第四章 基本平面圖形（21類題型突破）

第四章基本平面圖形重要題型【題型1直線、射線與線段】【典例1】（2022秋?辛集市期末）下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的是（）A．如圖1所示，延長線段BA到點(diǎn)C B．如圖2所示，射線CB不經(jīng)過點(diǎn)A C．如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)A D．如圖4所示，射線CD和線段AB沒有交點(diǎn)【變式1-1】（2023春?泰安期中）下列說法中，正確的是（）A．射線MP和射線PM表示同一條射線 B．射線MP有兩個(gè)端點(diǎn) C．線段AB和線段BA表示同一條線段 D．射線AB和線段AB對(duì)應(yīng)同一圖形【變式1-2】（2023?任丘市校級(jí)模擬）下列各選項(xiàng)中的射線EF和直線AB能相交的是（）A． B． C． D．【變式1-3】（2023春?環(huán)翠區(qū)期中）如圖，下列不正確的說法是（）A．直線AB與直線BA是同一條直線 B．線段AB與線段BA是同一條線段 C．射線OA與射線AB是同一條射線 D．射線OA與射線OB是同一條射線【題型2直線的性質(zhì)】【典例2】（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，小亮為將一個(gè)衣架固定在墻上，他在衣架兩端各用一個(gè)釘子進(jìn)行固定，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋他這樣操作的原因，應(yīng)該是（）A．過一點(diǎn)有無數(shù)條直線 B．兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離 C．經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【變式2-1】（2022秋?衡東縣期末）平面上有不同的三個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過其中任意兩點(diǎn)畫直線，一共可以畫（）A．1條 B．2條 C．3條 D．1條或3條【變式2-2】（2022秋?瀘縣期末）小紅家分了一套住房，她想在自己的房間的墻上釘一根細(xì)木條，掛上自己喜歡的裝飾物，那么小紅至少需要幾根釘子使細(xì)木條固定（）A．1根 B．2根 C．3根 D．4根【變式2-3】（2022秋?莘縣期末）如圖，建筑工人在砌墻時(shí)，為了使砌的墻是直的，經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的細(xì)線繩作參照線．這樣做的依據(jù)是：．【題型3線段的應(yīng)用】【典例3】（2023春?高青縣期中）如圖，AB是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車站，在這段路線上往返行車，需印制多少種車票？（）A．10 B．11 C．18 D．20【變式3-1】（2022秋?鄂城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在線段AD上有兩點(diǎn)B，C，則圖中共有_____條線段，若在車站A、D之間的線路中再設(shè)兩個(gè)站點(diǎn)B、C，則應(yīng)該共印刷_____種車票．（）A．3，3 B．3，6 C．6，6 D．6，12【變式3-2】（2022秋?普寧市期末）由汕頭開往廣州東的D7511動(dòng)車，運(yùn)行途中須?？康能囌疽来问牵荷穷^→潮汕→普寧→汕尾→深圳坪山→東莞→廣州東．那么要為D7511動(dòng)車制作的車票一共有（）A．6種 B．7種 C．21種 D．42種【變式3-3】（2022秋?婺城區(qū)期末）杭衢高鐵線上，要保證衢州、金華、義烏、諸暨、杭州每兩個(gè)城市之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（）A．20種 B．15種 C．10種 D．5種【題型4作圖-直線射線和線段】【典例4】（2022秋?沈丘縣月考）如圖，平面上有三個(gè)點(diǎn)A，B，C．（1）根據(jù)下列語句畫圖：作出射線AC，CB，直線AB；在射線CB上取一點(diǎn)D（不與點(diǎn)C重合），使BD＝BC；（2）在（1）的條件下，回答問題：①用適當(dāng)?shù)恼Z句表述點(diǎn)D與直線AB的關(guān)系：；②若BD＝3，則CD＝．【變式4-1】（2022秋?館陶縣期末）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡，而且要求作圖時(shí)先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）：（1）作射線AB；（2）作直線AC與直線BD相交于點(diǎn)O；（3）在射線AB上作線段AC′，使線段AC′與線段AC相等．【變式4-2】（2022秋?新豐縣期末）已知平面上四點(diǎn)A、B、C、D，如圖：（1）畫直線AD；（2）畫射線BC，與AD相交于O；（3）連接AC、BD相交于點(diǎn)F．【題型5線段的性質(zhì)】【典例5】（2022秋?衡山縣期末）某同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．點(diǎn)動(dòng)成線 C．直線是向兩方無限延伸的 D．兩點(diǎn)之間線段最短【變式5-1】（2022秋?吉州區(qū)期末）曲橋是我國古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了橋的長度，也增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風(fēng)光，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線 D．連接兩點(diǎn)間線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離【變式5-2】（2023春?文山市期末）把一條彎曲的高速路改為直道，可以縮短路程，其道理用幾何知識(shí)解釋應(yīng)為（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間，線段最短 C．垂線段最短 D．平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【變式5-3】（2023?新華區(qū)模擬）如圖，從A地到B地的四條路線中，路程最短的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型6兩點(diǎn)間距離】【典例6】（2023秋?龍城區(qū)校級(jí)月考）如果A、B、C在同一直線上，線段AB＝4cm，BC＝8cm，那么A、C兩點(diǎn)間的距離是（）A．12cm B．8cm C．4cm D．4cm或12cm【變式6-1】（2022秋?新興縣期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，AB＝10，AC＝6，則線段CD的長是（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式6-2】（2022秋?綏寧縣期末）如圖，AB＝12，C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AC上，且AD：CB＝1：3，則DB的長度為（）A．4 B．6 C．8 D．10【變式6-3】（2022秋?交口縣期末）直線上有A，B，C三點(diǎn)，已知AB＝8cm，BC＝2cm，則AC的長是（）A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．不能確定【題型7比較線段長短】【典例7】（2023?館陶縣校級(jí)模擬）如圖，用圓規(guī)比較兩條線段的大小，其中正確的是（）A．A'B'＞A'C' B．A'B'＝A'C' C．A'B'＜A'C' D．不能確定【變式7-1】（2022秋?肥東縣期末）如圖，若AB＝CD，則AC與BD的大小關(guān)系為（）A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．不能確定【變式7-2】（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，AC＞BD，比較線段AB與線段CD的大?。ǎ〢．AB＝CD B．AB＞CD C．AB＜CD D．無法比較【變式7-3】（2022秋?紅橋區(qū)期末）如圖，AB＝CD，那么AC與BD的大小關(guān)系是（）A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不能確定【題型8線段的簡單計(jì)算】【典例8】（2022秋?湖北期末）如圖，已知，如果CB＝2cm，求線段CD的長．【變式8-1】（2022秋?濟(jì)南期末）如圖，，D為AC的中點(diǎn)，DC＝2cm，求AB的長．【變式8-2】（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，延長線段AB到C，使BC＝3AB，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，如果CD＝3cm，那么線段AC的長度是多少？【變式8-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，線段AC＝6cm，線段BC＝15cm，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，在CB上取一點(diǎn)N，使得CN：NB＝1：2，求MN的長．【變式8-4】（2022秋?通川區(qū)校級(jí)期末）已知，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)．（1）如果AB＝10cm，那么MN等于多少？（2）如果AC：BC＝3：2，NB＝3.5cm，那么AB等于多少？【題型9“雙中點(diǎn)”模型】【典例9】（2022秋?禹城市期末）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)．求：（1）求AD的長度；（2）求DE的長度；（3）若M在直線AB上，且MB＝6cm，求AM的長度．【變式9-1】（2022秋?鐵西區(qū)校級(jí)期末）如圖，線段AB＝8cm，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)．（1）AC＝3cm，求線段CM、NM的長；（2）若線段AC＝m，線段BC＝n，求MN的長度（m＜n用含m，n的代數(shù)式表示）．【變式9-2】（2022秋?南昌期末）如圖，線段AB＝8，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．（1）求線段AD的長；（2）若在線段AB上有一點(diǎn)E，CE＝BC，求AE的長．【題型10度分秒換算】【典例10】（2022秋?寧波期末）用度表示30°9′36″為．【變式10-1】（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）計(jì)算：18°42′+42°58′＝．【變式10-2】（2022秋?盤山縣期末）計(jì)算：57.32°＝度分秒．【變式10-3】（2022秋?惠城區(qū)期末）把18°21′36″可表示為．【變式10-4】（2023春?文登區(qū)期末）18.21°＝°′″．【題型11角的概念及表示】【典例11】（2022秋?長壽區(qū)期末）下列四個(gè)圖形中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（）A． B． C． D．【變式11-1】（2022秋?阜平縣期末）下列圖形中，能用∠α，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角的是（）A． B． C． D．【變式11-2】（2022秋?宛城區(qū)期末）如圖所示，能用∠AOB，∠O，∠1三種方法表示同一個(gè)角的圖形的是（）A． B． C． D．【變式11-3】（2022秋?廣平縣期末）如圖，下列對(duì)圖中各個(gè)角的表示方法不正確的是（）A．∠A B．∠1 C．∠C D．∠ABC【題型12作圖-基本作圖】【典例12】（2023?綠園區(qū)一模）觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡：其中，能夠說明AB＞AC的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【變式12-1】（2023秋?朝陽區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC【變式12-2】（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）如圖，用尺規(guī)作圖作出∠OBF＝∠AOB，則作圖痕跡弧MN是（）A．以點(diǎn)B為圓心，以O(shè)D長為半徑的弧 B．以點(diǎn)B為圓心，以DC長為半徑的弧 C．以點(diǎn)E為圓心，以O(shè)D長為半徑的弧 D．以點(diǎn)E為圓心，以DC長為半徑的弧【變式12-3】（2023?松原模擬）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使AD＝BD，下列作法正確的是（）A． B． C． D．【題型13鐘面角】【典例13】（2022秋?滕州市校級(jí)期末）在時(shí)刻10：18，時(shí)鐘上時(shí)針與分針的夾角為（）A．105° B．155° C．159° D．157°【變式13-1】（2023春?泰山區(qū)期中）下午3：30時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)鶌A銳角的度數(shù)是（）A．67.5° B．70° C．75° D．80°【變式13-2】（2022秋?永安市期末）下午3時(shí)30分，鐘面上時(shí)針與分針的夾角為（）A．90° B．85° C．75° D．65°【變式13-3】（2022秋?九龍坡區(qū)期末）當(dāng)分針指向12，時(shí)針這時(shí)恰好與分針成60°的角，此時(shí)是（）A．9點(diǎn)鐘 B．10點(diǎn)鐘 C．4點(diǎn)鐘或8點(diǎn)鐘 D．2點(diǎn)鐘或10點(diǎn)鐘【題型14方位角】【典例14】（2022秋?漢陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，四條表示方向的射線中，表示北偏東30°的是（）A． B． C． D．【變式14-1】（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）如圖，在觀測(cè)站O發(fā)現(xiàn)客輪A、貨輪B分別在它北偏西50°、西南方向，則∠AOB的度數(shù)是（）A．80° B．85° C．90° D．95°【變式14-2】（2023?耿馬縣三模）如圖，在海島C測(cè)得船A在其南偏東70°的方向上，測(cè)得燈塔B在其北偏東50°的方向上，則∠ACB＝（）?A．50° B．60° C．70° D．80°【變式14-3】（2022秋?西豐縣期末）如圖，甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，沿圖示方向分別步行前進(jìn)到B、C兩地，現(xiàn)測(cè)得∠BAC為100°，B地位于A地的北偏東50°方向，則C地位于A地的（）A．北偏西50°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏東50°方向 D．南偏東30°方向【題型15角平分線】【典例15】（2023春?東阿縣期末）如圖，OA⊥OB，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，則∠BOD的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．22.5° D．25°【變式15-1】（2022秋?防城港期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，射線OC平分∠BOD，若∠BOC＝34°，則∠AOD等于（）A．34° B．68° C．144° D．112°【變式15-2】（2023春?淇濱區(qū)月考）如圖所示，直線AB、CD，交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC．若∠AOM＝36°，則∠BOC等于（）A．36° B．72° C．108° D．54°【變式15-2】（2023?鄲城縣一模）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，若∠BOE＝28°，則∠AOD的度數(shù)為（）A．58° B．60° C．62° D．70°【題型16角的運(yùn)算】【典例16】（2022秋?洪山區(qū)期末）如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作射線OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度數(shù)．【變式16-1】（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）已知如圖，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分線，OE是∠AOC的平分線，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度數(shù)．【變式16-2】（2023春?綏化期末）如圖，已知在同一平面內(nèi)∠AOB＝90°，∠AOC＝60°．（1）填空：∠BOC＝；（2）如果OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度數(shù)；（3）如果在（2）的條件下將∠AOC＝60°改為∠AOC＝2α（α＜45°），其他條件不變，求∠DOE的度數(shù)．【變式16-3】（2022秋?嘉峪關(guān)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A、O、E在同一直線上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°，OD平分∠COE，求∠COB的度數(shù)．【題型17角的大小比較】【典例17】（2022秋?臨海市期末）若∠α＝10.5°，∠β＝10°10'，則∠α∠β．（填“＞”，“＜”或“＝”）【變式17-1】（2023春?渭濱區(qū)期中）如圖，∠AOB和∠COD都是直角，則∠1∠2（填＞，＝，＜）．【變式17-2】（2023春?萊西市期中）如圖所示，由正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，O是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么∠AOB與∠COD的大小關(guān)系是∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【變式17-3】（2022秋?江北區(qū)期末）分別記以下三個(gè)時(shí)刻3：30，6：40，9：00時(shí)針和分針?biāo)山堑拇笮棣粒?，γ，?qǐng)比較α，β，γ的大?。ㄓ谩埃肌碧?hào)連結(jié)）【題型18多邊形】【典例18】（2022秋?高碑店市期末）下列是正多邊形的是（）A．六條邊都相等的六邊形 B．四個(gè)角都是直角的四邊形 C．四條邊都相等的四邊形 D．三條邊都相等的三角形【變式18-1】（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成一個(gè)六邊形，那么原多邊形邊數(shù)為（）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7【變式18-2】（2022秋?來鳳縣校級(jí)月考）鐵柵門和多功能掛衣架能夠伸縮自如，是利用平行四邊形的．【題型19多邊形的對(duì)角線】【典例19】（2023秋?富縣月考）若一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引4條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形對(duì)角線的總數(shù)為（）A．14 B．28 C．24 D．20【變式19-1】（2023秋?乾安縣期中）從一個(gè)多邊形的任何一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都只有2條對(duì)角線，則它的邊數(shù)是（）條．A．3 B．4 C．5 D．6【變式19-2】（2023秋?十堰月考）過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線將多邊形分成8個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形是（）A．八邊形 B．九邊形 C．十邊形 D．十一邊形【變式19-3】（2023秋?鐵鋒區(qū)月考）從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可引2022條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【題型20圓認(rèn)識(shí)】【典例20】（2023?濰坊開學(xué)）圓片向右滾動(dòng)一周后的位置如圖，這個(gè)圓片的直徑大約是（）cm．A．0.5 B．1 C．3.14 D．無法確定【變式20-1】（2022秋?呂梁期中）在平面內(nèi)與某定點(diǎn)A的距離等于cm的點(diǎn)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無數(shù)個(gè)【變式20-2】（2022秋?防城港期末）已知⊙O的半徑為2cm，則⊙O最長的弦為cm．【題型21扇形的面積】【典例21】（2023春?巴東縣期中）扇子最早稱“翣”，在我國已有兩千多年歷史．“打開半個(gè)月亮，收起兜里可裝，來時(shí)荷花初放，去時(shí)菊花正黃．”這則謎語說的就是扇子．如圖，一竹扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC夾角為135°，AB的長為30cm，扇面BD的長為20cm，則扇面面積為（）cm2．A．π B．600π C．300π D．30π【變式21-1】（2022秋?連云港期末）一個(gè)扇形的半徑是3，面積為6π，那么這個(gè)扇形的圓心角是（）A．260° B．240° C．140° D．120°【變式21-2】（2023?鶴山市模擬）圓心角為240°的扇形的半徑為3cm，則這個(gè)扇形的面積是（）cm2．A．π B．3π C．9π D．6π【變式21-3】（2022秋?安次區(qū)期末）如圖，一段公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧AB，則扇形AOB的面積為（）A．15πm2 B．30πm2 C．18πm2 D．12πm2

第四章基本平面圖形重要題型【題型1直線、射線與線段】【典例1】（2022秋?辛集市期末）下列幾何圖形與相應(yīng)語言描述相符的是（）A．如圖1所示，延長線段BA到點(diǎn)C B．如圖2所示，射線CB不經(jīng)過點(diǎn)A C．如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)A D．如圖4所示，射線CD和線段AB沒有交點(diǎn)【答案】C【解答】解：A、點(diǎn)C在線段BA的延長線上，故A不符合題意；B、射線BC不經(jīng)過點(diǎn)A，故B不符合題意；C、直線a和直線b相交于點(diǎn)A，正確，故C符合題意；D、射線CD和線段AB有交點(diǎn)，故D不符合題意，故選：C．【變式1-1】（2023春?泰安期中）下列說法中，正確的是（）A．射線MP和射線PM表示同一條射線 B．射線MP有兩個(gè)端點(diǎn) C．線段AB和線段BA表示同一條線段 D．射線AB和線段AB對(duì)應(yīng)同一圖形【答案】C【解答】解：A、射線MP和射線PM表示同一條射線錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、射線MP有一個(gè)端點(diǎn)M，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、線段AB和線段BA表示同一條線段正確，故本選項(xiàng)正確；D、射線AB和線段AB對(duì)應(yīng)同一圖形錯(cuò)誤；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【變式1-2】（2023?任丘市校級(jí)模擬）下列各選項(xiàng)中的射線EF和直線AB能相交的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：射線EF和直線AB能相交的是選項(xiàng)B中的圖形．故選：B．【變式1-3】（2023春?環(huán)翠區(qū)期中）如圖，下列不正確的說法是（）A．直線AB與直線BA是同一條直線 B．線段AB與線段BA是同一條線段 C．射線OA與射線AB是同一條射線 D．射線OA與射線OB是同一條射線【答案】C【解答】解：A、直線AB與直線BA是同一條直線，故本選項(xiàng)不符合題意；B、線段AB和線段BA是同一條線段，故本選項(xiàng)不符合題意；C、射線OA與射線AB不是同一條射線，故本選項(xiàng)符合題意；D、射線OA與射線OB是同一條射線，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【題型2直線的性質(zhì)】【典例2】（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，小亮為將一個(gè)衣架固定在墻上，他在衣架兩端各用一個(gè)釘子進(jìn)行固定，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋他這樣操作的原因，應(yīng)該是（）A．過一點(diǎn)有無數(shù)條直線 B．兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離 C．經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線 D．兩點(diǎn)之間，線段最短【答案】C【解答】解：因?yàn)椤皟牲c(diǎn)確定一條直線”，所以他在衣架兩端各用一個(gè)釘子進(jìn)行固定．故選：C．【變式2-1】（2022秋?衡東縣期末）平面上有不同的三個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過其中任意兩點(diǎn)畫直線，一共可以畫（）A．1條 B．2條 C．3條 D．1條或3條【答案】D【解答】解：如圖，經(jīng)過其中任意兩點(diǎn)畫直線可以畫3條直線或1條直線，故選：D．【變式2-2】（2022秋?瀘縣期末）小紅家分了一套住房，她想在自己的房間的墻上釘一根細(xì)木條，掛上自己喜歡的裝飾物，那么小紅至少需要幾根釘子使細(xì)木條固定（）A．1根 B．2根 C．3根 D．4根【答案】B【解答】解：根據(jù)直線的性質(zhì)，小紅至少需要2根釘子使細(xì)木條固定．只有B符合．故選：B．【變式2-3】（2022秋?莘縣期末）如圖，建筑工人在砌墻時(shí)，為了使砌的墻是直的，經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的細(xì)線繩作參照線．這樣做的依據(jù)是：兩點(diǎn)確定一條直線．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，這種做法運(yùn)用到的數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)確定一條直線．故答案為：兩點(diǎn)確定一條直線．【題型3線段的應(yīng)用】【典例3】（2023春?高青縣期中）如圖，AB是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車站，在這段路線上往返行車，需印制多少種車票？（）A．10 B．11 C．18 D．20【答案】D【解答】解：圖中線段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10條，單程要10種車票，往返就是20種，即5×（5﹣1）＝20，故選：D．【變式3-1】（2022秋?鄂城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在線段AD上有兩點(diǎn)B，C，則圖中共有_____條線段，若在車站A、D之間的線路中再設(shè)兩個(gè)站點(diǎn)B、C，則應(yīng)該共印刷_____種車票．（）A．3，3 B．3，6 C．6，6 D．6，12【答案】D【解答】解：從A開始的線段有：AB，AC，AD；從B開始的線段有：BC，BD；從C開始的線段有：CD，∴在線段AD上有兩點(diǎn)B，C，則圖中共有6條線段；由于車票從A到B和從B到A是不同的，所以車票的數(shù)量是線段條數(shù)的2倍，故需要12種車票，故選：D．【變式3-2】（2022秋?普寧市期末）由汕頭開往廣州東的D7511動(dòng)車，運(yùn)行途中須?？康能囌疽来问牵荷穷^→潮汕→普寧→汕尾→深圳坪山→東莞→廣州東．那么要為D7511動(dòng)車制作的車票一共有（）A．6種 B．7種 C．21種 D．42種【答案】C【解答】解：6+5+4+3+2+1＝21（種）．故要為D7511動(dòng)車制作的車票一共有21種．故選：C．【變式3-3】（2022秋?婺城區(qū)期末）杭衢高鐵線上，要保證衢州、金華、義烏、諸暨、杭州每兩個(gè)城市之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（）A．20種 B．15種 C．10種 D．5種【答案】A【解答】解：需要印制不同的火車票的種數(shù)是：2（1+2+3+4）＝20（種）．故選：A．【題型4作圖-直線射線和線段】【典例4】（2022秋?沈丘縣月考）如圖，平面上有三個(gè)點(diǎn)A，B，C．（1）根據(jù)下列語句畫圖：作出射線AC，CB，直線AB；在射線CB上取一點(diǎn)D（不與點(diǎn)C重合），使BD＝BC；（2）在（1）的條件下，回答問題：①用適當(dāng)?shù)恼Z句表述點(diǎn)D與直線AB的關(guān)系：點(diǎn)D在直線AB外；②若BD＝3，則CD＝6．【答案】（1）見解答；（2）①點(diǎn)D在直線AB外；②6．【解答】解：（1）如圖，射線AC，CB，直線AB；射線CB上一點(diǎn)D；（2）①點(diǎn)D與直線AB的關(guān)系：點(diǎn)D在直線AB外；故答案為：點(diǎn)D在直線AB外；②∵BD＝BC，BD＝3，∴CD＝2BD＝2×3＝6．故答案為：6．【變式4-1】（2022秋?館陶縣期末）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡，而且要求作圖時(shí)先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）：（1）作射線AB；（2）作直線AC與直線BD相交于點(diǎn)O；（3）在射線AB上作線段AC′，使線段AC′與線段AC相等．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）作射線AB，如圖所示；（2）作直線AC與直線BD相交于點(diǎn)O，如圖所示；（3）作法：以A為圓心，線段AC′的長為半徑，在射線AB上畫弧，交射線AB于C′，線段AC′就是所求．【變式4-2】（2022秋?新豐縣期末）已知平面上四點(diǎn)A、B、C、D，如圖：（1）畫直線AD；（2）畫射線BC，與AD相交于O；（3）連接AC、BD相交于點(diǎn)F．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示：【題型5線段的性質(zhì)】【典例5】（2022秋?衡山縣期末）某同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．點(diǎn)動(dòng)成線 C．直線是向兩方無限延伸的 D．兩點(diǎn)之間線段最短【答案】D【解答】解：某同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是：兩點(diǎn)之間所有連線中，線段最短，故選：D．【變式5-1】（2022秋?吉州區(qū)期末）曲橋是我國古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了橋的長度，也增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風(fēng)光，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線 D．連接兩點(diǎn)間線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離【答案】A【解答】解：曲橋是我國古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了橋的長度，也增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風(fēng)光，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是兩點(diǎn)之間，線段最短，故A正確．故選：A．【變式5-2】（2023春?文山市期末）把一條彎曲的高速路改為直道，可以縮短路程，其道理用幾何知識(shí)解釋應(yīng)為（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間，線段最短 C．垂線段最短 D．平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】B【解答】解：要想縮短兩地之間的里程，就盡量是兩地在一條直線上，因?yàn)閮牲c(diǎn)間線段最短．故選：B．【變式5-3】（2023?新華區(qū)模擬）如圖，從A地到B地的四條路線中，路程最短的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：從A地到B地的四條路線中，3是一條線段，∴路程最短的是3．故選：C．【題型6兩點(diǎn)間距離】【典例6】（2023秋?龍城區(qū)校級(jí)月考）如果A、B、C在同一直線上，線段AB＝4cm，BC＝8cm，那么A、C兩點(diǎn)間的距離是（）A．12cm B．8cm C．4cm D．4cm或12cm【答案】D【解答】解：①點(diǎn)B在A、C之間時(shí)，AC＝AB+BC＝4+8＝12（cm）．②點(diǎn)C在BA延長線上時(shí)，AC＝BC﹣AC＝8﹣4＝4（cm）．所以A、C兩點(diǎn)間的距離是12cm或4cm．故選：D．【變式6-1】（2022秋?新興縣期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，AB＝10，AC＝6，則線段CD的長是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解答】解：∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，又∵點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∴CD＝BC＝×4＝2．故選：C．【變式6-2】（2022秋?綏寧縣期末）如圖，AB＝12，C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AC上，且AD：CB＝1：3，則DB的長度為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【解答】解：已知AB＝12，C為AB的中點(diǎn)，∴，∵AD：CB＝1：3，∴，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣2＝10．故選：D．【變式6-3】（2022秋?交口縣期末）直線上有A，B，C三點(diǎn)，已知AB＝8cm，BC＝2cm，則AC的長是（）A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．不能確定【答案】C【解答】解：根據(jù)題意可得，如圖1，，AC＝AB+BC＝8+2＝10（cm）；如圖2，，AC﹣AB﹣BC＝8﹣2＝6（cm）．所以AC的長是10cm或6cm．故答案為：C．【題型7比較線段長短】【典例7】（2023?館陶縣校級(jí)模擬）如圖，用圓規(guī)比較兩條線段的大小，其中正確的是（）A．A'B'＞A'C' B．A'B'＝A'C' C．A'B'＜A'C' D．不能確定【答案】C【解答】解：如圖用圓規(guī)比較兩條線段的大小，A′B′＜A′C′，故選：C．【變式7-1】（2022秋?肥東縣期末）如圖，若AB＝CD，則AC與BD的大小關(guān)系為（）A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．不能確定【答案】C【解答】解：根據(jù)題意和圖示可知AB＝CD，而CB為AB和CD共有線段，故AC＝BD．故選：C．【變式7-2】（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，AC＞BD，比較線段AB與線段CD的大?。ǎ〢．AB＝CD B．AB＞CD C．AB＜CD D．無法比較【答案】B【解答】解：∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC＞BD，∴AB＞CD．故選：B．【變式7-3】（2022秋?紅橋區(qū)期末）如圖，AB＝CD，那么AC與BD的大小關(guān)系是（）A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不能確定【答案】A【解答】解：根據(jù)題意和圖示可知AB＝CD，而CB為AB和CD共有線段，故AC＝BD．故選：A．【題型8線段的簡單計(jì)算】【典例8】（2022秋?湖北期末）如圖，已知，如果CB＝2cm，求線段CD的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵，∴（3分）∵，∴，（3分）又∵CB＝2cm，∴AD＝12BC＝24cm（3分）∴（1分）【變式8-1】（2022秋?濟(jì)南期末）如圖，，D為AC的中點(diǎn)，DC＝2cm，求AB的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)AB長為x，BC＝AB＝，D為AC的中點(diǎn)，DC＝2cm，解得：AC＝4cm，∵AC＝AB+BC，∴4＝x+＝x，解得：x＝，故AB的長為cm．【變式8-2】（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）如圖，延長線段AB到C，使BC＝3AB，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，如果CD＝3cm，那么線段AC的長度是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，CD＝3cm，∴BC＝6cm，∵BC＝3AB，∴AB＝2cm，AC＝AB+BC＝6+2＝8cm．【變式8-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，線段AC＝6cm，線段BC＝15cm，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，在CB上取一點(diǎn)N，使得CN：NB＝1：2，求MN的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴MC＝AM＝AC＝×6＝3cm，又∵CN：NB＝1：2∴CN＝BC＝×15＝5cm，∴MN＝MC+NC＝3cm+5cm＝8cm．【變式8-4】（2022秋?通川區(qū)校級(jí)期末）已知，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)．（1）如果AB＝10cm，那么MN等于多少？（2）如果AC：BC＝3：2，NB＝3.5cm，那么AB等于多少？【答案】（1）5cm；（2）17.5cm．【解答】解：（1）MN＝CM+CN＝＝＝5cm；（2）∵NB＝3.5cm，∴BC＝7cm，∴AB＝＝17.5cm．【題型9“雙中點(diǎn)”模型】【典例9】（2022秋?禹城市期末）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)．求：（1）求AD的長度；（2）求DE的長度；（3）若M在直線AB上，且MB＝6cm，求AM的長度．【答案】（1）6cm；（2）4cm；（3）26cm或14cm．【解答】解：（1）由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，AD＝AC＝6（cm）；（2）由線段的和差，得AB＝AC+BC＝12+8＝20（cm），由線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得AE＝＝10（cm），由線段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm）；（3）當(dāng)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，AM＝AB+MB＝20+6＝26（cm），當(dāng)M在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，AM＝AB﹣MB＝20﹣6＝14（cm），∴AM的長度為26cm或14cm．【變式9-1】（2022秋?鐵西區(qū)校級(jí)期末）如圖，線段AB＝8cm，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)．（1）AC＝3cm，求線段CM、NM的長；（2）若線段AC＝m，線段BC＝n，求MN的長度（m＜n用含m，n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）2.5（cm）；（2）n．【解答】解：（1）∵AB＝8cm，M是AB的中點(diǎn)，∴AM＝AB＝4cm，∵AC＝3cm，∴CM＝AM﹣AC＝4﹣3＝1（cm）；∵AB＝8cm，AC＝3cm，M是AB的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)，∴AM＝AB＝4cm，AN＝AC＝1.5cm，∴MN＝AM﹣AN＝4﹣1.5＝2.5（cm）；（2）∵AC＝m，BC＝n，∴AB＝AC+BC＝m+n，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)，∴AM＝AB＝（m+n），AN＝AC＝m，∴MN＝AM﹣AN＝（m+n）﹣m＝n．【變式9-2】（2022秋?南昌期末）如圖，線段AB＝8，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)．（1）求線段AD的長；（2）若在線段AB上有一點(diǎn)E，CE＝BC，求AE的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AB＝8，C是AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC＝4，∵D是BC的中點(diǎn)，∴CD＝BC＝2，∴AD＝AC+CD＝6；（2）∵BC＝4，CE＝BC，∴CE＝×4＝1，當(dāng)E在C的左邊時(shí)，AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3；當(dāng)E在C的右邊時(shí)，AE＝AC+CE＝4+1＝5．∴AE的長為3或5．【題型10度分秒換算】【典例10】（2022秋?寧波期末）用度表示30°9′36″為30.16°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：30°9′36″＝30.16°，故答案為：30.16°【變式10-1】（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）計(jì)算：18°42′+42°58′＝61°40'．【答案】61°40'．【解答】解：18°42'+42°58'＝60°100'＝61°40'．故答案為：61°40'．【變式10-2】（2022秋?盤山縣期末）計(jì)算：57.32°＝57度19分12秒．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵0.32×60′＝19.2′，0.2×60″＝12″，∴57.32°＝57°19′12″．故答案為：57；19；12．【變式10-3】（2022秋?惠城區(qū)期末）把18°21′36″可表示為18.36°．【答案】18.36°．【解答】解：∵，∴，∴18°21'36''＝18°+0.36°＝18.36°．故答案為：18.36°．【變式10-4】（2023春?文登區(qū)期末）18.21°＝18°12′36″．【答案】18；12；36．【解答】解：18.21°＝18°+0.21×60′＝18°12.6′＝18°12′+0.6×60″＝18°12′36″．故答案為：18；12；36．【題型11角的概念及表示】【典例11】（2022秋?長壽區(qū)期末）下列四個(gè)圖形中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形是A中的圖，B，C，D中的圖都不能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個(gè)角的圖形，故選：A．【變式11-1】（2022秋?阜平縣期末）下列圖形中，能用∠α，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、圖中∠α、∠AOB、∠O表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)正確；D、圖中的∠AOB不能用∠α表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【變式11-2】（2022秋?宛城區(qū)期末）如圖所示，能用∠AOB，∠O，∠1三種方法表示同一個(gè)角的圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、以O(shè)為頂點(diǎn)的角不止一個(gè)，不能用∠O表示，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、以O(shè)為頂點(diǎn)的角不止一個(gè)，不能用∠O表示，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、以O(shè)為頂點(diǎn)的角不止一個(gè)，不能用∠O表示，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角，故D選項(xiàng)正確．故選：D．【變式11-3】（2022秋?廣平縣期末）如圖，下列對(duì)圖中各個(gè)角的表示方法不正確的是（）A．∠A B．∠1 C．∠C D．∠ABC【答案】C【解答】解：圖中的角有∠A、∠1、∠ABC、∠ACB，即表示方法不正確的有∠C，故選：C．【題型12作圖-基本作圖】【典例12】（2023?綠園區(qū)一模）觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡：其中，能夠說明AB＞AC的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【解答】解：如圖①中，由作圖可知，EB＝EC，∵EA+EC＞AC，∴EA+EB＞AC，即AB＞AC．如圖③中，由作圖可知，AT＝AC，∵點(diǎn)T在線段AB上，∴AB＞AT，即AB＞AC．故選：C．【變式12-1】（2023秋?朝陽區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC【答案】B【解答】解：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可得，∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分線，∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分線，∵∠C＝90°，∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∵DE不是AB的垂直平分線，故不能證明∠BAD＝∠B，綜上所述：A，C，D不符合題意，B符合題意，故選：B．【變式12-2】（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）如圖，用尺規(guī)作圖作出∠OBF＝∠AOB，則作圖痕跡弧MN是（）A．以點(diǎn)B為圓心，以O(shè)D長為半徑的弧 B．以點(diǎn)B為圓心，以DC長為半徑的弧 C．以點(diǎn)E為圓心，以O(shè)D長為半徑的弧 D．以點(diǎn)E為圓心，以DC長為半徑的弧【答案】D【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法：①以點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交射線OA，OB于點(diǎn)C，D；②以點(diǎn)B為圓心，以O(shè)C為半徑畫，交射線BO于點(diǎn)E；③以點(diǎn)E為圓心，以CD為半徑畫，交于點(diǎn)N，連接BN即可得出∠OBF，則∠OBF＝∠AOB．故選：D．【變式12-3】（2023?松原模擬）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使AD＝BD，下列作法正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：若要在BC邊上找一點(diǎn)D，使AD＝BD，則點(diǎn)D應(yīng)該是線段AB垂直平分線與BC的交點(diǎn)，故選：D．【題型13鐘面角】【典例13】（2022秋?滕州市校級(jí)期末）在時(shí)刻10：18，時(shí)鐘上時(shí)針與分針的夾角為（）A．105° B．155° C．159° D．157°【答案】C【解答】解：∵10：18時(shí)，時(shí)針與分針之間11到3間隔度數(shù)為30°×4＝120°，3分鐘對(duì)應(yīng)角度為，18分鐘時(shí)針對(duì)應(yīng)角度，∴在時(shí)刻10：18，時(shí)鐘上時(shí)針與分針的夾角為120°+18°+21°＝159°．故選：C．【變式13-1】（2023春?泰山區(qū)期中）下午3：30時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)鶌A銳角的度數(shù)是（）A．67.5° B．70° C．75° D．80°【答案】C【解答】解：∵鐘面上有12個(gè)大格，∴每一格的度數(shù)為360°÷12＝30°，∵下午3：30時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)鶌A銳角對(duì)應(yīng)兩個(gè)半大格，∴下午3：30時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)鶌A銳角的度數(shù)是30°×2.5＝75°．故選：C．【變式13-2】（2022秋?永安市期末）下午3時(shí)30分，鐘面上時(shí)針與分針的夾角為（）A．90° B．85° C．75° D．65°【答案】C【解答】解：∵3點(diǎn)30分，時(shí)針和分針中間相差2.5個(gè)大格，∵鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，∴3點(diǎn)30分，分針與時(shí)針的夾角是2.5×30°＝75°．故選：C．【變式13-3】（2022秋?九龍坡區(qū)期末）當(dāng)分針指向12，時(shí)針這時(shí)恰好與分針成60°的角，此時(shí)是（）A．9點(diǎn)鐘 B．10點(diǎn)鐘 C．4點(diǎn)鐘或8點(diǎn)鐘 D．2點(diǎn)鐘或10點(diǎn)鐘【答案】D【解答】解：∵鐘表上每一個(gè)大格之間的夾角是30°，∴當(dāng)分針指向12，時(shí)針這時(shí)恰好與分針成60°的角時(shí)，距分針成60°的角時(shí)針應(yīng)該有兩種情況，即距時(shí)針2個(gè)格，∴只有2點(diǎn)鐘或10點(diǎn)鐘時(shí)符合要求．故選：D．【題型14方位角】【典例14】（2022秋?漢陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，四條表示方向的射線中，表示北偏東30°的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、是南偏西60°，故此選項(xiàng)不合題意；B、是北偏東60°，故此選項(xiàng)不合題意；C、是北偏西30°，故此選項(xiàng)不合題意；D、是北偏東60°，故此選項(xiàng)合題意．故選：D．【變式14-1】（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）如圖，在觀測(cè)站O發(fā)現(xiàn)客輪A、貨輪B分別在它北偏西50°、西南方向，則∠AOB的度數(shù)是（）A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【解答】解：由題意得：∠AOB＝180°﹣（45°+50°）＝85°，故選：B．【變式14-2】（2023?耿馬縣三模）如圖，在海島C測(cè)得船A在其南偏東70°的方向上，測(cè)得燈塔B在其北偏東50°的方向上，則∠ACB＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【解答】解：∵船A在海島C的南偏東70°的方向上，燈塔B在海島C北偏東50°的方向上，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故選：B．【變式14-3】（2022秋?西豐縣期末）如圖，甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，沿圖示方向分別步行前進(jìn)到B、C兩地，現(xiàn)測(cè)得∠BAC為100°，B地位于A地的北偏東50°方向，則C地位于A地的（）A．北偏西50°方向 B．北偏西30°方向 C．南偏東50°方向 D．南偏東30°方向【答案】D【解答】解：如圖所示：由題意可得：∠BAD＝50°，∠BAC＝100°，則∠CAE＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故乙位于A地的南偏東30°．故選：D．【題型15角平分線】【典例15】（2023春?東阿縣期末）如圖，OA⊥OB，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，則∠BOD的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．22.5° D．25°【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+50°＝140°．∵OD平分∠AOC，∴∠COD＝∠AOC＝×140°＝70°．∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝70°﹣50°＝20°．故選：B．【變式15-1】（2022秋?防城港期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，射線OC平分∠BOD，若∠BOC＝34°，則∠AOD等于（）A．34° B．68° C．144° D．112°【答案】D【解答】解：∵射線OC平分∠DOB，∴∠BOD＝2∠BOC＝2×34°＝68°．∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣68°＝112°．故選：D．【變式15-2】（2023春?淇濱區(qū)月考）如圖所示，直線AB、CD，交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC．若∠AOM＝36°，則∠BOC等于（）A．36° B．72° C．108° D．54°【答案】C【解答】解：∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOM＝2×36°＝72°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣72°＝108°．故選：C．【變式15-2】（2023?鄲城縣一模）如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，若∠BOE＝28°，則∠AOD的度數(shù)為（）A．58° B．60° C．62° D．70°【答案】C【解答】解：∵點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∴∠COD＝，，∵∠EOD＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝，∴∠EOD＝90°，∵∠BOE＝28°，∴∠COE＝28°，∵∠EOD＝90°，∴∠EOB+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝62°．故選：C．【題型16角的運(yùn)算】【典例16】（2022秋?洪山區(qū)期末）如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作射線OD，若∠AOD＝∠AOB，求∠COD的度數(shù)．【答案】（1）40°；（2）20°或100°．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°；（2）∵∠AOD＝∠AOB，∴∠AOD＝60°，當(dāng)OD在∠AOB內(nèi)時(shí)，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，當(dāng)OD在∠AOB外時(shí)，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．故∠COD的度數(shù)為20°或100°．【變式16-1】（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）已知如圖，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分線，OE是∠AOC的平分線，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)∠AOB＝3x，∠BOC＝2x．則∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x．∵OE是∠AOC的平分線，∴∠AOE＝，∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝，∵∠BOE＝12°，∴，解得，x＝24°，∵OD是∠BOC的平分線，∴，∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+12°＝36°．【變式16-2】（2023春?綏化期末）如圖，已知在同一平面內(nèi)∠AOB＝90°，∠AOC＝60°．（1）填空：∠BOC＝150°；（2）如果OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度數(shù)；（3）如果在（2）的條件下將∠AOC＝60°改為∠AOC＝2α（α＜45°），其他條件不變，求∠DOE的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°，故答案為：150°；（2）由（1）知∠BOC＝150°，∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOC＝75°，∵OE平分∠AOC，∠AOC＝60°，∴∠COE＝AOC＝30°，∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°；（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2α，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+2α，∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOC＝45°+α，∵OE平分∠AOC，∠AOC＝2α，∴∠COE＝AOC＝α，∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝45°．【變式16-3】（2022秋?嘉峪關(guān)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A、O、E在同一直線上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°，OD平分∠COE，求∠COB的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵點(diǎn)A、O、E在同一直線上，∴∠AOE＝180°，∵∠EOD＝28°，OD平分∠COE，∴∠COE＝2∠DOE＝56°，∵∠COB+∠AOB+∠COE＝180°，而∠AOB＝40°，∴∠COB＝180°﹣∠EOC﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣56°＝84°．【題型17角的大小比較】【典例17】（2022秋?臨海市期末）若∠α＝10.5°，∠β＝10°10'，則∠α＞∠β．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＞．【解答】解：∵∠α＝10.5°＝10°30'，∠β＝10°10'，10°30'＞10°10'，∴∠α＞∠β，故答案為：＞．【變式17-1】（2023春?渭濱區(qū)期中）如圖，∠AOB和∠COD都是直角，則∠1＝∠2（填＞，＝，＜）．【答案】＝．【解答】解：∵∠AOB和∠COD都是直角，∴∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°，∴∠1＝∠2，故答案為：＝．【變式17-2】（2023春?萊西市期中）如圖所示，由正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，O是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么∠AOB與∠COD的大小關(guān)系是∠AOB＞∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＞．【解答】解：如圖：連接OE，由題意得：∠COE＝∠AOB，∵∠COE＞∠COD，∴∠AOB＞∠COD，故答案為：＞．【變式17-3