高考數(shù)學(xué)（北師大版文）練習(xí)第八章　立體幾何與空間向量第5講　垂直關(guān)系

第5講垂直關(guān)系一、選擇題1．(2015·浙江卷)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且lα，mβ()A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m解析由面面垂直的判定定理，可知A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)中，l與m可能平行；C選項(xiàng)中，α與β可能相交；D選項(xiàng)中，l與m可能異面．答案A2．(2017·深圳四校聯(lián)考)若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為()A．過點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C．過點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D．過點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β解析由于過點(diǎn)P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，因此也平行于平面β，因此A正確．過點(diǎn)P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B不正確．根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C，D正確．答案B3．如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析因?yàn)锽C∥DF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項(xiàng)A正確．在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，則DF⊥平面PAE，又DF平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B，C均正確．答案D4．(2017·西安調(diào)研)設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析A中，α∥β或α與β相交，不正確．B中，過直線l作平面γ，設(shè)α∩γ＝l′，則l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，從而α⊥β，B正確．C中，l∥β或lβ，C不正確．D中，l與β的位置關(guān)系不確定．答案B5．(2017·天津?yàn)I海新區(qū)模擬)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D－ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的是()A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④解析由題意知，BD⊥平面ADC，且AC平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯(cuò)．答案B二、填空題6．如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為________．解析∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．答案47.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)．解析由定理可知，BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，有PC⊥平面MBD.又PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．(2016·全國Ⅱ卷)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________(填寫所有正確命題的編號)．解析對于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯(cuò)誤．對于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線lα，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確．對于③，因?yàn)棣痢桅?，所以α，β沒有公共點(diǎn)．又mα，所以m，β沒有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m∥β，故正確．對于④，因?yàn)閙∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因?yàn)棣痢桅?，所以n與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．答案②③④三、解答題9．(2017·南昌質(zhì)檢)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥平面BCG；(2)求三棱錐D－BCG的體積．(1)證明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G為AD的中點(diǎn)，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)解在平面ABC內(nèi)，作AO⊥BC，交CB的延長線于O，如圖由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BDC＝BC，AO平面ABC，知AO⊥平面BDC.又G為AD中點(diǎn)，因此G到平面BDC的距離h是AO長度的一半．在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝eq\r(3)，所以VD－BCG＝VG－BCD＝eq\f(1,3)S△DBC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)BD·BC·sin120°·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).10．(2016·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求證：DC⊥平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF？說明理由．(1)證明因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因?yàn)锳C⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)證明因?yàn)锳B∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因?yàn)镻C∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA∥平面CEF.理由如下：取PB的中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF，又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又因?yàn)镻A平面CEF，且EF平面CEF，所以PA∥平面CEF.11．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．則下列說法正確的是()A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α解析A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或mα，錯(cuò)誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或mα，錯(cuò)誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或mα，錯(cuò)誤．答案C12．(2017·合肥模擬)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是()A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的內(nèi)心C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心解析由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因?yàn)镻O∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O為△AEF的垂心．答案A13.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正確的有________(把所有正確的序號都填上)．解析由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴AE⊥PB，①正確；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD平面PAD，BC平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直線BC∥平面PAE也不成立，③錯(cuò)；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正確．答案①④14．(2016·四川卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD.(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB⊥平面PBD.(1)解取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)，理由如下：因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD.所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB.又AB平面PAB.CM平面PAB.所以CM∥平面PAB.(說明：取棱PD的中點(diǎn)N，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))(2)證明由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.因?yàn)锳D