換底公式練習(xí) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊

2.2換底公式一、選擇題(本大題共9小題,每小題5分,共45分)1.lg2·log210的值為 ()A.-1 B.0C.1 D.22.若lg7lg5=1a,則7a= (A.17 B.C.5 D.73.設(shè)log34·log48·log8m=log416,則m的值為 ()A.12 B.C.18 D.274.[2024·上海青浦高級中學(xué)高一期中]現(xiàn)有下列計(jì)算式:①loga(b2-c2)=2logab-2logac;②(loga3)③lg15lg3=④logax2=2loga|x|;⑤logab·logba=1.其中正確的是 ()A.①②④ B.②③C.③④ D.④⑤5.已知log147=a,log145=b,則log3528用a,b表示為 ()A.2-aa+bC.a+b2-a6.若logax=2,logbx=3,logcx=6,則logabcx的值為 ()A.1 B.2C.3 D.47.若3x=5y=k,且1x+1y=2,則k的值為 (A.22 B.15C.15 D.2258.(多選題)下列各式中正確的是(各字母均為不等于1的正數(shù)) ()A.logab·logba=1B.logcd=1C.logcd·logdf=logcfD.logab=lo9.(多選題)[2024·寧夏吳忠秦寧中學(xué)高一月考]以下式子中正確的是 ()A.logab=logcalogcbB.log2C.log225+log2D.log39+log42=0二、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)10.1log48+log1611.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足2a=3,3b=5,5c=7,7d=16,則abcd=.

12.太陽光通過一層普通玻璃時,其中的紫外線只會損失原來強(qiáng)度的110,而某型號的防紫外線玻璃則能將通過的太陽光中的紫外線過濾為原來強(qiáng)度的13.設(shè)太陽光中紫外線的強(qiáng)度為k(k>0),則要達(dá)到上述型號的防紫外線玻璃的過濾效果,至少需要的普通玻璃的層數(shù)為.(參考數(shù)據(jù):lg3≈0三、解答題(本大題共2小題,共20分)13.(10分)計(jì)算:(1)log34·log249·log79;(2)(log43+log29)(log92-log278).14.(10分)已知alog918=1,18b=5.(1)求18a+18-a的值;(2)試用a,b表示log365.15.(5分)對于冪函數(shù)y=xα,當(dāng)α取不同的正數(shù)時,在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖).設(shè)點(diǎn)A(1,0),B(0,1),連接AB,線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y=xa,y=xb的圖象三等分,設(shè)冪函數(shù)y=xa,y=xb的圖象與線段AB分別交于點(diǎn)M,N,那么ab= ()A.13 B.C.1 D.116.(15分)(1)設(shè)a,b,c分別是直角三角形三邊的長,其中c為斜邊的長,c+b≠1,c-b≠1,且a≠1.求證:log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a·log(c-b)a.(2)已知loga1b1=loga2b2=…=loganbn=λ,ai>0且ai≠1,其中i∈N*,i≤n,求證:log(a1a2.2換底公式1.C[解析]lg2·log210=lg2·lg10lg2=lg10=1,故選C2.C[解析]∵lg7lg5=1a,∴l(xiāng)og75=a,則7a=5.故選3.B[解析]由題意得lg4lg3·lg8lg4·lgmlg8=log416=log442=2,所以lgmlg3=2,即lgm=2lg3=lg9,4.D[解析]對于①,右邊=logab2-logac2=logab2c2≠左邊,故①不正確;對于②,當(dāng)a=3時,(loga3)2=1≠2loga3=2,故②不正確;對于③,lg15lg3=log315>1,lg5<1,則lg15lg3≠lg5,故③不正確;對于④,由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知logax2=loga|x|2=2loga|x|,故④正確;對于⑤,由換底公式知logab·logba=lgblga·lgalgb=5.A[解析]log3528=log1428log1435=log6.A[解析]∵logax=1logxa=2,∴l(xiāng)ogxa=12.同理可得logxb=13,logxc=16,則logabcx=17.B[解析]由3x=5y=k,得x=log3k,y=log5k,易知k>0且k≠1,所以1x+1y=1log3k+1log5k=logk3+logk5=logk15=2,則k2=8.ABC[解析]根據(jù)對數(shù)換底公式可知A,B,C均正確;D中,logab=logcblogca,9.BC[解析]對于A,取a=2,b=4,c=2,則logab=2,logcalogcb=12,logab≠logcalogcb,故A不正確;對于B,log28log24=log223log222=3log222log22=32,故B正確;對于C,log225+log215×log58+lo10.76[解析]1log48+log164=log84+log242211.4[解析]∵2a=3,∴a=log23.同理b=log35,c=log57,d=log716.則由換底公式可得abcd=log23·log35·log57·log716=ln3ln2·ln5ln3·ln7ln5·ln16ln7=12.11[解析]設(shè)需要的普通玻璃的層數(shù)為n(n∈N*),由題意可得k·910n≤k3,可得109n≥3,所以n≥log1093=lg31-lg9=lg31-2lg3≈10.37,又n13.解:(1)log34·log249·log79=ln22ln3·ln72ln2·ln(2)(log43+log29)(log92-log278)=ln32ln2+2ln314.解:(1)因?yàn)閍log918=1,所以a=log189,18a+18-a=18log189+18-log(2)由18b=5得log185=b,所以log365=log185log1836=lo15.C[解析]由題知,M,N為線段AB的三等分點(diǎn),易得M13,23,N23,13,將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別代入y=xa,y=xb,得13a=23,23b=13,解得a=log1323,b=log16.證明:(1)由勾股定理得a2+b2=