2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第九章解三角形9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用學(xué)案新人教B版必修第四冊(cè)

PAGE9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用必備學(xué)問(wèn)·自主學(xué)習(xí)1.實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名稱、術(shù)語(yǔ)【提示】對(duì)常見(jiàn)術(shù)語(yǔ)的幾點(diǎn)說(shuō)明(1)仰角與俯角是指目標(biāo)視線與水平視線的夾角,水平視線易與鉛垂線混淆.(2)方位角中的順時(shí)針易記錯(cuò)為逆時(shí)針.2.解三角形實(shí)際問(wèn)題的流程1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)已知三角形的三個(gè)角,能夠求其三條邊()(2)兩個(gè)不行到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無(wú)法求得()(3)方位角和方向角是一樣的()提示:(1)×.要解三角形,至少知道這個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng).(2)×.兩個(gè)不行到達(dá)的點(diǎn)之間的距離我們可以借助第三個(gè)點(diǎn)和第四個(gè)點(diǎn)量出角度、距離求得.(3)×.方位角是指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,而方向角是以觀測(cè)者的位置為中心,將正北或正南方向作起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角(一般指銳角).2.如圖,在河岸AC測(cè)量河的寬度BC,測(cè)量下列四組數(shù)據(jù),較相宜的是()A.γ,c,α B.b,c,αC.c,α,β D.b,α,γ【解析】選D.a,c均隔河,故不易測(cè)量,測(cè)量b,α,γ更合適.3.兩燈塔A,B與海洋視察站C的距離都等于akm,燈塔A在C北偏東30°,B在C南偏東60°,則A,B之間的距離為()A.QUOTEakm B.QUOTEakm C.akm D.2akm【解析】選A.在△ABC中,AC=BC=akm,∠ACB=90°,所以AB=QUOTEakm.4.有一個(gè)長(zhǎng)為1千米的斜坡,它的傾斜角為75°,現(xiàn)要將其傾斜角改為30°,則坡底要伸長(zhǎng)_______千米【解析】如圖,∠BAO=75°,∠C=30°,AB=1,所以∠ABC=∠BAO-∠BCA=75°-30°=45°.在△ABC中,QUOTE=QUOTE,所以AC=AB·QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一測(cè)量高度問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1.如圖,從山頂望地面上C,D兩點(diǎn),測(cè)得它們的俯角分別為45°和30°,已知CD為100m,點(diǎn)C位于BD上,則山高AB等于()A.100m B.50QUOTEmC.50QUOTEm D.50(QUOTE+1)m2.在一幢20m高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°,塔基的俯角為45°,那么這座塔吊的高是()A.20QUOTEm B.20(1+QUOTE)mC.10(QUOTE+QUOTE)m D.20(QUOTE+QUOTE)m【解析】1.選D.設(shè)山高為h,則由題意知CB=h,DB=QUOTEh,所以QUOTEh-h=100,即h=50(QUOTE+1).2.選B.如圖,由條件知四邊形ABCD為正方形,所以AB=CD=20m,BC=AD=20m.在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20m,所以EC=CD·tan60°=20QUOTEm,所以BE=BC+CE=(20+20QUOTE)m.解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟(1)畫(huà)圖:依據(jù)已知條件畫(huà)出示意圖.(2)分析三角形:分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形.(3)求解:運(yùn)用正、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解.在解題中,要綜合運(yùn)用立體幾何學(xué)問(wèn)與平面幾何學(xué)問(wèn),留意方程思想的運(yùn)用.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某愛(ài)好小組要測(cè)量電視塔AE的高度H(單位:m).如圖所示,豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.該小組已測(cè)得一組α,β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,請(qǐng)據(jù)此算出H的值.【解析】由AB=QUOTE,BD=QUOTE,AD=QUOTE及AB+BD=AD得QUOTE+QUOTE=QUOTE,解得H=QUOTE=QUOTE=124.因此電視塔的高度H是124m.類型二測(cè)量角度問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】甲船在A點(diǎn)發(fā)覺(jué)乙船在北偏東60°的B處,乙船以每小時(shí)a海里的速度向北行駛,已知甲船的速度是每小時(shí)QUOTEa海里,問(wèn)甲船應(yīng)沿著什么方向前進(jìn),才能最快與乙船相遇?【思路導(dǎo)引】假設(shè)兩船在C點(diǎn)相遇,甲船沿方向行駛,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在三角形ABC內(nèi)求∠CAB來(lái)求解.【解析】如圖所示.設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)兩船在C點(diǎn)相遇,則在△ABC中,BC=at(海里),AC=QUOTEat(海里),B=90°+30°=120°,由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sin∠CAB=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)?°<∠CAB<90°,所以∠CAB=30°,所以∠DAC=60°-30°=30°,所以甲船應(yīng)沿著北偏東30°的方向前進(jìn),才能最快與乙船相遇.測(cè)量角度問(wèn)題畫(huà)示意圖的基本步驟在一次抗洪搶險(xiǎn)中,某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng),失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行,此時(shí),風(fēng)向是北偏東30°,風(fēng)速是20km/h;水的流向是正東,流速是20km/h,若不考慮其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向?yàn)楸逼珫|_______,大小為_(kāi)______km/h.

【解析】如圖,∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=20QUOTE,∠COY=30°+30°=60°.答案:60°20QUOTE類型三測(cè)量距離問(wèn)題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1兩點(diǎn)不行到達(dá)的距離問(wèn)題

【典例】如圖,A,B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不行到達(dá)),設(shè)計(jì)一種測(cè)量A,B兩點(diǎn)間距離的方法.【思路導(dǎo)引】在岸邊選定兩點(diǎn)C,D,分別在△ADC和△BDC中,構(gòu)建方程求解.【解析】測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C,D,測(cè)得CD=a,并且在C,D兩點(diǎn)分別測(cè)得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ,在△ADC和△BDC中,應(yīng)用正弦定理得AC=QUOTE=QUOTE,BC=QUOTE=QUOTE.計(jì)算出AC和BC后,再在△ABC中,應(yīng)用余弦定理計(jì)算出A,B兩點(diǎn)間的距離AB=QUOTE.角度2兩點(diǎn)在障礙物兩側(cè)的距離問(wèn)題

【典例】如圖所示,要測(cè)量一水塘兩側(cè)A,B兩點(diǎn)間的距離,先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅,用經(jīng)緯儀測(cè)出角α,再分別測(cè)出AC,BC的長(zhǎng)b,a,則可求出A,B兩點(diǎn)間的距離.即AB=QUOTE.若測(cè)得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,試計(jì)算AB的長(zhǎng).【思路導(dǎo)引】在△ABC中,運(yùn)用余弦定理求解.【解析】在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,所以AB2=4002+6002-2×400×600cos60°=280000.所以AB=200QUOTE(m).即A,B兩點(diǎn)間的距離為200QUOTE三角形中與距離有關(guān)的問(wèn)題的求解策略(1)解決與距離有關(guān)的問(wèn)題,若所求的線段在一個(gè)三角形中,則干脆利用正、余弦定理求解即可;若所求的線段在多個(gè)三角形中,要依據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?再利用正、余弦定理求解.(2)解決與距離有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊,分析所解三角形中已知哪些元素,還須要求出哪些元素,敏捷應(yīng)用正、余弦定理來(lái)解決.1.(2024·成都高一檢測(cè))某船在A處測(cè)得燈塔D在其南偏東60°方向上,該船接著向正南方向行駛5海里到B處,測(cè)得燈塔D在其北偏東60°方向上,然后該船向東偏南30°方向行駛2海里到C處,此時(shí)船到燈塔D的距離為_(kāi)______海里()

A.QUOTEB.QUOTEC.6D.5【解析】選A.依據(jù)題意可畫(huà)圖形(如圖),因?yàn)樵贏處測(cè)得燈塔D在其南偏東60°方向上,即∠BAD=60°,船接著向正南方向行駛5海里到B處,即AB=5,在B處測(cè)得燈塔D在其北偏東60°方向上,即∠ABD=60°,所以△ABD為一個(gè)等邊三角形,即AB=BD=5,船向東偏南30°方向行駛2海里到C處,依據(jù)圖形可得∠DBC=60°且BC=2,在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=25+4-2×5×2×QUOTE=19,解得CD=QUOTE.2.(2024·合肥高一檢測(cè))炮兵陣地A在視察哨M的南偏東30°方向,在視察哨N的南偏西15°方向,若視察哨N在M的正東方向相距akm處,現(xiàn)視察哨M發(fā)覺(jué)炮擊目標(biāo)B在M的北偏東45°方向,視察哨N發(fā)覺(jué)目標(biāo)B位于N的北偏西75°方向,則陣地A到目標(biāo)B的距離為()A.QUOTEkmB.QUOTEkmC.QUOTEkmD.QUOTEkm【解析】選A.依題意可得如下圖形:則在△AMN中∠AMN=60°,A=45°,由正弦定理QUOTE=QUOTE,解得AN=QUOTEa,在△BMN中∠BMN=45°,B=120°,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以BN=QUOTEa,在△BNA中∠ANB=180°-(15°+75°)=90°,所以AB2=AN2+BN2=QUOTE+QUOTE=QUOTEa2,所以AB=QUOTEa.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·武漢高一檢測(cè))如圖所示,為了測(cè)量A、B處島嶼的距離,小明在D處觀測(cè),A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛10海里至C處,觀測(cè)B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則A、B兩島嶼的距離為_(kāi)______海里.()

A.5QUOTEB.10QUOTEC.10QUOTED.20QUOTE【解析】選A.連接AB,由題意可知:CD=10,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,所以∠DAC=45°,∠ADB=60°.在△ADC中,由正弦定理可知:QUOTE=QUOTE?AD=5QUOTE.在Rt△BCD中cos∠BDC=QUOTE?BD=10QUOTE.在△ABD中,由余弦定理可知:AB=QUOTE=5QUOTE.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形,如圖,測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4m,∠A=30°,則其跨度AB的長(zhǎng)為()A.12m B.8m C.3QUOTEm D.4QUOTEm【解析】選D.由題意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即AB=QUOTE=QUOTE=4QUOTEm.2.一艘船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處,下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則這只船的航行速度為()A.QUOTEnmile/h B.34QUOTEnmile/hC.QUOTEnmile/h D.34QUOTEnmile/h【解析】選A.如圖所示,在△PMN中,QUOTE=QUOTE,所以MN=QUOTE=34QUOTE,所以v=QUOTE=QUOTEnmile/h.3.如圖所示,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)的距離為()A.50QUOTEm B.50QUOTEmC.25QUOTEm D.QUOTEm【解析】選A.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,又因?yàn)椤螦BC=30°,所以AB=QUOTE=QUOTE=50QUOTE(m).4.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12km,漁船乙以10km/h的速度從島嶼A動(dòng)身沿正北方向航行,若漁船甲同時(shí)從B處動(dòng)身沿北偏東α的方向追逐漁船乙,剛好用2小時(shí)追上.則漁船甲的速度為_(kāi)______,sinα=_______.

【解析】(1)由已知得AB=12km,AC=20km,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=122+202-2×12×20×QUOTE=784,所以BC=28km,所以漁船甲的速度v甲=QUOTE=14(km/h).(2)在△ABC中∠BCA=α,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinα=QUOTE.答案:14km/hQUOTE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)三正弦定理與余弦定理的應(yīng)用(15分鐘30分)1.海上有A,B兩個(gè)小島相距10nmile,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,則B,C間的距離是 ()A.10QUOTEnmile B.QUOTEnmileC.5QUOTEnmile D.5QUOTEnmile【解析】選D.在△ABC中C=180°-60°-75°=45°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得BC=5QUOTE(nmile).2.(2024·成都高一檢測(cè))某船在海平面A處測(cè)得燈塔B在北偏東60°方向,與A相距6千米處.該船由A處向正北方向航行8千米到達(dá)C處,這時(shí)燈塔B與船相距 ()A.2QUOTE千米 B.2QUOTE千米C.6千米 D.8千米【解析】選A.由題意,畫(huà)示意圖如圖:已知AB=6,AC=8,∠A=60°,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cosA=64+36-2×8×6×QUOTE=52,所以BC=QUOTE=2QUOTE.所以燈塔B與船之間的距離為2QUOTE3.(2024·天津高一檢測(cè))如圖,某景區(qū)欲在兩山頂A,C之間建纜車,須要測(cè)量?jī)缮巾旈g的距離.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E處測(cè)得山頂A的仰角為30°,山頂C的仰角為60°,∠BED=120°,則兩山頂A,C之間的距離為 ()A.2QUOTEkm B.QUOTEkmC.QUOTEkm D.3QUOTEkm【解析】選C.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠BED=120°,所以BE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,DE=QUOTE=QUOTE=QUOTE;在△BED中,由余弦定理得BD2=BE2+DE2-2·BE·DE·cos∠BED=3+3-2×QUOTE×QUOTE×QUOTE=9,所以BD=3;所以AC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即兩山頂A,C之間的距離為QUOTEkm.4.(2024·襄陽(yáng)高一檢測(cè))如圖,有一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛,汽車在A點(diǎn)測(cè)得馬路北側(cè)山頂D的仰角為30°,汽車行駛300m后到達(dá)B點(diǎn)測(cè)得山頂D在北偏西30°方向上,且仰角為45°,則山的高度CD為 ()A.150QUOTEm B.150mC.300QUOTEm D.300m【解析】選D.由題意可知:∠DAC=30°,∠DBC=45°,因?yàn)槠嚨紹點(diǎn),測(cè)得D在北偏西30°方向上,所以∠ABC=120°.設(shè)山的高度為h,在Rt△DCA中,tan∠DAC=QUOTE?AC=QUOTEh.在Rt△DBC中,tan∠DBC=QUOTE?BC=h.在△BCA中,由余弦定理可得:AC2=BC2+AB2-2·BC·AB·cos∠ABC?h2-150h-45000=0?h=300,h=-150(舍去).5.某人從A處動(dòng)身,沿北偏東60°行走3QUOTEkm到B處,再沿正東方向行走2km到C處,則A,C兩地的距離為km.

【解析】如圖所示,由題意可知AB=3QUOTE,BC=2,∠ABC=150°.由余弦定理得AC2=27+4-2×3QUOTE×2×cos150°=49,AC=7.則A,C兩地的距離為7km.答案:76.如圖所示,為了測(cè)定河的寬度,在一岸邊選定兩點(diǎn)A,B,望對(duì)岸標(biāo)記物C,測(cè)得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,求河的寬度.【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120(m).如圖作CD⊥AB,垂足為D,則CD即為河的寬度.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以CD=60,所以河的寬度為60m.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.要測(cè)量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度,在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測(cè)點(diǎn),在甲、乙兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°,30°,在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°,甲、乙兩地相距500m,則電視塔在這次測(cè)量中的高度是 ()A.100QUOTEm B.400m C.200QUOTEm D.500m【解析】選D.由題意畫(huà)出示意圖,設(shè)高AB=h,在Rt△ABC中,由已知得BC=h,在Rt△ABD中,由已知得BD=QUOTEh,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,即3h2=h2+5002+h·500,解得h=500或h=-250(舍).2.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖.支桿BC=10m,吊桿AC=15m,吊索AB=5QUOTEm,則起吊的貨物與岸的距離AD為 ()A.30m B.QUOTEm C.15QUOTEm D.45m【解析】選B.在△ABC中,AC=15m,AB=5QUOTEm,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以sin∠ACB=QUOTE.又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin∠ACD=sin∠ACB=QUOTE.在Rt△ADC中,AD=AC·sin∠ACD=15×QUOTE=QUOTEm.3.(2024·六安高一檢測(cè))小趙開(kāi)車從A處動(dòng)身,以每小時(shí)40千米的速度沿南偏東40°的方向直線行駛,30分鐘后到達(dá)B處,此時(shí),小王發(fā)來(lái)微信定位,顯示他自己在A的南偏東70°方向的C處,且A與C的距離為15QUOTE千米,若此時(shí),小趙以每小時(shí)52千米的速度開(kāi)車直線到達(dá)C處接小王,則小趙到達(dá)C處所用的時(shí)間大約為QUOTE()A.10分鐘 B.15分鐘 C.20分鐘 D.25分鐘【解析】選B.依據(jù)條件可得∠BAC=30°,AB=20,AC=15QUOTE,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos30°=175,則BC=5QUOTE≈13(千米),由B到達(dá)C所需時(shí)間約為QUOTE=0.25小時(shí)=15分鐘.4.(2024·鄭州高一檢測(cè))馬爾代夫群島是世界上風(fēng)景最為美麗的群島之一,如圖所示,為了測(cè)量A,B兩座島之間的距離,小船從初始位置C動(dòng)身,已知A在C的北偏西45°的方向上,B在C的北偏東15°的方向上,現(xiàn)在船往東開(kāi)2百海里到達(dá)E處,此時(shí)測(cè)得B在E的北偏西30°的方向上,再開(kāi)回C處,由C向西開(kāi)2QUOTE百海里到達(dá)D處,測(cè)得A在D的北偏東22.5°的方向上,則A,B兩座島之間的距離為百海里 ()

A.3 B.3QUOTE C.4 D.4QUOTE【解析】選B.由題意,∠ADC=67.5°,∠ACD=45°,∠BCE=75°,∠BEC=60°,在△ADC中,可得∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,所以AC=DC=2QUOTE,在△BCE中,可得∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC=45°,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,可得BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=QUOTE+QUOTE-2×2QUOTE×QUOTEcos60°=18,所以AB=3QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·福州高一檢測(cè))甲船在島B的正南方A處,AB=10千米,甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行,同時(shí)乙船自B動(dòng)身以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),它們所航行的時(shí)間是 ()A.QUOTE分鐘B.QUOTE分鐘C.21.5分鐘 D.2.15分鐘【解析】選A.假設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)兩船相距最近,甲、乙分別行至C,D,如圖所示,可知BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×QUOTE=28x2-20x+100,當(dāng)x=QUOTE小時(shí),即航行QUOTE分鐘時(shí)距離最小.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.某人在A處向正東方向走xkm后到達(dá)B處,他向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km到達(dá)C處,結(jié)果他離動(dòng)身點(diǎn)恰好QUOTEkm,那么x的值可能是 ()A.QUOTEB.2QUOTEC.3QUOTED.3【解析】選AB.由題意得∠ABC=30°,由余弦定理得cos30°=QUOTE,解得x=2QUOTE或x=QUOTE.6.甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測(cè)20m高的旗桿,甲觀測(cè)的仰角為50°,乙觀測(cè)的仰角為40°,用d1,d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離,那么有 ()A.d1>d2B.d1<d2C.d1<20m D.d2<20m【解析】選BC.如圖,設(shè)旗桿高為h,則d1=QUOTE,d2=QUOTE.因?yàn)閠an50°>tan40°,所以d1<d2.又因?yàn)閠an50°>tan45°=1,所以d1<20m.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·濟(jì)南高一檢測(cè))《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作,全書(shū)十八卷共八十一個(gè)問(wèn)題,分為九類,每類九個(gè)問(wèn)題,《數(shù)書(shū)九章》中記錄了秦九韶的很多創(chuàng)建性成就,其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式,這與古希臘的海倫公式完全等價(jià),其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí),一為從隅,開(kāi)平方得積.”若把以上這段文字寫(xiě)成公式,即S=QUOTE.現(xiàn)有△ABC滿意sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶QUOTE,且△ABC的面積S△ABC=6QUOTE,請(qǐng)運(yùn)用上述公式推斷下列命題正確的是()A.△ABC周長(zhǎng)為10+2QUOTEB.△ABC三個(gè)內(nèi)角A,C,B成等差數(shù)列C.△ABC外接圓直徑為QUOTED.△ABC中線CD的長(zhǎng)為3QUOTE【解析】選ABC.由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶QUOTE,設(shè)a=2m,b=3m,c=QUOTEmQUOTE,所以S=QUOTE=QUOTEm2=6QUOTE,解得m=2(負(fù)值舍去),所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=4+6+2QUOTE=10+2QUOTE,A正確;由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以C=QUOTE,因?yàn)锳+B+C=π,所以A+B=QUOTE,即2C=A+B,所以三個(gè)內(nèi)角A,C,B成等差數(shù)列,B正確;由正弦定理知外接圓直徑為2R=QUOTE=QUOTE=QUOTE,C正確;由中線定理得a2+b2=QUOTEc2+2CD2,即CD2=QUOTE×QUOTE=19,所以CD=QUOTE,D錯(cuò)誤.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,A,B兩地之間有一座山,汽車原來(lái)從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A-C-B行駛,現(xiàn)開(kāi)通隧道后,汽車干脆沿直線AB行駛.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,則隧道開(kāi)通后,汽車從A地到B地比原來(lái)少走.(結(jié)果精確到0.1km)(參考數(shù)據(jù):QUOTE≈1.41,QUOTE≈1.73)

【解析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.在Rt△CAD中,∠A=30°,AC=10km,CD=AC·sin30°=5(km),AD=AC·cos30°=5QUOTE(km).在Rt△BCD中,∠B=45°,BD=CD=5(km),BC=QUOTE=5QUOTE(km).AB=AD+BD=(5QUOTE+5)(km),AC+BC-AB=10+5QUOTE-(5QUOTE+5)=5+5QUOTE-5QUOTE≈5+5×1.41-5×1.73=3.4(km).答案:3.4km8.地平面上一旗桿設(shè)為OP,為測(cè)得它的高度h,在地平面上取一基線AB,AB=200m,在A處測(cè)得P點(diǎn)的仰角∠OAP=30°,在B處測(cè)得P的仰角∠OBP=45°,又測(cè)得∠AOB=60°,則旗桿的高h(yuǎn)為m.

【解析】如圖,OP=h,∠OAP=30°,∠OBP=45°,∠AOB=60°,AB=200m.在△AOP中,因?yàn)镺P⊥OA,所以∠AOP=90°,則OA=QUOTE=QUOTEh,同理,在△BOP中,∠BOP=90°,且∠OBP=45°,所以O(shè)B=OP=h.在△OAB中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,即2002=3h2+h2-2QUOTEh2·cos60°,解得h=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·上海高一檢測(cè))如圖,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇水平地面上一點(diǎn)A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn),從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,求山高M(jìn)N.【解析】在△ABC中,因?yàn)椤螧AC=45°,∠ABC=90°,BC=100,所以AC=QUOTE=100QUOTE.在△AMC中∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以AM=100QUOTE.在Rt△AMN中,MN=AMsin∠MAN=100QUOTE×sin60°=150,故山高M(jìn)N是150m.10.(2024·濟(jì)南高一檢測(cè))如圖,某公園有三條觀光大道AB,BC,AC圍成直角三角形,其中直角邊BC=200m,斜邊AB=400m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小摯友分別在AB,BC,AC大道上游戲,(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點(diǎn)B動(dòng)身在各自的大道上奔跑,乙比甲遲2分鐘動(dòng)身,當(dāng)乙動(dòng)身1分鐘后到達(dá)E,甲到達(dá)D,求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離;(2)甲、乙、丙所在位置分別記為點(diǎn)D,E,F.設(shè)∠CEF=θ,乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍,且∠DEF=QUOTE,請(qǐng)將甲、乙之間的距離y表示為θ的函數(shù),并求甲、乙之間的最小距離.【解析】(1)依題意得BD=300,BE=100,在△ABC中cosB=QUOTE=QUOTE,所以B=QUOTE,在△BDE中由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BD·BEcosB=3002+1002-2×300×100×QUOTE=70000,所以DE=100QUOTE.答:甲、乙兩人之間的距離為100QUOTE(2)由題意得EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ,在Rt△CEF中,CE=EF·cos∠CEF=2ycosθ,在△BDE中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE所以y=QUOTE=QUOTE,0≤θ≤QUOTE,所以當(dāng)θ=QUOTE時(shí),y有最小值50QUOTE.答:甲、乙之間的最小距離為50QUOTE1.如圖,從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高度AD是60m,則河流的寬度BC是 ()A.240(QUOTE-1)m B.180(QUOTE-1)mC.120(QUOTE-1)m D.30(QUOTE+1)m【解析】選C