重慶市南開中學2024-2025學年九年級上學期數(shù)學第一次月考模擬試卷

第1頁（共1頁）重慶市南開中學2024-2025學年九年級上冊數(shù)學第一次月考模擬試卷一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1．（4分）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．0 B． C． D．﹣2．（4分）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，中國古老的漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風格獨特，深受國內(nèi)外人士所喜愛，請觀察下圖窗花圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)5?a4＝a20 B．（a4）3＝a12 C．a(chǎn)12÷a6＝a2 D．（﹣3a2）2＝6a44．（4分）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心．已知OA：OD＝1：3，則△ABC與△DEF的面積比為（）A．1：3 B．2：3 C．4：5 D．1：95．（4分）拋物線向右平移2個單位長度后得到的拋物線是（）A． B． C． D．6．（4分）估計的值應在（）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間7．（4分）中國已經(jīng)成為全球最大并且最有活力的新能源汽車市場．中國汽車工業(yè)協(xié)會數(shù)據(jù)顯示，某品牌新能源汽車2022年5月份銷量為10萬輛，7月份銷量為14.5萬輛．設(shè)該品牌新能源汽車的月平均增長率為x（x＞0），則（）A．10（1+2x）＝14.5 B．14.5（1﹣x）2＝10 C．10x2＝14.5 D．10（1+x）2＝14.58．（4分）如圖所示，將形狀、大小完全相同的小圓點“?”按照一定規(guī)律擺成下列圖形，其中第①個圖案中有5個小圓點，第②個圖案中有9個小圓點，第③個圖案中有13個小圓點，……按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案中小圓點的個數(shù)為（）A．21 B．25 C．29 D．339．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若E是邊AB的中點，連接DE，過點C作CF⊥DE于點F，則CF的長為（）A． B． C． D．10．（4分）已知多項式M＝2x2﹣3x﹣2．多項式N＝x2﹣ax+3．①若M＝0，則代數(shù)式的值為；②當a＝﹣3，x≥4時，代數(shù)式M﹣N的最小值為﹣14；③當a＝0時，若M?N＝0，則關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根；④當a＝3時，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，則x的取值范圍是﹣＜x＜2．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二．填空題（共8小題，滿分32分，每小題4分）11．（4分）計算：（﹣2）2+||﹣2sin30°+（﹣）﹣1＝．12．（4分）若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之差是360°，則此多邊形是邊形．13．（4分）準備兩組相同的牌，每組3張且大小一樣，3張牌的牌面數(shù)字分別為1、2、3，則從每組牌中各摸出一張牌，兩張牌的牌面數(shù)字的和大于3的概率為．14．（4分）二次函數(shù)y＝x2﹣2x+4的圖象的頂點坐標是．15．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A、B分別在y軸、x軸上，OA＝2，OB＝1，斜邊AC∥x軸，若反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過AC的中點D，則k＝．16．（4分）若數(shù)m使關(guān)于x的一元一次不等式組有且僅有4個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程有非負整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)m的值之和為．17．（4分）如圖，已知在菱形ABCD，BC＝9，∠ABC＝60°，點E在BC上，且BE＝6，將△ABE沿AE折疊得到△AB′E，其中B′E交CD于點F，則CF＝．18．（4分）若一個四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足a+b+c＝d2，則稱這個四位數(shù)為“和方數(shù)”．例如：四位數(shù)2613，因為2+6+1＝32，所以2613是“和方數(shù)”；四位數(shù)2514，因為2+5+1≠42，所以2514不是“和方數(shù)”，則最大的“和方數(shù)”為；若四位數(shù)M是“和方數(shù)”，將“和方數(shù)”M的千位數(shù)字與百位數(shù)字對調(diào)，十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，得到新數(shù)N，若M+N能被33整除，則滿足條件的M的最小值是．三．解答題（共8小題，滿分78分）19．（8分）計算：（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2；（2）（a+1﹣3a﹣1）÷．20．（10分）為了解學生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現(xiàn)從七、八年級的學生中各隨機抽取20名學生的競賽成績（百分制）進行收集、整理、描述、分析．所有學生的成績均高于60分（成績得分用x表示，共分成四組：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面給出了部分信息：七年級20名學生的競賽成績?yōu)椋?6，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．八年級20名學生的競賽成績在C組的數(shù)據(jù)是：81，82，84，87，88，89．七、八年級所抽學生的競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)8585中位數(shù)86b眾數(shù)a79根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝，b＝，m＝；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認為該校七、八年級中哪個年級學生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有400名學生、八年級有500名學生參加了此次安全知識競賽，估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀（x＞90）的學生人數(shù)是多少？21．（10分）如圖，在△ABC中，點D為BC邊上的中點，連接AD．（1）尺規(guī)作圖：在BC下方作射線BF，使得∠CBF＝∠C，且射線BF交AD的延長線于點E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）所作的圖中，連接CE，若CE＝AC，求證：四邊形ABEC是菱形．（請補全下面的證明過程）證明：∵點D為BC邊上的中點，∴DC＝DB，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌（ASA），∴AC＝，∵∠CBF＝∠ACB，∴AC∥．∴四邊形ABEC是．又∵，∴平行四邊形ABEC是菱形．22．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，D為BC的中點，DE∥AC交AB于點E，點F從點B出發(fā)，沿著折線B→E→D運動，到達點D時停止運動．設(shè)點F運動的路程為x，連接DF，記△BDF的面積為y1．（如圖1）（1）請直接寫出y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出y1的函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)y1的一條性質(zhì)；（如圖2）（3）若直線y2＝kx+4與y1的函數(shù)圖象只有一個交點，則k的取值范圍是．23．（10分）臨近中秋，某超市用52500元購進雙黃白蓮蓉和巧克力流心兩種月餅共400盒，其中每盒雙黃白蓮蓉月餅進價為120元，售價為200元，每盒巧克力流心月餅進價為150元，售價為250元．（1）求購進雙黃白蓮蓉和巧克力流心各多少盒？（2）中秋節(jié)后雙黃白蓮蓉全部賣出，巧克力流心還有剩余，超市老板擔心節(jié)后滯銷，決定對剩下的月餅降價促銷．經(jīng)調(diào)查，中秋節(jié)前巧克力流心平均每天賣出12盒，若每降價20元，每天平均可多售3盒．該超市降價后2天將這批月餅全部售完，經(jīng)計算巧克力流心月餅的總銷售額是36900元，求每盒巧克力流心月餅降價多少錢？24．（10分）近日，小南和小開分別從點B、C處出發(fā)前往點A處參加校園文化節(jié)活動．已知點A位于點B北偏東60°方向，點C位于點A南偏西15°方向，同時位于點B南偏東45°方向，BC＝4000米．（1）求BA路段的長度；（結(jié)果保留根號）（2）由于當天要舉行馬拉松比賽，BA路段實施交通管制，小南計劃從B處乘公交車沿B→D→A前往A處，點D在點B的正北方向，同時在點A的正西方向．小開計劃騎自行車沿C→A前往A處，若公交車速度為500米/分，小開騎自行車速度為200米/分，小開出發(fā)15分鐘后小南從點B出發(fā)，公交車到站?？繒r間忽略不計，請計算小南和小開各自所需時間說明誰先到達A處？（參考數(shù)據(jù)：，，）25．（10分）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+3ax﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），與y軸負半軸交于點C，且OC＝3，直線經(jīng)過點A，C，點D為直線AC下方拋物線上一點，過點D作DM∥y軸交AC于點M，過點M作MN⊥y軸于點N．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，點P為y軸上一動點，連接AP、DP，當DM+MN取得最大值時，求出此時點D的坐標及|AP﹣DP|的最大值；（3）如圖2，點E的坐標為（﹣3，0），連接EC，BC，將拋物線沿射線EC方向平移個單位得到新拋物線，請問新拋物線的對稱軸上是否存在點P，使∠CBA＝∠ACO+∠PEC？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．26．（10分）如圖，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是射線CA上一點，連接BD，過點C作CF⊥BD于點E，AF∥BD．（1）如圖1，點D在AC上，∠CAF＝75°，BD＝4，求BC的長；（2）如圖2，點D在CA延長線上，點F為CE的中點，過點F作FH⊥BC于點H，連接EH，求證：；（3）如圖3，點D在CA的延長線上，∠CDB＝30°，AC＝4，點N在BA的延長線上，點M在AC的延長線上，且AM＝BN，連接BM、DN，當取得最小值時，請直接寫出△BDN的面積．

重慶市南開中學2024-2025學年九年級上冊數(shù)學第一次月考模擬試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1．（4分）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．0 B． C． D．﹣【解答】解：選項中的4個數(shù)，最小的是﹣．故選：C．2．（4分）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，中國古老的漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風格獨特，深受國內(nèi)外人士所喜愛，請觀察下圖窗花圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B．原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C．原圖既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．原圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選項符合題意．故選：D．3．（4分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)5?a4＝a20 B．（a4）3＝a12 C．a(chǎn)12÷a6＝a2 D．（﹣3a2）2＝6a4【解答】解：A、a5?a4＝a9，故此選項錯誤；B、（a4）3＝a12，正確；C、a12÷a6＝a6，故此選項錯誤；D、（﹣3a2）2＝9a4，故此選項錯誤；故選：B．4．（4分）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心．已知OA：OD＝1：3，則△ABC與△DEF的面積比為（）A．1：3 B．2：3 C．4：5 D．1：9【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴AB：DE＝OA：OD＝1：3，∴△ABC與△DEF的面積比為1：9，故選：D．5．（4分）拋物線向右平移2個單位長度后得到的拋物線是（）A． B． C． D．【解答】解：拋物線向右平移2個單位長度后得到的拋物線是y＝（x﹣2）2+1，故選：B．6．（4分）估計的值應在（）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【解答】解：＝＝，∵，∴，故選：B．7．（4分）中國已經(jīng)成為全球最大并且最有活力的新能源汽車市場．中國汽車工業(yè)協(xié)會數(shù)據(jù)顯示，某品牌新能源汽車2022年5月份銷量為10萬輛，7月份銷量為14.5萬輛．設(shè)該品牌新能源汽車的月平均增長率為x（x＞0），則（）A．10（1+2x）＝14.5 B．14.5（1﹣x）2＝10 C．10x2＝14.5 D．10（1+x）2＝14.5【解答】解：設(shè)該品牌新能源汽車的月平均增長率為x（x＞0）．∵5月份銷量為10萬輛，∴6月份銷量為10（1+x）萬輛，∴7月份銷量為10（1+x）（1+x）＝10（1+x）2萬輛．∵7月份銷量為14.5萬輛，∴可列方程為10（1+x）2＝14.5．故選：D．8．（4分）如圖所示，將形狀、大小完全相同的小圓點“?”按照一定規(guī)律擺成下列圖形，其中第①個圖案中有5個小圓點，第②個圖案中有9個小圓點，第③個圖案中有13個小圓點，……按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案中小圓點的個數(shù)為（）A．21 B．25 C．29 D．33【解答】解：∵第①個圖案中“●”有：1+4×1＝5個，第②個圖案中“●”有：1+4×2＝9個，第③個圖案中“●”有：1+4×3＝13個，第④個圖案中“●”有：1+4×4＝17個，…∴第⑥個圖案中“●”有：1+4×6＝25個，故選：B．9．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若E是邊AB的中點，連接DE，過點C作CF⊥DE于點F，則CF的長為（）A． B． C． D．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝4，∵E是AB的中點，∴AE＝3，∴DE＝＝＝5，∵CF⊥DE，∴∠CFD＝90°，∴∠FCD+∠CDF＝90°，∵∠ADE+∠CDF＝90°，∴∠CFD＝∠ADE，又∵∠A＝∠CFD，∴△CFD∽△DAE，∴，∴，∴CF＝．故選：D．10．（4分）已知多項式M＝2x2﹣3x﹣2．多項式N＝x2﹣ax+3．①若M＝0，則代數(shù)式的值為；②當a＝﹣3，x≥4時，代數(shù)式M﹣N的最小值為﹣14；③當a＝0時，若M?N＝0，則關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根；④當a＝3時，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，則x的取值范圍是﹣＜x＜2．以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解答】解：①∵M＝2x2﹣3x﹣2＝0，解得：x＝2，或x＝﹣，∴的值為：﹣；故①是錯誤的；②當a＝﹣3時，M﹣N＝（2x2﹣3x﹣2）﹣（x2+3x+3）＝x2﹣6x﹣5＝（x﹣3）2﹣14，∴當x＝3時，M﹣N的最小值為﹣14，故②是錯誤的；③由題意得：MN＝（2x2﹣3x﹣2）（x2+3）＝0，解得x＝2或x＝﹣，故③是正確的；④當a＝3時，|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝|（2x2﹣3x﹣2）﹣2（x2﹣3x+3）+2|+|（2x2﹣3x﹣2）﹣2（x2﹣3x+3）+15|＝|3x﹣6|+|3x+7|＝13，∴，解得：﹣≤x≤2，故④是錯誤的；故選B．二．填空題（共8小題，滿分32分，每小題4分）11．（4分）計算：（﹣2）2+||﹣2sin30°+（﹣）﹣1＝1+．【解答】解：原式＝4+﹣2×+（﹣2）＝4+﹣1﹣2＝1+．故答案為：1+．12．（4分）若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之差是360°，則此多邊形是6邊形．【解答】解：設(shè)這個多邊形為n邊形，由題意得，（b﹣2）×180°﹣360°＝360°，解得n＝6，故答案為：6．13．（4分）準備兩組相同的牌，每組3張且大小一樣，3張牌的牌面數(shù)字分別為1、2、3，則從每組牌中各摸出一張牌，兩張牌的牌面數(shù)字的和大于3的概率為．【解答】解：畫樹狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩張牌的牌面數(shù)字的和大于3的結(jié)果數(shù)為6，所以兩張牌的牌面數(shù)字的和大于3的概率＝＝＝．故答案為．14．（4分）二次函數(shù)y＝x2﹣2x+4的圖象的頂點坐標是（1，3）．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴頂點坐標為（1，3）．故答案為：（1，3）．15．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A、B分別在y軸、x軸上，OA＝2，OB＝1，斜邊AC∥x軸，若反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過AC的中點D，則k＝5．【解答】解：作CE⊥x軸于E，∵AC∥x軸，OA＝2，OB＝1，∴OA＝CE＝2，∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝4，∴OE＝5，∵點D是AC的中點，∴D（，2）．∵反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點D，∴k＝×2＝5．故答案為：5．16．（4分）若數(shù)m使關(guān)于x的一元一次不等式組有且僅有4個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程有非負整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)m的值之和為5．【解答】解：解不等式組得，解得，∵有且僅有4個整數(shù)，∴0＜≤1，解得﹣3＜m≤5，∴整數(shù)解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，解方程，解得y＝，由y為非負整數(shù)，且y≠3，m為﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，得m＝﹣1，1，5，∴符合條件的所有整數(shù)m的值之和為﹣1+1+5＝5．故答案為：5．17．（4分）如圖，已知在菱形ABCD，BC＝9，∠ABC＝60°，點E在BC上，且BE＝6，將△ABE沿AE折疊得到△AB′E，其中B′E交CD于點F，則CF＝．【解答】解：過點A作AG⊥BC交BC于G，取HG使HG＝GE，過H作HM⊥AE于H，過F作FN⊥BC交BC延長線于N，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝9，在Rt△ABG中，∠B＝60°，∴sinB＝sin60°＝，∴AG＝AB＝，∵cosB＝cos60°＝＝，∴BG＝AB＝，∵BE＝6，∴HE＝2GE＝2（BE﹣BG）＝2×（6﹣）＝3，在Rt△AGE中，AE＝＝＝＝3，∵S△AHE＝×HE×AG＝×AE×HM，∴×3×＝×3×HM，解得，HM＝，∵HG＝GE，AG⊥HE，∴△AHE是等腰三角形，∴AH＝AE，∠AHE＝∠HEA，在Rt△AHM中，AM＝＝＝＝，∵AB∥CD，∴∠FCN＝∠B＝60°，∴＝tan60°＝，∵折疊，∴∠AEB′＝∠HEA，在Rt△AHE中，∵∠HAE＝180°﹣∠HEA﹣∠AHE＝180°﹣2∠HEA，又∠FEN＝180°﹣∠HEA﹣∠AEB′＝180°﹣2∠HEA，∴∠HAE＝∠FEN，設(shè)CN＝x，F(xiàn)N＝x，∵tan∠FEC＝tan∠HAM＝＝，∴＝，∴＝，∴x＝，∴CN＝FN＝，∴CF＝＝＝．故答案為：．解法2：∵四邊形ABCD是菱形，∴菱形ABCD在以A為圓心，以AB為半徑的圓內(nèi)，延長B′E交⊙A于點G，連接BG，CG，B′C，過點F作FM交BC的延長線于M，如圖所示：∵△AB′E是將△ABE沿AE折疊得到，∴BE＝EB′，∵∠CBG＝∠GB′C，∠BEG＝∠CEB′，∴△BEG≌△CEB′（ASA），∴BG＝B′C，∴＝，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，＝，∴＝，∴∠FB′C＝∠FCB′，∴FC＝FB′，∵∠ABC＝60°，AB∥CD，∴∠FCM＝60°，令CM＝x，則CF＝FB′＝2x，F(xiàn)M＝x，EF＝EB′﹣FB′＝6﹣2x，∵FM2+EM2＝EF2，∴（x）2＝（3+x）2＝（6﹣2x）2，解得：x＝，∴CF＝2x＝．故答案為：．18．（4分）若一個四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿足a+b+c＝d2，則稱這個四位數(shù)為“和方數(shù)”．例如：四位數(shù)2613，因為2+6+1＝32，所以2613是“和方數(shù)”；四位數(shù)2514，因為2+5+1≠42，所以2514不是“和方數(shù)”，則最大的“和方數(shù)”為9614；若四位數(shù)M是“和方數(shù)”，將“和方數(shù)”M的千位數(shù)字與百位數(shù)字對調(diào)，十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，得到新數(shù)N，若M+N能被33整除，則滿足條件的M的最小值是1263．【解答】解：由題意可得，a＝9，∵a+b+c＝d2，∴為正整數(shù)，∴b+c的值為7或16，當b+c＝16時，b＝9，c＝7或b＝8，c＝8或b＝7，c＝9，均不符合題意，∴b+c＝7，此時b＝6，c＝1時有最大值，∴d＝＝4，∴最大的“和方數(shù)”為9614，設(shè)M＝1000a+100b+10c+d，則N＝1000b+100a+10d+c，a+b+c＝d2，∴M+N＝1000a+100b+10c+d+1000b+100a+10d+c＝1100（a+b）+11（c+d），＝1100（d2?c）+11（c+d），＝1100d2+11d?1089c，∵M+N能被33整除，∴＝?33c是整數(shù)，∴d或d+1是3的倍數(shù)，∵1≤d≤9，∴d＝2，3，5，6，8，9，∵M的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，∴d＝3，∴滿足條件的M的最小值是1263，故答案為：9614，1263．三．解答題（共8小題，滿分78分）19．（8分）計算：（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2；（2）（a+1﹣3a﹣1）÷．【解答】解：（1）（x+y）（x﹣2y）+（x﹣y）2＝x2﹣2xy+xy﹣2y2+x2﹣2xy+y2＝2x2﹣3xy﹣y2；（2）（a+1﹣3a﹣1）÷＝（﹣2a）?＝．20．（10分）為了解學生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現(xiàn)從七、八年級的學生中各隨機抽取20名學生的競賽成績（百分制）進行收集、整理、描述、分析．所有學生的成績均高于60分（成績得分用x表示，共分成四組：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面給出了部分信息：七年級20名學生的競賽成績?yōu)椋?6，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．八年級20名學生的競賽成績在C組的數(shù)據(jù)是：81，82，84，87，88，89．七、八年級所抽學生的競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)8585中位數(shù)86b眾數(shù)a79根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝86，b＝87.5，m＝40；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認為該校七、八年級中哪個年級學生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有400名學生、八年級有500名學生參加了此次安全知識競賽，估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀（x＞90）的學生人數(shù)是多少？【解答】解：（1）在七年級20名學生的競賽成績中86出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)a＝86；把八年級20名學生的競賽成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是87，88，故中位數(shù)b＝＝87.5，m%＝1﹣10%﹣20%﹣＝40%，即m＝40．故答案為：86，87.5，40；（2）八年級學生安全知識競賽成績較好，理由如下：因為兩個年級成績的平均數(shù)相同，但八年級的中位數(shù)高于七年級，所以得到八年級學生安全知識競賽成績較好（答案不唯一）；（3）400×+500×40%＝120+200＝320（人），答：估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀（x＞90）的學生人數(shù)大約是320人．21．（10分）如圖，在△ABC中，點D為BC邊上的中點，連接AD．（1）尺規(guī)作圖：在BC下方作射線BF，使得∠CBF＝∠C，且射線BF交AD的延長線于點E（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）所作的圖中，連接CE，若CE＝AC，求證：四邊形ABEC是菱形．（請補全下面的證明過程）證明：∵點D為BC邊上的中點，∴DC＝DB，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（ASA），∴AC＝BE，∵∠CBF＝∠ACB，∴AC∥BE．∴四邊形ABEC是平行四邊形．又∵CE＝AC，∴平行四邊形ABEC是菱形．【解答】（1）解：如圖，射線BF即為所求；（2）證明：∵點D為BC邊上的中點，∴DC＝DB，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（ASA），∴AC＝BE，∵∠CBF＝∠ACB，∴AC∥BE．∴四邊形ABEC是平行四邊形．又∵CE＝AC，∴平行四邊形ABEC是菱形．故答案為：△EDB，BE，BE，平行四邊形，CE＝AC．22．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，D為BC的中點，DE∥AC交AB于點E，點F從點B出發(fā)，沿著折線B→E→D運動，到達點D時停止運動．設(shè)點F運動的路程為x，連接DF，記△BDF的面積為y1．（如圖1）（1）請直接寫出y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出y1的函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)y1的一條性質(zhì)；（如圖2）（3）若直線y2＝kx+4與y1的函數(shù)圖象只有一個交點，則k的取值范圍是或．【解答】解：（1）由勾股定理得：，∴，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠C＝90°，，即，解得BE＝5，由勾股定理得：，設(shè)D到BE的距離為d，∴，即，解得，當F在BE上運動，即0＜x≤5時，；當F在DE上運動，即5＜x＜8時，；綜上所述，；（2）作函數(shù)圖象如圖2；由圖象可知，當0＜x＜5時，y1隨x的增大而增大，當5＜x＜8時，y1隨x的增大而減??；（3）如圖3，由題意知，當直線y2＝kx+4經(jīng)過點（5，6）時，5k+4＝6，解得，∴此時直線y2＝kx+4與y1的函數(shù)圖象只有一個交點；當直線y2＝kx+4經(jīng)過點（8，0）時，8k+4＝0，解得，由題意知，當時，直線y2＝kx+4與y1的函數(shù)圖象只有一個交點，綜上所述，k的取值范圍是或，故答案為：或．23．（10分）臨近中秋，某超市用52500元購進雙黃白蓮蓉和巧克力流心兩種月餅共400盒，其中每盒雙黃白蓮蓉月餅進價為120元，售價為200元，每盒巧克力流心月餅進價為150元，售價為250元．（1）求購進雙黃白蓮蓉和巧克力流心各多少盒？（2）中秋節(jié)后雙黃白蓮蓉全部賣出，巧克力流心還有剩余，超市老板擔心節(jié)后滯銷，決定對剩下的月餅降價促銷．經(jīng)調(diào)查，中秋節(jié)前巧克力流心平均每天賣出12盒，若每降價20元，每天平均可多售3盒．該超市降價后2天將這批月餅全部售完，經(jīng)計算巧克力流心月餅的總銷售額是36900元，求每盒巧克力流心月餅降價多少錢？【解答】解：（1）設(shè)購進雙黃白蓮蓉月餅x盒，巧克力流心月餅y盒，根據(jù)題意得：，解得：．答：購進雙黃白蓮蓉月餅250盒，巧克力流心月餅150盒；（2）設(shè)每盒巧克力流心月餅降價m元，則平均每天可銷售（12+×3）盒，根據(jù)題意得：250×[150﹣2（12+×3）]+（250﹣m）×2（12+×3）＝36900，整理得：m2+80m﹣2000＝0，解得：m1＝20，m2＝﹣100（不符合題意，舍去）．答：每盒巧克力流心月餅降價20元錢．24．（10分）近日，小南和小開分別從點B、C處出發(fā)前往點A處參加校園文化節(jié)活動．已知點A位于點B北偏東60°方向，點C位于點A南偏西15°方向，同時位于點B南偏東45°方向，BC＝4000米．（1）求BA路段的長度；（結(jié)果保留根號）（2）由于當天要舉行馬拉松比賽，BA路段實施交通管制，小南計劃從B處乘公交車沿B→D→A前往A處，點D在點B的正北方向，同時在點A的正西方向．小開計劃騎自行車沿C→A前往A處，若公交車速度為500米/分，小開騎自行車速度為200米/分，小開出發(fā)15分鐘后小南從點B出發(fā)，公交車到站?？繒r間忽略不計，請計算小南和小開各自所需時間說明誰先到達A處？（參考數(shù)據(jù)：，，）【解答】解：（1）過B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，由如圖得∠BAE＝60°﹣15°＝45°，∠ABD＝60°，∠ABC＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴AE＝BE，∠ABE＝45°，∴∠CBE＝30°，∵BC＝4000米，∴CE＝米，BE＝BC＝2000米，∴AB＝＝2000（米），答：BA路段的長度為2000米；（2）在Rt△ABD中，∠D＝90°，AB＝2000米，∠ABD＝60°，∴BD＝＝1000米，AD＝AB＝3000米，∴AD+BD＝1000+3000≈2450+4230＝6680（米），∴小南所用時間為6680÷500＝13.36（分），∵AC＝AE+CE＝2000+2000＝5464（米），∴小開所用時間為5464÷200﹣15＝12.32（分），∵12.32＜13.36，∴小開先到達A處．25．（10分）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+3ax﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），與y軸負半軸交于點C，且OC＝3，直線經(jīng)過點A，C，點D為直線AC下方拋物線上一點，過點D作DM∥y軸交AC于點M，過點M作MN⊥y軸于點N．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，點P為y軸上一動點，連接AP、DP，當DM+MN取得最大值時，求出此時點D的坐標及|AP﹣DP|的最大值；（3）如圖2，點E的坐標為（﹣3，0），連接EC，BC，將拋物線沿射線EC方向平移個單位得到新拋物線，請問新拋物線的對稱軸上是否存在點P，使∠CBA＝∠ACO+∠PEC？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），∵直線y＝﹣x+b經(jīng)過點C，∴b＝﹣3，∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，令y＝0，得﹣x﹣3＝0，解得：x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∵拋物線y＝ax2+3ax﹣3與x軸交于點A，∴16a﹣12a﹣3＝0，解得：a＝，∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2+x﹣3；（2）設(shè)D（m，m2+m﹣3），則M（m，﹣m﹣3），N（0，﹣m﹣3），∴DM+MN＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）+（0﹣m）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+2）2+3，∵﹣＜0，∴當m＝﹣2時，（DM+MN）取得最大值3，此時，點D的坐標為（﹣2，﹣），如圖1，連接AD，∵|AP﹣DP|≤AD，∴當且僅當A、D、P三點共線時，|AP﹣DP|＝AD為最大值，∵A（﹣4，0），D（﹣2，﹣），∴AD＝＝，∴|AP﹣DP|的最大值為；（3）∵y＝x2+x﹣3＝（x+）2﹣，∴原拋物線的頂點坐標為（﹣，﹣），∵E（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OE＝OC＝3，∴將拋物線沿射線EC方向平移2個單位相當于向右平移2個單位，向下平移2個單位，∴平移后的新拋物線解析式為y＝（x+﹣2）2﹣﹣2＝（x﹣）2﹣，∴新拋物線的對稱軸為直線x＝，如圖2，在y軸負半軸上取點F，連接BF，使∠FBO＝∠ACO，在y軸負半軸上取點G，連接EG交新拋物線的對稱軸于點P，使∠CEG＝∠CBF，作點G關(guān)于直線CE的對稱點H，連接EH交新拋物線的對