∴，∴，故結論④正確，綜上：①②③④均正確，故選：A．【點撥】本題主要考查矩形的性質，相似三角形判定與性質，銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)與幾何綜合，結合題意求出圖中各點坐標是解決本題的關鍵．11．【分析】首先根據(jù)題目中的，求出ED的長度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四邊形的性質，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面積法求出BF的長，即可求出．解：∵，∴△ADE為直角三角形，又∵，∴,解得DE=4,在Rt△ADE中，由勾股定理得：,又∵AB=12,∴,又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5在Rt△DEC中，由勾股定理得：,過點B作BF⊥CE，垂足為F,如圖在△EBC中：S△EBC=;又∵S△EBC∴,解得,在Rt△BFC中，,故填：．【點撥】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質，勾股定理，三角形的等面積法求一邊上的高線，解題關鍵在于熟練掌握解直角三角形的計算，平行四邊形的性質，勾股定理的計算和等面積法求一邊上的高．12．【分析】過點作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．解：過點作的垂線交于，，四邊形為矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質，解題的關鍵是構造直角三角形求解．13．【分析】連接BD，則BD過正方形的中心點O，作FH⊥CD于點H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后證明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，進而可證△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出DF＝FM，則BG＝DF＝FM＝BM＝，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質和三角形中位線定理分別求出OM、EM和OE即可解決問題．解：如圖，連接BD，則BD過正方形的中心點O，作FH⊥CD于點H，∵，，∴∴AG＝AB＝，∴BG＝，∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，∴∠EGD＝∠HDF∵∠AGB＝∠EGD，∴∠AGB＝∠HDF，在△ABG和△HFD中，，∴△ABG≌△HFD（AAS），∴AG＝DH，AB＝HF，∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，在△BCM和△FHM中，，∴△BCM≌△FHM（AAS），∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，∴DH＝MH，∵FH⊥CD，∴DF＝FM，∴BG＝DF＝FM＝BM＝，∴BF＝，∵M是BF中點，O是BD中點，△BEF是直角三角形，∴OM＝，EM＝，∵BD＝，△BED是直角三角形，∴EO＝，∴的周長＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，故答案為：．【點撥】本題主要考查了正方形的性質，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質以及三角形中位線定理，綜合性較強，能夠作出合適的輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵．14．【分析】如圖，連接，設交于點，根據(jù)題意可得是的直徑，，設，證明，根據(jù)相似三角形的性質以及正切的定義，分別表示出，根據(jù)，勾股定理求得，根據(jù)即可求解．解：如圖，連接，設交于點，∵∠ACB＝90°∴是的直徑，，tan∠CBD＝，，在中，，，，，設則，AC＝BC，，，中，，，，,又，，，，，，，，解得，，故答案為：．【點撥】本題考查了90°圓周角所對的弦是直徑，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，相似三角形的性質與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．15．【分析】方法一：根據(jù)的面積為，得出，，在中，，得出，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)的幾何意義，即可求解．方法二：根據(jù)已知得出則，即可求解．解：方法一：∵，∴設，則，∴∵矩形的面積是6，是對角線，∴的面積為，即∴在中，即即解得：在中，∵對角線軸，則，∴,∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴，方法二：∵，∴設，則，∴，∴，，∵，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的性質，反比例函數(shù)的幾何意義，余弦的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵．16．【分析】過點作于，證明，得出，根據(jù)，得，設，，則，則，在中，，在中，，則，解方程求得，則，，勾股定理求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．解：如圖所示，過點作于，

∵平分交于點，∴,∴∴∵折疊，∴，∴,又∵∴∴∴∵，，則，∴∴，，∵設，，則，則，∵∴在中，在中，∴即解得：∴，則∴故答案為：．【點撥】本題考查了求正切，折疊的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．17．【分析】作出點，作于點D，交x軸于點F，此時的最小值為的長，利用解直角三角形求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立即可求得點D的坐標，過點D作軸于點G，此時的最小值是的長，據(jù)此求解即可．解：∵直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，∴，，作點B關于x軸的對稱點，把點向右平移3個單位得到，作于點D，交x軸于點F，過點作交x軸于點E，則四邊形是平行四邊形，此時，，∴有最小值，作軸于點P，

則，，∵，∴，∴，∴，即，∴，則，設直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立，，解得，即；過點D作軸于點G，

直線與x軸的交點為，則，∴，∴，∴，即的最小值是，故答案為：．【點撥】本題考查了一次函數(shù)的應用，解直角三角形，利用軸對稱求最短距離，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．18．【分析】根據(jù)折疊的性質得到DE為的中位線，利用中位線定理求出DE的長度，再解求出AF的長度，即可求解．解：∵將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合，∴DE垂直平分AF，，，，∵DE∥BC，∴，，，∴，∴，∴，即D為AB的中點，∴DE為的中位線，∴，∵AF＝EF，∴是等邊三角形，在中，，，∴，∴，∴四邊形ADFE的面積為，故答案為：．【點撥】本題考查解直角三角形、中位線定理、折疊的性質等內容，掌握上述基本性質定理是解題的關鍵．19．（1）見分析；（2）；（3）⊙O的直徑為【分析】（1）連接OF，先證明OFAC，則∠OFD＝∠C＝，根據(jù)切線的判定定理可得出結論．（2）先證∠DFB＝∠OAF，∠ADG＝∠FDG，根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和得出∠FGH＝∠FHG＝，從而可求出sin∠FHG的值．（3）先在△GFH中求出FH的值為4，根據(jù)等積法可得，再證△DFB∽△DAF，根據(jù)對應邊成比例可得，又由角平分線的性質可得，從而可求出AG、AF．在Rt△AFＢ中根據(jù)勾股定理可求出AB的長，即⊙O的直徑．解：（1）證明：連接OF．∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵

∴∠CAF＝∠FAB，∴∠CAF＝∠AFO，∴OFAC，∵AC⊥CD，∴OF⊥CD，∵OF是半徑，∴CD是⊙O的切線．（2）∵AB是直徑，∴∠AFB＝90°，∵OF⊥CD，∴∠OFD＝∠AFB＝90°，∴∠AFO＝∠DFB，∵∠OAF＝∠OFA，∴∠DFB＝∠OAF，∵GD平分∠ADF，∴∠ADG＝∠FDG，∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，∴∠FGH＝∠FHG＝45°，∴sin∠FHG=（3）解：過點H作HM⊥DF于點M，HN⊥AD于點N．∵HD平分∠ADF，∴HM＝HN，S△DHF∶S△DHB=FH∶HB=DF∶DB∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝∴FH＝FG＝4，∴設DB＝k，DF＝2k，∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，∴△DFB∽△DAF，∴DF2＝DB?DA，∴AD＝4k，∵GD平分∠ADF

∴∴AG＝8，∵∠AFB＝90°，AF＝12，F(xiàn)B＝6，∴⊙O的直徑為【點撥】本題是一道綜合性題目，考查了圓的相關性質、切線的判定、相似三角形的判定和性質、角平分線性、勾股定理等知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．20．（1）見詳解；（2）或；（3）【分析】（1）證明即可得證．（2）分情況討論，當點E在BC上時，借助，在中求解；當點E在CD上時，過點E作EG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥AC于點H，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分別討論當點E在BC和CD上時，點F所在位置不同，DF的最小值也不同，綜合比較取最小即可．解：（1）如圖所示，由題意可知，，，，由旋轉性質知：AE=AF，在和中，，，．（2）當點E在BC上時，在中，，，則，在中，，，則，由（1）可得，，在中，，，則，當點E在CD上時，如圖，過點E作EG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥AC于點H，同（1）可得，，由勾股定理得；故CF的長為或．（3）如圖1所示，當點E在BC邊上時，過點D作于點H，由（1）知，，故點F在射線MF上運動，且點F與點H重合時，DH的值最?。谂c中，，，，即，，，，在與中，，，，即，，故的最小值；如圖2所示，當點E在線段CD上時，將線段AD繞點A順時針旋轉的度數(shù)，得到線段AR，連接FR，過點D作，，由題意可知，，在與中，，，，故點F在RF上運動，當點F與點K重合時，DF的值最??；由于，，，故四邊形DQRK是矩形；，，，，故此時DF的最小值為；由于，故DF的最小值為．【點撥】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理、解直角三角形，解決本題的關鍵是各性質定理的綜合應用．21．（1）作圖見分析；（2）【分析】（1）先過點A作BD的垂線，進而找出半徑，即可作出圖形；（2）根據(jù)題意，作出圖形，設，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進而得出四邊形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解，再判定，根據(jù)，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值為．（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：（2）解：根據(jù)題意，作出圖形如下：設，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點E，CF與⊙A相切于點G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又，∴四邊形AEFG是正方形，∴，在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，∴，在Rt△ABE中，，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，AB＝CD，∴，又，∴，∴，∴，在Rt△ADE中，，即，∴，即，∵，∴，即tan∠ADB的值為．【點撥】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質，全等三角形的判定和性質，正方形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線段長建立方程是解決問題的關鍵．22．（1）75；60；（2）米；（3）110米【分析】（1）根據(jù)平角的定義求，過點A作于點E，再利用三角形內角和求；（2）在中，求出DE的長度再根據(jù)計算即可；（3）作于點G，交于點F，證明即