2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章平面向量初步6.1.4數(shù)乘向量課時素養(yǎng)評價含解析新人教B版必修第二冊

PAGE數(shù)乘向量(15分鐘30分)1.點M在AB上,且=QUOTE,則等于 ()A.-3B.QUOTEC.-QUOTE D.3【解析】選B.如圖=QUOTE,所以=QUOTE.【補償訓練】(2024·揚州高一檢測)已知點P在直線AB上,且=4,設=λ,則實數(shù)λ=________.

【解析】因為,所以P是四等分點,因此=QUOTE.答案:QUOTE2.式子:①+=0,②0·=0,③-=,其中不正確的個數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 D.0【解析】選C.因為+=0≠0,0·=0≠0,-=,所以都不正確.3.點C在線段AB上,且=QUOTE,=λ,則λ為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.-QUOTED.-QUOTE【解析】選D.由題意知=QUOTE,即=-QUOTE,所以=QUOTE×QUOTE=-QUOTE,故λ=-QUOTE.4.已知|a|=4,|b|=8,若兩向量同向,則向量a與向量b的關系為b=________a.

【解析】由于|a|=4,|b|=8,則|b|=2|a|,又兩向量同向,故b=2a.答案:25.已知點C在線段AB的延長線上(在B點右側),且AB∶AC=2∶3.①用表示;②用表示.【解析】如圖a,因為點C在線段AB的延長線上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC.①如圖b,向量與方向相同,所以=2;②如圖c,向量與方向相反,所以=-3.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,則()A.=5且=2.5B.=5且=2C.=6且=2D.=6且=3【解析】選B.因為DE是△ABC的中位線,所以BC=2DE,即=2.依據(jù)勾股定理可求得=QUOTE=5.2.已知A,B,C三點共線,且C為線段AB的靠近B的五等分點,則下列結論正確的個數(shù)為 ()①=5;②∶=4∶1;③=-QUOTE.A.0B.1C.2D.3【解析】選C.由題意知,=-5,=-QUOTE,∶=4∶1,所以②③正確.3.(2024·蘇州高一檢測)在△ABC中,M是BC的中點.若=a,=b,則=()A.QUOTE(a+b) B.QUOTE(a-b)C.QUOTEa+b D.a+QUOTEb【解析】選D.在△ABC中,M是BC的中點,又=a,=b,所以=+=+QUOTE=a+QUOTEb.4.若5=-3,且||=||,則四邊形ABCD是 ()A.平行四邊形B.菱形C.矩形 D.等腰梯形【解析】選D.由5=-3知,∥且||≠||,故此四邊形為梯形,又因為||=||,所以梯形ABCD為等腰梯形.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.向量a=2e,b=-6e,則下列說法正確的是 ()A.a∥bB.向量a,b方向相反C.QUOTE=3QUOTED.b=-3a【解析】選ABD.因為b=-6e=-3QUOTE=-3a,所以a∥b,a,b方向相反,且3QUOTE=QUOTE.6.(2024·泰安高一檢測)設點M是△ABC所在平面內一點,則下列說法正確的是()A.若=QUOTE+QUOTE,則點M是邊BC的中點B.若=2-,則點M在邊BC的延長線上C.若=--,則點M是△ABC的重心D.若=x+y,且x+y=QUOTE,則△MBC的面積是△ABC面積的QUOTE【解析】選CD.A中:=QUOTE+QUOTE?QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE,即:=-QUOTE,則點M不是邊BC的中點.B中:=2-?-=-,所以=,則點M在邊CB的延長線上,所以B錯誤.C中:設BC中點D,則=--=+=2,由重心性質可知C成立.D中:=x+y且x+y=QUOTE?2=2x+2y,2x+2y=1,設=2,所以=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三點共線,所以△MBC的面積是△ABC面積的QUOTE.【光速解題】選CD.本題中CD選項較難推斷,所以重點放在AB選項的推斷上,通過AB推斷(見本題解析)易知兩選項不正確,所以用解除法選CD.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知=-QUOTE,=λ,則λ的值為________.

【解析】因為=-QUOTE,所以P,P1,P2三點共線,且P2在線段PP1的反向延長線上,所以=QUOTE,所以λ=QUOTE.答案:QUOTE【補償訓練】已知點M是△ABC所在平面內的一點,若滿意6--2=0,且S△ABC=λS△ABM,則實數(shù)λ的值是________.

【解析】記2=,因為-+2-2=0,所以=2,S△ABC=QUOTES△ABN.又因為S△ABM=QUOTES△ABN,所以S△ABC=3S△ABM,從而有λ=3.答案:38.已知平面上不共線的四點O,A,B,C,若-3+2=0,則=______

,=________.

【解析】因為-3+2=0,所以-=2(-),所以=2,所以=2.答案:22四、解答題(每小題10分,共20分)9.點E,F分別為四邊形ABCD的對角線AC,BD的中點,設=a,=b,試用a,b表示.【解析】如圖,取AB的中點P,連接EP,FP,在△ABC中,因為EP是△ABC的中位線,所以=QUOTE=QUOTEa,在△ABD中,因為FP是△ABD的中位線,所以=QUOTE=-QUOTEb,在△EFP中,=+=-QUOTEa-QUOTEb=-QUOTE(a+b).10.已知a,b是兩個非零向量,推斷下列各命題的真假,并說明理由.(1)QUOTEa的方向與a的方向相同,且QUOTEa的模是a的模的QUOTE倍.(2)-3a的方向與6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的QUOTE.(3)-4a與4a是一對相反向量.(4)a-b與-(b-a)是一對相反向量.(5)若a,b不共線,則0·a與b不共線.【解析】(1)真命題.因為QUOTE>0,所以QUOTEa與a同向.因為|QUOTEa|=QUOTE|a|,所以QUOTEa的模是a的模的QUOTE倍.(2)真命題.因為-3<0,所以-3a與a方向相反且|-3a|=3|a|.又因為6>0,所以6a與a方向相同且|6a|=6|a|,所以-3a與6a方向相反且模是6a的模的QUOTE.(3)真命題.由數(shù)乘定義和相反向量定義可知.(4)假命題.因為a-b與b-a是相反向量,所以a-b與-(b-a)是相等向量.(5)假命題.0·a=0,所以0·a與b共線.1.莊重漂亮的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一個特別美麗的幾何圖形,且與黃金分割有著親密的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中,以A,B,C,D,E為頂點的多邊形為正五邊形,且QUOTE=QUOTE.下列關系中正確的是()A.-=QUOTEB.+=QUOTEC.-=QUOTED.+=QUOTE【解析】選A.在題干所示的正五角星中,以A,B,C,D,E為頂點的多邊形為正五邊形,且QUOTE=QUOTE.在A中,-=-==QUOTE,故A正確;在B中,+=+==QUOTE,故B錯誤;在C中,-=-=QUOTE,故C錯誤;在D中,+=+,QUOTE==-,若+=QUOTE,則=0,不合題意,故D錯誤.2.設V是平面對量的集合,映射f:V→V滿意f(a)=QUOTE則對隨意的a,b∈V,λ∈R.求證:f(|a|·a)=f(a).【證明】若a=0,則f(|a|·a)=f(a)=0;若a≠0,則f(|a|·a)=QUOTE·a=QUOTEa,且f(a)=QUOTEa,所以f(|a|·a)=f(a).綜上可得對隨意向量a,均有f(|a|·a)=f(a).【補償訓練】(多選題)瑞士數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同始終線上,而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半”這就是聞名的歐拉線定理.設△ABC中,點O,H,G分別是外心、垂心、重心,下列四個選項中結論錯誤的是 ()A.=2