2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.3古典概型教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE10.1.3古典概型素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．古典概型的計(jì)算方法.(數(shù)學(xué)抽象)2．運(yùn)用古典概型計(jì)算概率.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．在實(shí)際問(wèn)題中建立古典概型模型.(數(shù)學(xué)建模)1．明確古典概型的基本特征，依據(jù)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建概率模型，解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題.2．留意區(qū)分有放回抽取(每次抽取之后被抽取的物體總數(shù)不變)與無(wú)放回抽取(每次抽取之后被抽取的物體總數(shù)削減).必備學(xué)問(wèn)·探新知學(xué)問(wèn)點(diǎn)1隨機(jī)事務(wù)的概率對(duì)隨機(jī)事務(wù)發(fā)生__可能性大小__的度量(數(shù)值)稱為事務(wù)的概率，事務(wù)A的概率用__P(A)__表示.學(xué)問(wèn)點(diǎn)2古典概型一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有__有限個(gè)__；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性__相等__.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為_(kāi)_古典概率__模型，簡(jiǎn)稱__古典概型__.學(xué)問(wèn)點(diǎn)3古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事務(wù)A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事務(wù)A的概率P(A)＝__eq\f(k,n)__＝__eq\f(nA,nΩ)__.[學(xué)問(wèn)解讀](1)隨機(jī)試驗(yàn)E中的樣本點(diǎn)①任何兩個(gè)樣本點(diǎn)都是互斥的；②任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成某些樣本點(diǎn)的和.(2)求解古典概型問(wèn)題的一般思路①明確試驗(yàn)的條件及要視察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?hào)(字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出全部樣本點(diǎn))；②依據(jù)實(shí)際問(wèn)題情景推斷樣本點(diǎn)的等可能性；③計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出事務(wù)A的概率.關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一古典概型的推斷典例1下列試驗(yàn)是古典概型的是__①②④__.①?gòu)?名同學(xué)中選出4人參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中可能性大小相等；②同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.[分析]緊扣古典概型的兩大特征——有限性與等可能性進(jìn)行推斷.[解析]①②④是古典概型，因?yàn)榉瞎诺涓判偷奶卣?③不是古典概型，因?yàn)椴环系瓤赡苄?，降雨受多方面因素影?[歸納提升]推斷試驗(yàn)是不是古典概型，關(guān)鍵看是否符合兩大特征——有限性和等可能性.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?下列是古典概型的是(C)A．隨意擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本領(lǐng)件時(shí)B．求隨意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將去除的正整數(shù)作為基本領(lǐng)件時(shí)C．從甲地到乙地共n條路途，求某人正好選中最短路途的概率D．拋擲一枚勻稱硬幣首次出現(xiàn)正面為止[解析]A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項(xiàng)中的基本領(lǐng)件是無(wú)限的，故B不是；C項(xiàng)滿意古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項(xiàng)中基本領(lǐng)件可能會(huì)無(wú)限個(gè)，故D不是.題型二古典概型的概率計(jì)算典例2甲、乙兩校各有3名老師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報(bào)名的老師中各任選1名，寫出全部可能的結(jié)果，并求選出的2名老師性別相同的概率；(2)若從報(bào)名的6名老師中任選2名，寫出全部可能的結(jié)果，并求選出的2名老師來(lái)自同一所學(xué)校的概率.[分析](1)要求2名老師性別相同的概率，應(yīng)先寫出全部可能的結(jié)果，可以采納列舉法求解.(2)要求選出的2名老師來(lái)自同一所學(xué)校的概率，應(yīng)先求出2名老師來(lái)自同一所學(xué)校的基本領(lǐng)件.[解析](1)甲校2名男老師分別用A，B表示，1名女老師用C表示；乙校1名男老師用D表示，2名女老師分別用E，F(xiàn)表示.從甲校和乙校報(bào)名的老師中各任選1名的全部可能的結(jié)果為：(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共9種.從中選出2名老師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共4種，所以選出的2名老師性別相同的概率為P＝eq\f(4,9).(2)從甲校和乙校報(bào)名的6名老師中任選2名的全部可能的結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種.從中選出2名老師來(lái)自同一所學(xué)校的結(jié)果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共6種，所以選出的2名老師來(lái)自同一所學(xué)校的概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).[歸納提升]1．對(duì)于古典概型，任何事務(wù)A的概率為：P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)m,基本領(lǐng)件的總數(shù)n).2．求古典概型概率的步驟為：(1)推斷是否為古典概型；(2)算出基本領(lǐng)件的總數(shù)n；(3)算出事務(wù)A中包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)m；(4)算出事務(wù)A的概率，即P(A)＝eq\f(m,n).在運(yùn)用公式計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵在于求出m、n.在求n時(shí)，應(yīng)留意這n種結(jié)果必需是等可能的，在這一點(diǎn)上比較簡(jiǎn)潔出錯(cuò).3．對(duì)于事務(wù)總數(shù)較多的狀況，在解題時(shí)，沒(méi)有必要一一列舉出來(lái)，只將我們解題須要的列舉出來(lái)分析即可.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?某旅游愛(ài)好者安排從3個(gè)亞洲國(guó)家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游.(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率.[解析](1)由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15個(gè).所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事務(wù)所包含的樣本點(diǎn)有：{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3個(gè)，則所求事務(wù)的概率為p＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9個(gè).包括A1但不包括B1的事務(wù)所包含的樣本點(diǎn)有：{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2個(gè)，則所求事務(wù)的概率為p＝eq\f(2,9).題型三較困難的古典概型的概率計(jì)算典例3某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參與活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.嘉獎(jiǎng)規(guī)則如下：①若xy≤3，則嘉獎(jiǎng)玩具一個(gè)；②若xy≥8，則嘉獎(jiǎng)水杯一個(gè)；③其余狀況嘉獎(jiǎng)飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地勻稱，四個(gè)區(qū)域劃分勻稱.小亮打算參與此項(xiàng)活動(dòng).(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說(shuō)明理由.[解析]用數(shù)對(duì)(x，y)表示兒童參與活動(dòng)先后記錄的數(shù)，則基本領(lǐng)件空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng).因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4＝16，所以基本領(lǐng)件總數(shù)n＝16．(1)記“xy≤3”為事務(wù)A則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件共5個(gè)，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1).所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事務(wù)B，“3<xy<8”為事務(wù)則事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件共6個(gè)，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事務(wù)C包含的基本領(lǐng)件共5個(gè)，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝eq\f(5,16)，因?yàn)閑q\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.[歸納提升]解古典概型問(wèn)題時(shí)，要牢牢抓住它的兩個(gè)特點(diǎn)和其計(jì)算公式.但是這類問(wèn)題的解法多樣，技巧性強(qiáng)，在解決此類題時(shí)須要留意以下兩個(gè)問(wèn)題：(1)試驗(yàn)必需具有古典概型的兩大特征——有限性和等可能性.(2)計(jì)算基本領(lǐng)件的數(shù)目時(shí)，須做到不重不漏，常借助坐標(biāo)系、表格及樹(shù)狀圖等列出全部基本領(lǐng)件.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩嬉戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.(1)設(shè)(i，j)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字，寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝.你認(rèn)為此嬉戲是否公允？說(shuō)明你的理由.[解析](1)方片4用4′表示，試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，則樣本點(diǎn)的總數(shù)為12．(2)不公允.甲抽到牌的牌面數(shù)字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)5種，甲勝的概率為P1＝eq\f(5,12)，乙勝的概率為P2＝eq\f(7,12)，因?yàn)閑q\f(5,12)<eq\f(7,12)，所以此嬉戲不公允.易錯(cuò)警示對(duì)“有序”與“無(wú)序”推斷不準(zhǔn)而致錯(cuò)典例4甲、乙兩人參與普法學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，共有5道不同的題目，其中3道選擇題，2道填空題，甲、乙兩人依次抽取1道題.求甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率.[錯(cuò)解]因?yàn)橥ㄟ^(guò)列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結(jié)果有6個(gè)，且甲、乙兩人依次抽取1道題的可能結(jié)果有10個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解中忽視了甲、乙兩人依次抽取1道題與依次有關(guān)，甲從5道題中任抽1道題有5種方法，乙從剩下的4道題中任抽1道題有4種方法，所以基本領(lǐng)件總數(shù)應(yīng)為20．[正解]因?yàn)橥ㄟ^(guò)列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結(jié)果有6個(gè)，而甲、乙兩人依次抽取1道題的可能結(jié)果有20個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).[誤區(qū)警示]在計(jì)算基本領(lǐng)件的總數(shù)時(shí)，若分不清“有序”和“無(wú)序”，將會(huì)出現(xiàn)“重算”或“漏算”的錯(cuò)誤.突破這一思維障礙的方法是交換次序，看是否對(duì)結(jié)果造成影響，有影響是“有序”，無(wú)影響是“無(wú)序”.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?小李在做一份調(diào)查問(wèn)卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共3道，另一種是填空題，共2道.(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概率；(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概率.[解析]將3道選擇題依次編號(hào)為1,2,3；2道填空題依次編號(hào)為4,5．(1)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，則樣本空間Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20個(gè)樣本點(diǎn)，而且這些樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的.設(shè)事務(wù)A＝“所選的題不是同一種題型”，則事務(wù)A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(A)＝eq\f(12,20)＝0.6．(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回