2024春新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步章末復(fù)習(xí)課分層演練含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE第八章立體幾何初步章末復(fù)習(xí)課要點(diǎn)訓(xùn)練一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.緊扣結(jié)構(gòu)特征是推斷的關(guān)鍵,熟識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在條件不變的狀況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,然后再依據(jù)題意判定.2.通過舉反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析,即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的,只要舉出一個(gè)反例即可.1.設(shè)有四個(gè)命題:①底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體;②棱長(zhǎng)都相等的直四棱柱是正方體;③側(cè)棱垂直于底面兩條邊的平行六面體是直平行六面體;④對(duì)角線相等的平行六面體是直平行六面體.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1B.2 C.3D.4解析:底面是矩形的直平行六面體是長(zhǎng)方體,①錯(cuò)誤;棱長(zhǎng)都相等的直四棱柱是正方體,②正確;側(cè)棱垂直于底面兩條相鄰邊的平行六面體是直平行六面體,③錯(cuò)誤;隨意側(cè)面上兩條對(duì)角線相等的平行六面體是直平行六面體,④錯(cuò)誤.故命題正確的個(gè)數(shù)是1.答案:A2.在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中,直角三角形最多可有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析:如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,取四棱錐A1-ABCD,則此四棱錐的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形.答案:D要點(diǎn)訓(xùn)練二空間幾何體的表面積與體積1.空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題,關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積問題留意連接部分的處理.(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題,應(yīng)留意其側(cè)面綻開圖的應(yīng)用.2.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體問題是可干脆用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可干脆利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能干脆利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先依據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,再依據(jù)條件求解.1.已知一個(gè)六棱錐的體積為23,其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形,側(cè)棱長(zhǎng)都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為12.解析:由題意可知,該六棱錐是正六棱錐.設(shè)該六棱錐的高為h,則13×6×34×22×h=23,解得h=1.由題意,得底面正六邊形的中心到其邊的距離為3,所以側(cè)面等腰三角形底邊上的高為(3)2+12.如圖所示,三棱錐O-ABC為長(zhǎng)方體的一角,其中OA,OB,OC兩兩垂直,三個(gè)側(cè)面OAB,OAC,OBC的面積分別為1.5cm2,1cm2,3cm2,求三棱錐O-ABC的體積.解:設(shè)OA,OB,OC的長(zhǎng)依次為xcm,ycm,zcm,由已知可得12xy=1.5,12xz=1,12yz=3,解得x=1,y=3,z將三棱錐O-ABC看成以C為頂點(diǎn),以O(shè)AB為底面,易知OC為三棱錐C-OAB的高.故V三棱錐O-ABC=VC-OAB=13S△OAB·OC=13×1.5×2=1(cm33.如圖所示,已知三棱柱ABC-A'B'C',側(cè)面B'BCC'的面積是S,點(diǎn)A'到側(cè)面B'BCC'的距離是a,求三棱柱ABC-A'B'C'的體積.解:連接A'B,A'C,如圖所示,這樣就把三棱柱ABC-A'B'C'分割成了兩個(gè)棱錐,即三棱錐A'-ABC和四棱錐A'-BCC'B'.設(shè)所求體積為V,明顯三棱錐A'-ABC的體積是13而四棱錐A'-BCC'B'的體積為13Sa故有13V+13Sa=V,所以V=要點(diǎn)訓(xùn)練三與球有關(guān)的切、接問題與球相關(guān)問題的解題策略(1)作適當(dāng)?shù)慕孛?如軸截面等)時(shí),對(duì)于球內(nèi)接長(zhǎng)方體、正方體,則截面一要過球心,二要過長(zhǎng)方體或正方體的兩條體對(duì)角線,才有利于解題.(2)對(duì)于“內(nèi)切”和“外接”等問題,首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系,主要是指特別的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系,然后把相關(guān)的元素放到這些關(guān)系中來解決.1.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為6,底面邊長(zhǎng)為4,則該球的表面積為()A.443πB.4849πC.814解析:如圖所示,設(shè)PE為正四棱錐P-ABCD的高,則正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直線上,延長(zhǎng)PE交球面于一點(diǎn)F,連接AE,AF.由球的性質(zhì)可知△PAF為直角三角形,且AE⊥PF.因?yàn)樵摾忮F的高為6,底面邊長(zhǎng)為4,所以AE=22,PE=6,所以側(cè)棱長(zhǎng)PA=PE2+AE2=62+(22)2=44=211.設(shè)球的半徑為R,則PF=2R.由△PAE∽△PFA,得PA2=PF·PE,即44=2R×6,解得R=113答案:B2.一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切,假如這個(gè)球的體積是323π,那么這個(gè)正三棱柱的體積是(A.963B.163C.243D.483解析:由球的體積公式可求得球的半徑R=2.設(shè)球的外切正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,高即側(cè)棱長(zhǎng),為h,則h=2R=4.在底面正三角形中,由正三棱柱的內(nèi)切球特征,得a2×33=R=2,解得a=43.故這個(gè)正三棱柱的體積V=12×32×(43)答案:D要點(diǎn)訓(xùn)練四空間中的平行關(guān)系1.平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2.直線與平面平行的主要判定方法(1)定義法;(2)判定定理;(3)面與面平行的性質(zhì).3.平面與平面平行的主要判定方法(1)定義法;(2)判定定理;(3)推論;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β.1.如圖所示,三棱柱ABC-A'B'C'中,M,N分別為BB',A'C'的中點(diǎn).求證:MN∥平面ABC'.證明:取B'C'的中點(diǎn)P,連接MP,NP(圖略),則MP∥BC',NP∥A'B'.因?yàn)锳'B'∥AB,所以NP∥AB.因?yàn)锳B?平面ABC',NP?平面ABC',所以NP∥平面ABC'.同理MP∥平面ABC'.因?yàn)镹P∩MP=P,所以平面MNP∥平面ABC'.因?yàn)镸N?平面MNP,所以MN∥平面ABC'.2.兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,過點(diǎn)M作MH⊥AB于點(diǎn)H.求證:平面MNH∥平面BCE.證明:因?yàn)檎叫蜛BCD中,MH⊥AB,BC⊥AB,所以MH∥BC.因?yàn)锽F=AC,AM=FN,所以FNBF=AM因?yàn)镸H∥BC,所以AMAC=AH所以FNBF=AH所以NH∥AF∥BE.因?yàn)镸H?平面MNH,NH?平面MNH,MH∩NH=H,BC?平面BCE,BE?平面BCE,BC∩BE=B,所以平面MNH∥平面BCE.要點(diǎn)訓(xùn)練五空間中的垂直關(guān)系1.空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化2.判定線線垂直的方法(1)平面幾何中證明線線垂直的方法.(2)線面垂直的性質(zhì):a⊥α,b?α?a⊥b;a⊥α,b∥α?a⊥b.3.判定線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個(gè)平面垂直”.(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則與另一個(gè)平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性質(zhì).4.判定面面垂直的方法(1)利用定義:兩個(gè)垂直平面相交,所成的二面角是直二面角.(2)判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β.1.如圖所示,Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直角邊AO所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB上隨意一點(diǎn).求證:平面COD⊥平面AOB.證明:由題意,得CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.因?yàn)槎娼荁-AO-C是直二面角,所以∠BOC=90°,所以CO⊥BO.因?yàn)锳O∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.因?yàn)镃O?平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.2.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G為線段PC上的點(diǎn),O為AC,BD交點(diǎn).(1)證明:BD⊥平面APC;(2)若G滿意PC⊥平面BGD,求PGGC的值(1)證明:由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分線段AC.所以O(shè)為AC的中點(diǎn),BD⊥AC.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.因?yàn)锳C∩PA=A,AC?平面APC,PA?平面APC,所以BD⊥平面APC.(2)解:連接OG,如圖所示.因?yàn)镻C⊥平面BGD,OG?平面BGD,所以PC⊥OG.在△ABC中,由余弦定理,得AC=22+2在Rt△PAC中,得PC=AC2+PA所以由△GOC∽△APC可得GC=AC·OCPC從而PG=3155,所以PGGC要點(diǎn)訓(xùn)練六空間角的求解方法1.找異面直線所成角的三種方法(1)利用圖中已有的平行線平移.(2)利用特別點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移.(3)補(bǔ)形平移.2.線面角求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影,即確定過斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足.通常是解由斜線段、垂線段、斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形.3.求二面角的兩種常用方法(1)定義法:在二面角的棱上找一個(gè)特別點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線.(2)垂面法:過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.1.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB≠AC,D,E分別是BC,AB的中點(diǎn),AC>AD,設(shè)PC與DE所成的角為α,PD與平面ABC所成的角為β,二面角P-BC-A的平面角為γ,則α,β,γ的大小關(guān)系是α<β<γ.解析:因?yàn)镈,E分別是BC,AB的中點(diǎn),所以DE∥AC,所以PC與DE所成的角為∠PCA,即α.因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PD與平面ABC所成的角為∠PDA,即β.如圖所示,過點(diǎn)A作AH⊥BC,垂足為H,連接PH,易證BC⊥平面PAH,所以∠PHA是二面角P-BC-A的平面角,即γ.因?yàn)锳B≠AC,所以AD>AH.因?yàn)锳C>AD,所以AC>AD>AH,所以PAAC<PAAD<所以tanα<tanβ<tanγ,所以α<β<γ.2.如圖所示,AB是☉O的一條直徑,PA垂直于☉O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的一動(dòng)點(diǎn).(1)證明:△PBC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且當(dāng)直線PC與平面ABC所成角的正切值為2時(shí),求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.(1)證明:因?yàn)锳B是☉O的一條直徑,C是圓周上不同于A,B的一動(dòng)點(diǎn),所以BC⊥AC.因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以BC⊥PA.因?yàn)镻A∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以△BPC是直角三角形.(2)解:如圖所示,過點(diǎn)A作AH⊥PC于點(diǎn)H,連接BH.因?yàn)锽C⊥平面PAC,所以BC⊥AH.因?yàn)镻C∩BC=C,PC?平面PBC,BC?平面PBC,所以AH⊥平面PBC,所以∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角.因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以∠PCA即是PC與平面ABC所成的角.因?yàn)閠an∠PCA=PAAC=2,PA所以AC=2.在Rt△PAC中,AH=PA·ACP在Rt△ABH中,sin∠ABH=2332即AB與平面PBC所成角的正弦值為33要點(diǎn)訓(xùn)練七轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是指在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象在肯定條件下轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對(duì)象的思想.它包括從未知到已知的轉(zhuǎn)化,從一般到特別的轉(zhuǎn)化等,折疊問題中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.解決折疊問題的關(guān)鍵在于仔細(xì)分析折疊前后元素的位置改變狀況,看看哪些元素的位置變了,哪些元素的位置沒有變,基本思路是利用“不變求變”,一般步驟如下:(1)平面→空間:依據(jù)平面圖形折出滿意條件的空間圖形,想象出空間圖形,完成平面圖形與空間圖形在相識(shí)上的轉(zhuǎn)化.(2)空間→平面:為解決空間圖形問題,要回到平面上來,重點(diǎn)分析元素的變與不變.1.如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.若將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,則在三棱錐A-BCD中,下列結(jié)論正確的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析:因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD.因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB.因?yàn)锳D⊥AB,AD∩CD=D,AD?平面ADC,CD?平面ADC,故AB⊥平面ADC.因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.答案:D2.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點(diǎn),F為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB,垂足為K.設(shè)AK=t,則t的取值范圍是(12,1)→解析:如圖所示,過點(diǎn)K作KM⊥AF于M點(diǎn),連接DM,易得DM⊥AF,與折前的圖形對(duì)比,可知在折前的圖形中D,M,K三點(diǎn)共線,且DK⊥AF,于是△DAK∽△FDA,所以AKAD=ADDF.所以t1=1DF.所以因?yàn)镈F∈(1,2),所以t∈(12,1)3.如圖①所示,在等腰梯形CDEF中,DE=CD=2,EF=2+2,將它沿著兩條高AD,CB折疊成四棱錐E-ABCD(E,F兩點(diǎn)重合),如圖②所示.①②(1)求證:BE⊥DE;(2)設(shè)M為線段AB的中點(diǎn),試在線段CE上確定一點(diǎn)N,使得MN∥平面DAE.(1)證明:因?yàn)锳D⊥EF,所以AD⊥A