2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.3.2第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.學(xué)會(huì)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的方法.2.駕馭等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)應(yīng)用其解決問(wèn)題.嚴(yán)格分類探討提升數(shù)學(xué)運(yùn)算抽象數(shù)學(xué)模型授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第22頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和預(yù)習(xí)教材P26－29，思索并完成以下問(wèn)題1．對(duì)于數(shù)列1，2，22，23，…，2n，……(1)該數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別是多少？提示：首項(xiàng)為1，公比為2.(2)把該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1①兩邊同乘以公比2得：2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n②這兩個(gè)等式的右邊有何相同點(diǎn)？若用②式減去①式，會(huì)有什么結(jié)果？提示：兩個(gè)等式的右邊除首項(xiàng)與末項(xiàng)不同外，其余各項(xiàng)均相同，若用②式減去①式會(huì)把這些相同的項(xiàng)全部消掉，求得Sn＝2n－1.2．對(duì)和式Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1(q≠1)按1(2)的方法處理睬怎樣呢？提示：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，③qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，④④－③得：(q－1)Sn＝a1(qn－1)，由q≠1得Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q).學(xué)問(wèn)梳理等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、末項(xiàng)與公比公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1）,\f(a1（1－qn）,1－q)（q≠1）))Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1）,\f(a1－qan,1－q)（q≠1）))學(xué)問(wèn)點(diǎn)二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)思索并完成以下問(wèn)題1．在等差數(shù)列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列嗎？提示：是的．2．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，成等比數(shù)列嗎？提示：a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q2(a3＋a4)，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比數(shù)列．3．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比數(shù)列嗎？提示：是的．4．仿照問(wèn)題1，在等比數(shù)列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是否成等比數(shù)列．提示：成等比數(shù)列．學(xué)問(wèn)梳理類比等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)總結(jié)如下：(1)等比數(shù)列{an}中，若項(xiàng)數(shù)為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q.(2)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比數(shù)列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…均不為0)．(3)若一個(gè)特別數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N＋)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)數(shù)列{an}為等比數(shù)列．[自我檢測(cè)]1．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}前7項(xiàng)的和為()A．63 B．64C．127 D．128解析：∵a5＝a1·q4，∴q＝±2.∵q＞0.∴q＝2，∴S7＝eq\f(a1（1－q7）,1－q)＝eq\f(27－1,2－1)＝127，故選C.答案：C2．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，S3＝26，則公比q＝()A．－3 B．－4C．3或－4 D．－3或4解析：∵S3＝eq\f(a1（1－q3）,1－q)＝eq\f(2（1－q3）,1－q)＝26.∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4，故選C.答案：C3．等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，它的全部各項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的3倍，則公比q＝________．解析：設(shè){an}的公比為q，則奇數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q2，首項(xiàng)為a1，偶數(shù)項(xiàng)之和與奇數(shù)項(xiàng)之和分別為S偶，S奇，由題意S偶＋S奇＝3S奇，即S偶＝2S奇，因?yàn)閿?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，所以q＝eq\f(S偶,S奇)＝2.答案：2授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第23頁(yè)探究一等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算[閱讀教材P27例5及解答](1)已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，q＝3，求S3.(2)求等比數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…的前10項(xiàng)的和．題型：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算．方法步驟：(1)明確首項(xiàng)a1，公比q以及項(xiàng)數(shù)n；(2)干脆運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解．[例1]求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和．(1)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…；(2)a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，q＜0.[解析](1)因?yàn)閍1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，所以S8＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(8))),1－\f(1,2))＝eq\f(255,256).(2)由a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，可得eq\f(1,243)＝27·q8.又由q＜0.可得q＝－eq\f(1,3)，所以S8＝eq\f(a1－a8q,1－q)＝eq\f(a1－a9,1－q)＝eq\f(27－\f(1,243),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝eq\f(1640,81).方法技巧等比數(shù)列前n項(xiàng)和計(jì)算的留意事項(xiàng)(1)應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行推斷，若兩種狀況都有可能，則要分類探討．(2)當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列是常數(shù)列，所以Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有兩個(gè)公式．當(dāng)已知a1，q與n時(shí)，用Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)比較便利；當(dāng)已知a1，q與an時(shí)，用Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)比較便利．跟蹤探究1.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和Sn.(2)在等比數(shù)列{an}中，S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2)，求an.解析：(1)設(shè){an}的公比為q，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q＝6，,6a1＋a1q2＝30))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3,q＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2,q＝3)).當(dāng)a1＝3，q＝2時(shí)，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)，當(dāng)a1＝2，q＝3時(shí)，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知S6≠2S3，則q≠1，又S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－q3）,1－q)＝\f(7,2)①,\f(a1（1－q6）,1－q)＝\f(63,2)②))②÷①，得1＋q3＝9，∴q＝2.將q＝2代入①解得a1＝eq\f(1,2)，因此an＝a1qn－1＝2n－2.探究二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)[例2](1)在等比數(shù)列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，則S3n＝________．(2)已知等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為1，且公比q＝2，求前12項(xiàng)的和．[解題指南](1)由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列求S3n.(2)依據(jù)S1，S8－S4，S12－S8的關(guān)系求S12.[解析](1)由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列得(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，所以S3n＝63.(2)因?yàn)镾8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝q4S4＝24＝16，所以S8＝17.又因?yàn)镾4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，即162＝S12－17，所以S12＝273.[答案](1)63(2)答案見(jiàn)解析延長(zhǎng)探究1.例(2)條件不變，求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解析：由S4＝1，q＝2，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－q4）,1－q)＝1，,q＝2.))即(24－1)a1＝1，所以a1＝eq\f(1,15).所以an＝a1·qn－1＝eq\f(1,15)·2n－1.2．例(2)條件“前4項(xiàng)和為1，且公比q＝2”改為“前4項(xiàng)和為S4，公比為q”，探究S4與S12解析：由S12＝S4＋a5＋a6＋a7＋…＋a12＝S4＋q4(a1＋a2＋…＋a8)＝S4＋q4(S4＋a5＋a6＋a7＋a8)＝S4＋q4[S4＋q4(a1＋a2＋a3＋a4)]＝S4＋q4S4＋q8S4＝S4(1＋q4＋q8)．方法技巧等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn)(1)在解決等比數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題時(shí)，若條件含有奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的時(shí)候，假如項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，可考慮利用奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之間的關(guān)系求解．(2)當(dāng)已知條件含有片段和時(shí)，要考慮性質(zhì)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m跟蹤探究2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S6,S3)＝3，則eq\f(S9,S6)＝()A．2 B.eq\f(7,3)C.eq\f(8,3) D．3解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比數(shù)列，于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴eq\f(S9,S6)＝eq\f(7,3)，故選B.答案：B3．一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，全部各項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為64，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________．解析：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，全部奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之和分別記作S奇，S偶，由題意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因?yàn)閿?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，所以有q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又因?yàn)閍1·a1q·a1q2＝64，所以aeq\o\al(3,1)·q3＝64，即a1＝12，故所求通項(xiàng)公式為an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－1).答案：an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－1)探究三等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用[閱讀教材P28例7及解答]一個(gè)熱氣球在第一分上升了25m的高度，在以后的每一分里，它上升的高度都是它在前一分上上升度的80%，這個(gè)熱氣球上升的高度能超過(guò)125m嗎？題型：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用方法步驟：①抽象出等比數(shù)列模型．②確定首項(xiàng)a1＝25，公比q＝eq\f(4,5).③熱氣球在幾分鐘里上升的總高度利用公式求和．④推斷作出結(jié)論．[例3]某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上一年削減eq\f(1,5)，本年度當(dāng)?shù)芈糜问杖牍烙?jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)料今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上一年增長(zhǎng)eq\f(1,4).求n年內(nèi)的總投入與n年內(nèi)旅游業(yè)的總收入．[解析]第1年投入800萬(wàn)元，第2年投入800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))萬(wàn)元，……第n年投入800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\s\up12(n－1)萬(wàn)元．∴每年的投入構(gòu)成首項(xiàng)為800，公比為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))的等比數(shù)列．故n年內(nèi)的總投入為Sn＝800＋800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＋…＋800×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\s\up12(n－1)＝4000×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(n))).第1年旅游業(yè)的收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)的收入為400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))萬(wàn)元，……第n年旅游業(yè)的收入為400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)萬(wàn)元，∴每年的旅游收入構(gòu)成首項(xiàng)為400，公比為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))的等比數(shù)列．所以n年內(nèi)旅游業(yè)的總收入為Tn＝400＋400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))＋…＋400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq\s\up12(n－1)＝1600×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))\s\up12(n)－1)).方法技巧解數(shù)列應(yīng)用題的詳細(xì)方法步驟(1)仔細(xì)審題，精確理解題意，達(dá)到如下要求：①明確問(wèn)題屬于哪類應(yīng)用問(wèn)題，即明確是等差數(shù)列問(wèn)題還是等比數(shù)列問(wèn)題，還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問(wèn)題？是求an還是求Sn？特殊要留意精確弄清項(xiàng)數(shù)是多少．②弄清題目中主要的已知事項(xiàng)．(2)抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量，將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示．(3)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將已知與所求聯(lián)系起來(lái)，列出滿意題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式．跟蹤探究4.某單位從市場(chǎng)上購(gòu)進(jìn)一輛新型轎車，購(gòu)價(jià)為36萬(wàn)元，該單位運(yùn)用轎車時(shí)，一年需養(yǎng)路費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)、汽油費(fèi)、年檢費(fèi)等約6萬(wàn)元，同時(shí)該車的年折舊率為10%(即這輛車每年削減它價(jià)值的10%，當(dāng)年折舊費(fèi)用也為該年花費(fèi)在轎車上的費(fèi)用)．試問(wèn)：大約運(yùn)用多少年后，該單位花在轎車上的費(fèi)用就達(dá)36萬(wàn)元？并說(shuō)明理由．解析：用an表示該單位第n年花費(fèi)在轎車上的費(fèi)用，則a1＝6＋36×0.1，a2＝6＋(36×0.9)×0.1，a3＝6＋(36×0.92)×0.1，…，類推可得an＝6＋(36×0.9n－1)×0.1，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝6n＋36×0.1×(1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n－1)＝6n＋3.6×eq\f(1－0.9n,1－0.9)＝6n＋36(1－0.9n)．令Sn＝36，得0.9n＝eq\f(n,6)，因?yàn)?＜n＜6，取值驗(yàn)證，當(dāng)n＝4時(shí)，0.9n＝0.6561，eq\f(4,6)≈0.6667.所以n≈4.故大約運(yùn)用4年后，該單位花在轎車上的費(fèi)用就已經(jīng)達(dá)到36萬(wàn)元.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第25頁(yè)[課后小結(jié)](1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”．(2)前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，留意前