2024-2025學年新教材高中數學第八章成對數據的統(tǒng)計分析8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗必備學問·素養(yǎng)奠基1.分類變量:用來區(qū)分不同的現象或性質的隨機變量,其取值可以用實數表示.2.2×2列聯(lián)表及隨機事務的概率(1)2×2列聯(lián)表:假如隨機事務X與Y的樣本數據如下表格形式Y=0Y=1合計X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+da+b+c+d在這個表格中,核心的數據是中間的4個格子,所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表.(2)2×2列聯(lián)表中隨機事務的概率:如上表,記n=a+b+c+d,則事務{Y=0}發(fā)生的概率可估計為__P(Y=0)=QUOTE____________________________;

事務QUOTE發(fā)生的概率可估計為__PQUOTE=QUOTE_______________________;

事務QUOTE發(fā)生的概率可估計為__PQUOTE=QUOTE____________.

事務QUOTE發(fā)生的概率可估計為__PQUOTE=QUOTE___________.

3.獨立性檢驗(1)零假設:設X和Y為定義在Ω上,取值于{0,1}的成對分類變量.由于QUOTE和QUOTE,QUOTE和{Y=1}都是互為對立事務,故要推斷事務QUOTE和{Y=1}之間是否有關聯(lián),須要推斷假定關系__H0:P(Y=1|X=0)=PQUOTE__是否成立.通常稱H0為零假設.

(2)獨立性檢驗:利用隨機變量χ2來推斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗.(3)公式:χ2=QUOTE,其中n=a+b+c+d為樣本容量.(4)比照表及檢驗規(guī)則:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828當χ2≥xα時就推斷“X與Y不獨立”,這種推斷犯錯誤的概率不超過α;當χ2<xα時,可以認為“X與Y獨立”.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)2×2列聯(lián)表只有4個格子.()(2)χ2的大小是推斷事務A與B是否相關的統(tǒng)計量.()(3)當χ2≥3.841時有95%的把握說事務A與B有關.()提示:(1)×.2×2列聯(lián)表核心的數據是中間的4個格子.(2)√.依據獨立性檢驗意義可知.(3)√.由比照表可得.2.通過隨機詢問110名性別不同的高校生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:男女合計愛好402060不愛好203050合計6050110經計算得χ2=QUOTE≈7.8.則正確結論是()A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關”B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關”C.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”D.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”【解析】選C.依據獨立性檢驗的思想方法,正確選項為C.3.下面是一個2×2列聯(lián)表:y1y2合計x1a2173x222527合計b46100則表中a,b的值分別為________.

【解析】a=73-21=52,b=100-46=54.答案:52,54關鍵實力·素養(yǎng)形成類型一列聯(lián)表與等高條形圖【典例】某學校對高三學生作了一項調查發(fā)覺:在平常的模擬考試中,性格內向的學生426人中有332人在考前心情驚慌,性特別向的學生594人中有213人在考前心情驚慌.(1)依據以上數據,作出考前心情與性格的列聯(lián)表,并求性特別向的學生中考前心情驚慌的概率.(2)作出等高條形圖,利用圖形推斷考前心情驚慌與性格類型是否有關系.【思維·引】(1)弄清題意,列出2×2列聯(lián)表,依據列聯(lián)表,用頻率估計概率.(2)利用列聯(lián)表中數據,畫出等高條形圖,直觀推斷.【解析】(1)作列聯(lián)表如下:性格內向性特別向合計考前心情驚慌332213545考前心情不驚慌94381475合計4265941020由列聯(lián)表中數據可得,性特別向的學生中考前心情驚慌的概率為QUOTE=QUOTE.(2)相應的等高條形圖如圖所示:圖中陰影部分表示考前心情驚慌與考前心情不驚慌中性格內向的人數所占的比例,從圖中可以看出考前心情驚慌的樣本中性格內向的人數占的比例比考前心情不驚慌樣本中性格內向的人數占的比例高,可以認為考前驚慌與性格類型有關.【內化·悟】列2×2列聯(lián)表的關注點1.作2×2列聯(lián)表時,留意應當是4行4列,計算時要精確無誤.2.作2×2列聯(lián)表時,關鍵是對涉及的變量分清類別.【類題·通】利用等高條形圖推斷兩個分類變量是否相關的步驟【習練·破】1.在對人們的休閑方式的一次調查中,共調查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運動;男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運動.依據以上數據建立一個2×2列聯(lián)表.【解析】列表如下:看電視運動合計女432770男213354合計6460124

2.網絡對現代人的生活影響較大,尤其是對青少年,為了解網絡對中學生學習成果的影響,某地區(qū)教化主管部門從轄區(qū)初中生中隨機抽取了1000人調查,發(fā)覺其中常常上網的有200人,這200人中有80人期末考試不及格,而另外800人中有120人不及格.利用圖形推斷學生常常上網與學習成果有關嗎?【解析】依據題目所給的數據得到如下2×2列聯(lián)表:常常上網不常常上網合計不及格80120200及格120680800合計2008001000得出等高條形圖如圖所示:比較圖中陰影部分的高可以發(fā)覺常常上網不及格的頻率明顯高于常常上網及格的頻率,因此可以認為常常上網與學習成果有關.【加練·固】當某礦石粉廠生產一種礦石粉時,在數天內就有部分工人患職業(yè)性皮膚炎.在生產季節(jié)期間,隨機抽取車間工人抽血化驗,75名穿新防護服的車間工人中5例陽性,70例陰性,28名穿舊防護服的車間工人中10例陽性,18例陰性,請用圖形判定這種新防護服對預防工人職業(yè)性皮膚炎是否有效.(注:顯陰性即未患皮膚炎)【解析】由題目所給的數據得2×2列聯(lián)表:陽性例數陰性例數合計穿新防護服57075穿舊防護服101828合計1588103相應的等高條形圖如圖所示.圖中兩個深色的高分別表示穿新、舊防護服樣本中呈陽性的頻率,從圖中可以看出,穿舊防護服呈陽性的頻率高于穿新防護服呈陽性的頻率.因此,可以認為新防護服比舊防護服對預防這種皮膚炎有效.類型二獨立性檢驗【典例】為加強環(huán)境愛護,治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研,隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位:μg/m3),得下表:[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估計事務“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150”的概率;(2)依據所給數據,完成下面2×2列聯(lián)表:[0,150](150,475][0,75](75,115](3)依據(2)中的列聯(lián)表,推斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關?附:χ2=QUOTE.P(χ2≥xα)0.050.010.001xα3.8416.63510.828【思維·引】(1)用頻率估計概率,從而得到“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150”的概率;(2)依據題目所給的數據填寫2×2列聯(lián)表即可;(3)計算χ2的值,比照題目中的表格,得出統(tǒng)計結論.【解析】(1)依據抽查數據,該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的天數為32+18+6+8=64,因此,該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的概率的估計值為QUOTE=0.64.(2)依據抽查數據,可得2×2列聯(lián)表:[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010(3)依據(2)的列聯(lián)表得χ2=QUOTE≈7.484.由于7.484>6.635,故有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關.【素養(yǎng)·探】本題考查獨立性檢驗的應用,同時考查了數據分析與數學建模的核心素養(yǎng).本例若把2×2列聯(lián)表中的數據調整如下:[0,150](150,475][0,75]7010(75,115]812推斷是否有99.9%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關?【解析】χ2=QUOTE≈21.037>10.828=x0.001,所以有99.9%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關.【類題·通】獨立性檢驗的關注點(1)步驟:列表,計算,推斷;(2)留意:①χ2計算公式較困難,一是公式要清晰;二是代入數值時不能張冠李戴;三是計算時要細心;②推斷時把計算結果與臨界值比較,其值越大,有關的可信度越高.【習練·破】某商場為提高服務質量,隨機調查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對該商場的服務給出滿足或者不滿足的評價,得到下面列聯(lián)表:滿足不滿足男顧客4010女顧客3020(1)分別估算男、女顧客對該商場服務滿足的概率?(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異?附:χ2=QUOTEP(χ2≥xα)0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【解析】(1)由調查數據,男顧客中對該商場服務滿足的比率為QUOTE=0.8,因此男顧客對該商場服務滿足的概率的估計值為0.8.女顧客中對該商場服務滿足的比率為QUOTE=0.6,因此女顧客對該商場服務滿足的概率的估計值為0.6.(2)χ2=QUOTE≈4.762.由于4.762>3.841,故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.【加練·固】調查某醫(yī)院某段時間內嬰兒誕生的時間與性別的關系,得到下面的數據:誕生時間在晚上的男嬰為24人,女嬰為8人;誕生時間在白天的男嬰為31人,女嬰為26人.(1)將下面的2×2列聯(lián)表補充完整;晚上白天合計男嬰女嬰合計(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為嬰兒性別與誕生時間有關系?【解析】(1)晚上白天合計男嬰243155女嬰82634合計325789(2)由所給數據計算χ2=QUOTE≈3.689>2.706=x0.1.因此在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為嬰兒的性別與誕生的時間有關系.類型三獨立性檢驗的綜合應用【典例】手機廠商推出一款6寸大屏手機,現對500名該手機運用者(200名女性、300名男性)進行調查,對手機進行評分,評分的頻數分布表如下:女性用戶分值區(qū)間[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數2040805010男性用戶分值區(qū)間[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數4575906030(1)完成下列頻率分布直方圖,并比較女性用戶和男性用戶評分的波動大小(不計算詳細值,給出結論即可);(2)把評分不低于70分的用戶稱為“認可用戶”,依據小概率值α=0.1的χ2獨立性檢驗,能否認為“是否是認可用戶”與性別有關?參考公式及數據:χ2=QUOTE,其中n=a+b+c+d.P(χ2≥xα)0.10.050.01xα2.7063.8416.635【思維·引】(1)利用頻數分布表中所給數據求出各組的頻率,利用頻率除以組距得到縱坐標,從而可得頻率分布直方圖,由頻率分布直方圖視察女性用戶和男性用戶評分的集中與分散狀況即可比較波動的大小;(2)利用公式求出χ2的值,與臨界值比較,即可得出結論.【解析】(1)女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如圖所示:由圖可得女性用戶的波動小,男性用戶的波動大.(2)由題可得2×2列聯(lián)表如下:女性用戶男性用戶合計認可用戶140180320不認可用戶60120180合計200300500則χ2=QUOTE≈5.208>2.706=x0.1,故依據小概率值α=0.1的χ2獨立性檢驗,可以認為“是否是認可用戶”與性別有關.【類題·通】獨立性檢驗綜合問題的命題方向獨立性檢驗的考查,往往與概率和抽樣統(tǒng)計圖等一起考查,這類問題的求解往往按各小題及提問的依次,一步步進行下去,是比較簡單解答的,考查單純的獨立性檢驗往往用小題的形式,而且χ2的公式一般會在原題中給出.【習練·破】某中學將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班”,每班50人.陳老師采納A,B兩種不同的教學方式分別在甲、乙兩個班級進行教改試驗.為了解教學效果,期末考試后,陳老師分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成果進行統(tǒng)計,作出莖葉圖如圖.記成果不低于90分者為“成果優(yōu)秀”.(1)在乙班樣本的20個個體中,從不低于86分的成果中隨機抽取2個,求抽出的兩個均“成果優(yōu)秀”的概率;(2)由以上統(tǒng)計數據作出列聯(lián)表,并推斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“成果優(yōu)秀”與教學方式有關?【解析】(1)從不低于86分的成果中隨機抽取兩個包含的基本領件是:(86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共有15種結果,符合條件的事務為(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共有10種結果,依據等可能事務的概率得到P=QUOTE=QUOTE.(2)由已知數據得甲班乙班合計成果優(yōu)秀156成果不優(yōu)秀191534合計202040依據列聯(lián)表中的數據,計算得χ2=QUOTE≈3.137,由于3.137>2.706,所以在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為:“成果優(yōu)秀”與教學方