數(shù)字信號(hào)處理（第2版）課件 第5章-IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

第5章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)15.1數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本概念5.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)5.4數(shù)字濾波器的頻率變換5.5用Matlab函數(shù)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器5.1數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本概念25.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計(jì)方法概述5.1.2理想數(shù)字濾波器5.1.3全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計(jì)方法概述3數(shù)字濾波：

對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，讓輸入信號(hào)中的有用頻率成分以較高的保真度通過(guò)，濾除（阻止）某些無(wú)用的頻率成分，實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的選頻處理。優(yōu)點(diǎn)：

處理精度高，穩(wěn)定性好，體積小，實(shí)現(xiàn)方法靈活，不存在阻抗匹配問(wèn)題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計(jì)方法概述4

濾波器分類(lèi)

經(jīng)典濾波器（一般濾波器）（本書(shū)介紹）

線性系統(tǒng)構(gòu)成的濾波器，信號(hào)和干擾的頻帶互不重疊時(shí)采用。分類(lèi)（功能）：高通、低通、帶通、帶阻；分類(lèi)（結(jié)構(gòu)）：遞歸系統(tǒng)、非遞歸系統(tǒng)；分類(lèi)（實(shí)現(xiàn)方法）：無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器IIR（本章介紹）有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器FIR（下章介紹）

現(xiàn)代濾波器

隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)構(gòu)成的濾波器，信號(hào)和干擾的頻帶相互重疊時(shí)采用（例如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等）5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計(jì)方法概述5間接設(shè)計(jì)法：是借助模擬濾波器設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)的。（1）先根據(jù)數(shù)字濾波器性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成原型模擬濾波器性能指標(biāo)；（2）再用模擬濾波器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)原型模擬濾波器；（3）最后將原型模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。直接設(shè)計(jì)法：在時(shí)域或頻域直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。（1）這種設(shè)計(jì)方法一般是先確定最優(yōu)準(zhǔn)則；（2）找出使最優(yōu)準(zhǔn)則下誤差最小的濾波器系統(tǒng)函數(shù)。5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計(jì)方法概述6按照任務(wù)的要求，確定濾波器的性能指標(biāo)；1.設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器一般分三步：(2)用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，去逼近濾波器性能指標(biāo)的要求。這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以是IIRDF的系統(tǒng)函數(shù)或FIRDF的系統(tǒng)函數(shù)；(3)數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)，主要工作包含：選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)，確定運(yùn)算和系數(shù)存儲(chǔ)的字長(zhǎng)，選用通用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件實(shí)現(xiàn)這一系統(tǒng)。5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計(jì)方法概述72.數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)以可實(shí)現(xiàn)的低通濾波器為例，用頻率響應(yīng)的幅頻特性允許誤差來(lái)表征。通帶：指信號(hào)中通過(guò)濾波器后基本保持無(wú)衰減的頻率范圍；阻帶：指信號(hào)中被濾波器濾除的頻率范圍。過(guò)渡帶：幅頻特性平滑地從通帶下降到阻帶的頻率范圍。5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計(jì)方法概述8:通帶的邊界頻率(passbandedgefrequency):通帶峰值波紋(peakpassbandripple):阻帶的邊界頻率(stopbandedgefrequency):阻帶峰值波紋(peakstopbandripple):通帶的的衰減(passbandattenuation):阻帶的的衰減(stopbandattenuation)5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計(jì)方法概述93.性能指標(biāo)關(guān)系（5.1-2）（5.1-1）通帶：阻帶：用分貝表示的濾波器的增益(gain)響應(yīng)定義當(dāng)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)

實(shí)數(shù)序列時(shí)，濾波器的幅頻特性

是

偶函數(shù)，所以一般只用描述0～

區(qū)間的幅頻特性，就確定了濾波器頻響特性的幅度要求。5.1.2理想數(shù)字濾波器10理想濾波器對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行濾波可以達(dá)到最理想的效果，但是它不可能實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)，只能近似實(shí)現(xiàn)。設(shè)計(jì)時(shí)把理想濾波器作為逼近標(biāo)準(zhǔn)。1.理想數(shù)字濾波器的種類(lèi)數(shù)字濾波器按頻響特性劃分成低通、高通、帶通、帶阻、全通等類(lèi)型。理想頻響特性是不可能實(shí)現(xiàn)的，原因是頻率之間幅頻特性是突變的，因而其單位脈沖響應(yīng)是非因果的。5.1.2理想數(shù)字濾波器11數(shù)字濾波器頻響特性是周期性，周期為2

，頻率變量以數(shù)字頻率

來(lái)表示,數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)時(shí)必須給出采樣頻率。

為模擬角頻率，T為采樣脈沖周期，fT為采樣頻率

按照奈奎斯特采樣定理，頻響特性只能限于范圍。在通帶內(nèi)，幅度為常數(shù)（非零），相位具有線性；在阻帶內(nèi)，幅度與相位均為零。5.1.2理想數(shù)字濾波器122.理想數(shù)字低通濾波器頻響特性表達(dá)式如下：式中，n0是一個(gè)正數(shù)，

c稱(chēng)為通帶截止頻率。信號(hào)通過(guò)該濾波器后，其輸出的頻譜應(yīng)為如果輸入信號(hào)的頻譜限制的范圍內(nèi),輸出信號(hào)為:該式表示輸出信號(hào)相對(duì)于輸入信號(hào)沒(méi)有發(fā)生失真5.1.2理想數(shù)字濾波器13該濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：顯然當(dāng)n<0

時(shí)，，它的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的非因果序列，因此理想低通濾波器物理不可實(shí)現(xiàn)。5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)14全通系統(tǒng)(All-passfilter)是指系統(tǒng)頻響特性的幅度在整個(gè)頻帶[0，2

]上均為1或某一常數(shù)的系統(tǒng)。設(shè)全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：

對(duì)于所有頻率滿足：信號(hào)通過(guò)全通系統(tǒng)后，其輸出的幅頻特性保持不變，僅相位發(fā)生變化，因此全通系統(tǒng)也稱(chēng)為純相位系統(tǒng)。1.數(shù)字全通濾波器的定義2.數(shù)字全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（1）一階全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)15這一系統(tǒng)所應(yīng)的零點(diǎn)，極點(diǎn)位置如圖5.1-4(a)所示（取）（2）一個(gè)實(shí)系數(shù)有理二階全通系統(tǒng)函數(shù)如式（5.1-9），系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)，極點(diǎn)位置如圖5.1-4(b)所示（?。＃?）N階數(shù)字全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)16為具有實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，其根全在單位圓內(nèi)

D(z)的根（Hap(z)的極點(diǎn)）應(yīng)是單位圓內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)

D(z-1)的根（Hap(z)的零點(diǎn)）應(yīng)是單位圓外的共軛復(fù)數(shù)，是D(z)的根的“鏡像”5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)173.數(shù)字最小相位系統(tǒng)定義：一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)與極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，該系統(tǒng)稱(chēng)為最小相位系統(tǒng)Hmin(z)。特征：在幅頻特性相同的所有因果、穩(wěn)定系統(tǒng)中，對(duì)角頻率

的任意化范圍，最小相位系統(tǒng)的相頻特性變化最小?！白钚∠辔弧睂?shí)際是一個(gè)不準(zhǔn)確的名稱(chēng)，其實(shí)際是“最小相位變化系統(tǒng)”。4.數(shù)字全通濾波器系統(tǒng)的特性（1）任意一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的（非最小相位系統(tǒng)）系統(tǒng)函數(shù)H(z)

都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級(jí)聯(lián)，即

（2）如果設(shè)計(jì)出的濾波器是非穩(wěn)定的，則可以用級(jí)聯(lián)全通系統(tǒng)的辦法將它變成一個(gè)穩(wěn)定的濾波器，這樣可以將單位圓外的極點(diǎn)加以抵消，同時(shí)又不改變?yōu)V波器的幅頻特性。5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)18（3）IIR濾波器的相頻特性是非線性，而視頻信號(hào)的傳輸中希望系統(tǒng)具有線性相位，此時(shí)可以采用全通濾波器作為相位均衡器，來(lái)校正系統(tǒng)的非線性相位得到線性相位，同時(shí)不改變系統(tǒng)的幅頻特性。例5.1-1

非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)畫(huà)出系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖，將其分解成全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)19例5.1-2

一個(gè)非穩(wěn)定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)級(jí)聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng)，使級(jí)聯(lián)后的濾波器變成穩(wěn)定系統(tǒng)。5.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法205.2.1系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性5.2.2典型模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法5.2.3頻率變換215.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法從時(shí)域上看，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)滿足：（即物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)一定是因果系統(tǒng)）從頻域上看，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的頻響特性應(yīng)滿足：---------佩利-維納準(zhǔn)則（Paley-Winnercriterion）

一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的實(shí)際濾波器的特性只能是理想特性的最佳逼近。5.2.1系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性225.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法5.2.2典型模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法通帶

過(guò)渡帶

阻帶0通帶公差帶阻帶公差帶通帶邊界頻率阻帶邊界頻率低通濾波器的實(shí)際特性：235.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法1.巴特沃茲（Butterworth）濾波器（最大平坦幅度特性）---------截止頻率n---------階數(shù)模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)（濾波器的幅頻特性），確定系統(tǒng)函數(shù)H(s)；(2)設(shè)計(jì)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)H(s)。245.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法

巴特沃茲濾波器的極點(diǎn)分布特征：255.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法令即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：設(shè)n=2,則265.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法可以證明：選左半s平面的兩個(gè)極點(diǎn)作為H(s)的極點(diǎn)，則一般形式：---------巴特沃茲多項(xiàng)式275.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法如圖所示，設(shè)計(jì)一低通巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。要求在通帶邊界頻率=200

rad/s處，幅度衰減δp≤2dB，在阻帶邊界頻率=400

rad/s處，幅度衰減δs≥15dB。解：由于通帶邊界頻率處幅度衰減不為3dB，因此要根據(jù)通帶和阻帶的衰減要求，聯(lián)立方程。例5.2-1285.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法上述兩式取等號(hào)可求出由于濾波器的階數(shù)n必須是整數(shù)，為了滿足和超過(guò)所給的技術(shù)指標(biāo)，n應(yīng)取3。

295.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法

c=687rad/s通過(guò)查表5.2-1并將s用代替，最后可得巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)后，通常可以采用無(wú)源網(wǎng)絡(luò)或有源網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)。305.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法2.切比雪夫(Chebyshew)濾波器切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性就具有這種等波紋特性。它有兩種形式：①幅頻特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的全極點(diǎn)濾波器，稱(chēng)為切比雪夫I型濾波器；②幅頻特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的，并且既有零點(diǎn)又有極點(diǎn)的濾波器，稱(chēng)為切比雪夫II型濾波器。圖5.2-5切比雪夫I型濾波器的幅頻特性315.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法（1）I類(lèi)切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性其中，

是與通帶波紋有關(guān)的參數(shù)，

p是通帶的邊界頻率，Tn(x)一個(gè)n階切比雪夫多項(xiàng)式，

當(dāng)n為奇數(shù)或n為偶數(shù)時(shí)，濾波器的幅頻特性有所不同。對(duì)于n為奇數(shù),Tn(0)=0,由此可得

H

(0)=1；對(duì)于n為偶數(shù),Tn(0)=1,由此可得

H

(0)=1(1+

2)；幅頻特性在0

p之間是等波紋的，在

p時(shí)單調(diào)下降。當(dāng)=s時(shí)，濾波器幅度等于1/A，稱(chēng)

s為濾波器阻帶邊界頻率濾波器的系統(tǒng)函數(shù)325.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法（2）II類(lèi)切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性II型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)不再是全極點(diǎn)函數(shù)，它既有極點(diǎn)也有零點(diǎn)。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)335.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法3.橢圓（elliptical）濾波器橢圓濾波器又稱(chēng)考爾濾波器（Cauerfilter)，是在通帶和阻帶等波紋的一種濾波器。在階數(shù)相同的條件下有著最小的通帶和阻帶波動(dòng)。橢圓濾波器是既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)的濾波器，濾波器的階數(shù)越大，則通帶與阻帶的起伏次數(shù)越多，階數(shù)等于濾波器幅頻特性在通帶中（或阻帶中）極大值個(gè)數(shù)與極小值個(gè)數(shù)之和。濾波器的幅頻特性其中：

Rn(x)是雅可比(Jacobi)橢圓函數(shù)

通帶邊界頻率400Hz，通帶波紋為0.022，阻帶邊界頻率500Hz，阻帶的最大波紋為0.1345.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法4.貝塞爾（Bessel）濾波器貝賽爾濾波器是具有最大平坦的群延時(shí)（線性相位響應(yīng)）的線性濾波器,具有幾乎橫跨整個(gè)通頻帶的恒定群延時(shí)。模擬濾波器的相頻特性為

(

)

，其群延時(shí)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)典型貝賽爾低通濾波器的頻響特性曲線355.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計(jì)方法模擬濾波器的比較巴特沃思濾波器幅頻特性單調(diào)下降。切比雪夫Ⅰ濾波器通帶內(nèi)等波紋幅頻特性，過(guò)渡帶、阻帶單調(diào)下降。切比雪夫Ⅱ?yàn)V波器阻帶內(nèi)等波紋幅頻特性，通帶、過(guò)渡帶單調(diào)下降。橢圓濾波器通帶、阻帶內(nèi)均等波紋幅頻特性，過(guò)渡帶單調(diào)下降。貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)逼近線性相位特性?！镌谙嗤A數(shù)，相同通帶衰減、阻帶衰減要求下，巴特沃思濾波器的過(guò)渡帶最寬；橢圓濾波器過(guò)渡帶最窄；兩種類(lèi)型的切比雪夫?yàn)V波器的過(guò)渡帶寬度相等，介于巴特沃思濾波器和橢圓濾波器。★在相同指標(biāo)要求下，橢圓濾波器所需的階次N最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)365.3.1脈沖響應(yīng)不換法5.3.2雙線性變換法375.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)目標(biāo)：滿足給定頻率響應(yīng)指標(biāo)、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)間接法設(shè)計(jì)過(guò)程確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成原型模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)原型模擬濾波器將原型模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換385.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原型模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求保證因果穩(wěn)定性，Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成H(z)

后保持不變，即s平面的左半平面Re{s}＜0應(yīng)映射到z平面的單位圓以內(nèi)|z|＜1;設(shè)計(jì)模擬Ha(s)

轉(zhuǎn)換成數(shù)字H(z)H(z)的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即s平面的虛軸應(yīng)映射到Z平面的單位圓ej

上。395.3.1脈沖響應(yīng)不變法1．變換原理脈沖響應(yīng)不變法(impulseinvariancemethod)是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h[n]模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng),使正好等于ha(t)的采樣值。

其中T為采樣周期設(shè)：根據(jù)采樣定理（5.3-2）令，代入上式得：（5.3-3）405.3.1脈沖響應(yīng)不變法圖5.3-1s平面到z平面的映射關(guān)系上式表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，它所完成的s平面到z平面的變換，正是信號(hào)與系統(tǒng)課程討論的拉普拉斯變換到z變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對(duì)Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過(guò)z=esT

的映射關(guān)系映射到z平面上。（5.3-3）脈沖響應(yīng)不變法：從s平面到z平面不是一一映射關(guān)系415.3.1脈沖響應(yīng)不變法2.混疊失真數(shù)字濾波器的頻響特性和模擬濾波器的頻響特性之間的關(guān)系（5.3-4）上式說(shuō)明，數(shù)字濾波器的頻響特性是模擬濾波器的頻響特性的周期延拓。（5.3-5）滿足式（5.3-5）條件，使數(shù)字濾波器的頻響特性在折迭頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響特性而不產(chǎn)生混疊失真。（5.3-6）任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響特性都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即頻譜混疊，數(shù)字濾波器的頻響特性將不同于原模擬濾波器的頻響特性而具有一定的失真。425.3.1脈沖響應(yīng)不變法圖5.3-2實(shí)際模擬低通濾波器數(shù)字化的幅頻特性由于存在頻率混疊效應(yīng)，所以脈沖響應(yīng)不變法只適合帶限的模擬濾波器，例如低通和帶通濾波器。高通和帶通濾波器不宜采用脈沖響應(yīng)不變法，否則要加保護(hù)濾波器，濾掉高于折迭頻率以上的分量。435.3.1脈沖響應(yīng)不變法3.H(z)的計(jì)算

脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達(dá)系統(tǒng)函數(shù)，模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)N>M，則可表達(dá)為部分分式形式；其拉氏反變換為：?jiǎn)挝浑A躍信號(hào)對(duì)ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列445.3.1脈沖響應(yīng)不變法再對(duì)h[n]取z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：第二個(gè)求和為等比級(jí)數(shù)之和，要收斂的話，必有

所以有s平面上的極點(diǎn)s=si

變換到z平面上是極點(diǎn),而Ha(s)與H(z)中部分分式所對(duì)應(yīng)的系數(shù)不變，但要注意，這種Ha(s)到H(z)的對(duì)應(yīng)變換關(guān)系，只有將Ha(s)表達(dá)為部分分式形式才成立。455.3.1脈沖響應(yīng)不變法比較上面兩式：s平面上的極點(diǎn)s=si，變換到z平面上是極點(diǎn)z=esiT，而Ha(s)與H(z)中部分分式所對(duì)應(yīng)的系數(shù)不變。如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn)s=si都在s左半平面，即Re[si]<0，那么變換后的極點(diǎn)z=esiT也都在單位圓以內(nèi)，因此數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。雖然脈沖響應(yīng)不變法能保證s平面與z平面的極點(diǎn)位置有一一對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，但這并不是說(shuō)整個(gè)s平面與z平面就存在這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點(diǎn)位置與s平面上的零點(diǎn)就沒(méi)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。值得注意的是，這種Ha(s)到H(z)的對(duì)應(yīng)變換關(guān)系，只有將Ha(s)表達(dá)為部分分式形式才成立。465.3.1脈沖響應(yīng)不變法例5.3-1：將一個(gè)具有如下系統(tǒng)函數(shù)的模擬濾波器數(shù)字化。解：直接利用的部分分式形式,得模擬濾波器的頻響特性為:數(shù)字濾波器的頻響特性為:475.3.1脈沖響應(yīng)不變法顯然與采樣間隔有關(guān)，T越小,衰減越大,混疊越小。本例中，當(dāng)時(shí),混疊可忽略不計(jì)。485.3.1脈沖響應(yīng)不變法小結(jié):(1)脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，ω＝ΩΤ，ω與Ω是線性關(guān)系。(2)在某些場(chǎng)合，要求數(shù)字濾波器在時(shí)域上能模仿模擬濾波器的功能時(shí)，如要實(shí)現(xiàn)時(shí)域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng)不變法。(3)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在s左半平面，映射后得到的H(z)也是穩(wěn)定的。(4)脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶阻濾波器,由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中，此時(shí)可增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于ΩT/2的頻帶，再用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)才采用。

495.3.2雙線性變換法1.變換公式

雙線性變換法(bilineartransformmethod)是一種能克服脈沖響應(yīng)不變法頻譜混疊的濾波器設(shè)計(jì)方法，是一種常用的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法。

為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步：第1步：將整個(gè)s平面壓縮到s1平面的一條橫帶里；第2步：通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。

脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從s平面到z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換z＝esT的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的.

由此建立s平面與z平面一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。s平面s1平面z平面505.3.2雙線性變換法

為了將s平面的jΩ軸壓縮到s1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T一段上，可通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn)：

經(jīng)過(guò)這樣的頻率變換，當(dāng)Ω由-∞→0→∞

時(shí),Ω1由-π/T經(jīng)過(guò)０變化到π/T

，即s平面的整個(gè)jΩ軸被壓縮到s1平面的。這里C是待定常數(shù)

將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個(gè)s平面，則得到s平面到s1平面的映射關(guān)系：（5.3-10）再將s1平面通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面，即令,取C=2/T（5.3-11）515.3.2雙線性變換法2.雙線性變換的特性雙線性變換是否符合：由模擬濾波器變換到數(shù)字濾波器時(shí)，從s平面到z平面映射變換的二個(gè)基本原則。(1)當(dāng)z=ej

時(shí)，代入雙線性變換關(guān)系式（5.3-10），得即s平面的虛軸映射到z平面正好是單位圓。(2)當(dāng)代入雙線性變換關(guān)系式（5.3-11），得

當(dāng)525.3.2雙線性變換法即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過(guò)雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。

當(dāng)下圖即是數(shù)字頻率ω與模擬頻率之間的映射關(guān)系雙線性變換的頻率非線性關(guān)系535.3.2雙線性變換法雙線性變換靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到s平面與z平面的單值一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，整個(gè)j

軸單值對(duì)應(yīng)于單位圓一周，這個(gè)頻率關(guān)系為：（5.3-12）由圖看出，s平面的正（負(fù)）虛軸映射成z平面單位圓的上（下）半圓。由于s平面的整個(gè)正虛軸（

=0～∞）映射成有限寬的數(shù)字頻段（ω=0～

），所以雙線性變換引起數(shù)字頻率與模擬頻率之間的嚴(yán)重非線性畸變。正是這種頻率非線性畸變，使整個(gè)模擬頻率軸映射成數(shù)字頻率的主值區(qū)[-

，

]，從而消除了頻譜混疊失真。這種頻率非線性畸變使數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)曲線不能模仿相應(yīng)的過(guò)渡模擬濾波器頻率響應(yīng)曲線的波形。545.3.2雙線性變換法頻率響應(yīng)的畸變(舉例)幅頻特性相頻特性555.3.2雙線性變換法3.預(yù)畸變的方法雙線性變換引起數(shù)字頻率與模擬頻率之間的嚴(yán)重非線性畸變，有關(guān)頻率點(diǎn)的畸變可以通過(guò)預(yù)畸變來(lái)加以校正，即將模擬濾波器的邊界頻率事先加以畸變，通過(guò)雙線性變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。(1)根據(jù)所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)，如需要設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，其指標(biāo)為，計(jì)算原型模擬濾波器的邊界頻率。(2)根據(jù)這些模擬濾波器的邊界頻率點(diǎn)設(shè)計(jì)原型模擬濾波器。(3)作雙線性變換，得到所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。565.3.2雙線性變換法4.H(z)的計(jì)算從模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

可直接通過(guò)變換公式（5.3-10）得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（5.3-13）數(shù)字濾波器的頻響特性（5.3-14）575.3.2雙線性變換法例(補(bǔ)充）用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，指標(biāo)要求解:根據(jù)上述用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟求解。（1）確定數(shù)字濾波器指標(biāo):

（2）非線性預(yù)畸變校正，將數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的原型模擬濾波器指標(biāo)。設(shè)采樣周期T=2s。

給定數(shù)字濾波器指標(biāo)設(shè)計(jì)時(shí)：T可以任意選給定模擬濾波器：

T如何選？585.3.2雙線性變換法（3）設(shè)計(jì)相應(yīng)的過(guò)渡模擬濾波器Ha(s)。根據(jù)單調(diào)下降要求，選擇巴特沃思濾波器。并仿照例5.2-1計(jì)算出n=2，

c≈0.72rad/s。查表5.2-1得到歸一化2階巴特沃思模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

去歸一化得到

（4）用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，即5.4數(shù)字濾波器的頻率變換595.4.1模擬域的頻率變換5.4.2模擬域的頻率變換5.4.3高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)605.4數(shù)字濾波器的頻率變換歸一化模擬低通數(shù)字低通數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字域頻率變換或雙線性變換沖激響應(yīng)不變法歸一化模擬低通模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬域頻率變換雙線性變換脈沖響應(yīng)不變法一.模擬域頻率變換二.數(shù)字域頻率變換615.4.1模擬域的頻率變換具體設(shè)計(jì)步驟是：①先根據(jù)對(duì)高通、帶通、帶阻等濾波器性能指標(biāo)，導(dǎo)出相應(yīng)的低通原型的性能指標(biāo)；②然后確定原型低通的HL(p)；③再根據(jù)對(duì)應(yīng)的頻率變換關(guān)系得到模擬高通、帶通和帶阻濾波器的HD(s)。625.4.1模擬域的頻率變換低通濾波器高通濾波器設(shè)：－－－低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（角頻率為截止角頻率為）－－－高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（角頻率為截止角頻率為）變換關(guān)系：令有

上式表明：s平面中的虛軸正好映射到p平面的虛軸上，其變換關(guān)系為：635.4.1模擬域的頻率變換與之間的關(guān)系：(5.4-2)將高通濾波器的性能指標(biāo)，即高通濾波器的通帶邊界頻率

p，阻帶邊界頻率

s，分別代入式(5.4-2)中，求出低通原型的通帶邊界頻率

p，阻帶邊界頻率

s。而高通的通帶波紋δp及阻帶波紋δs，即對(duì)應(yīng)低通原型的通帶與阻帶的要求。645.4.1模擬域的頻率變換從原型低通濾波器到高通濾波器的變換關(guān)系為：根據(jù)

p,

s,δp和δs確定低通原型系統(tǒng)函數(shù)HL(p)

模擬域的頻率變換可以設(shè)計(jì)模擬低通、高通，帶通和帶阻濾波器，然后利用雙線性變換法完成模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換，一般只有低通和帶通模擬濾波器可以考慮用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。655.4.2數(shù)字域的頻率變換數(shù)字域的頻率變換實(shí)現(xiàn)步驟①先將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換數(shù)字低通濾波器；②利用頻率變換將低通數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換成所需要的數(shù)字濾波器。參數(shù)設(shè)定：數(shù)字低通濾波器：HL(z)，單位圓所需要的數(shù)字濾波器：，單位圓變換：665.4.2數(shù)字域的頻率變換要求：函數(shù)在單位圓上恒等于1，是一個(gè)全通系統(tǒng)。(5.4-7)675.4.2數(shù)字域的頻率變換1.低通到低通

為實(shí)數(shù)由得：(5.4-8)685.4.2數(shù)字域的頻率變換參數(shù)

一般可以通過(guò)通帶邊界頻率和計(jì)算(5.4-10)695.4.2數(shù)字域的頻率變換低通頻率響應(yīng)在單位圓上旋轉(zhuǎn)180o，即得高通頻率響應(yīng)：2.低通到高通代入式（5.4-8）

(5.4-11)705.4.2數(shù)字域的頻率變換解：由已知條件則：高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：715.4.2數(shù)字域的頻率變換3.低通到帶通725.4.2數(shù)字域的頻率變換4.低通到帶阻735.4.3高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)1.模擬域頻率變換設(shè)計(jì)步驟（1）預(yù)畸變：用式（5.3-12）將期望的數(shù)字濾波器HD

(z)的數(shù)字邊界頻率轉(zhuǎn)換成同類(lèi)型模擬濾波器Ha(s)的邊界頻率；（2）模擬域指標(biāo)變換：將Ha(s)性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬原型低通濾波器的性能指標(biāo)，可以用表5.4-1；（3）設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器HL(p)；（4）模擬域頻率變換：將模擬原型濾波器HL(p)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器Ha(s)；（5）雙線性變換：用雙線性變換將模擬濾波器Ha(s)變換成期望的數(shù)字濾波器HD

(z)。745.4.3高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)2.數(shù)字域頻率變換設(shè)計(jì)步驟（1）預(yù)畸變：用式（5.3-12）將期望的數(shù)字濾波器HD

(z)的數(shù)字邊界頻率轉(zhuǎn)換成同類(lèi)型模擬濾波器Ha(s)的邊界頻率；（2）模擬域指標(biāo)變換：將Ha(s)性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬原型低通濾波器的性能指標(biāo)，可以用表5.4-1；（3）設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器HL(p)；（4）雙線性變換：用雙線性變換將模擬濾波器HL(p)變換成期望的數(shù)字濾波器HL

(z)；（5）模擬域頻率變換：將數(shù)字低通濾波器HL

(z))轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字濾波器HD

(z)

。755.5用Matlab函數(shù)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器用Buttord、Cheb1ord、Cheb2ord和Ellipord函數(shù)可以得到模擬或數(shù)字濾波器的最低階數(shù)和歸一化截止頻率；用Butter、Cheby1、Cheby2和Ellip函數(shù)可以得到模擬或數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，用Besself和Besselap可以設(shè)計(jì)貝塞爾模擬濾波器。在給定濾波器性能指標(biāo)的條件下，希望用最小階次的濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)。解：其程序dsp501.m765.5用Matlab函數(shù)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器Wp=1000;Ws=2500;Rp=1;Rs=30;w=linspace(1,3000,1000);[N1,Wn1]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N1

[N2,Wn2]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N2 [N3,Wn3]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N3[N4,Wn4]=Ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');N4 [b1,a1]=butter(N1,Wn1,'s');h1=freqs(b1,a1,w);subplot(1,4,1);plot(w,abs(h1));grid;xlabel('rad/s');title('巴特沃思濾波器');[b2,a2]=cheby1(N2,Rp,Wn2,'s');h2=freqs(b2,a2,w);subplot(1,4,2);plot(w,abs(h2));grid;xlabel('rad/s');title('切比雪夫Ⅰ型濾波器');[b3,a3]=cheby2(N3,Rs,Wn3,'s');h3=freqs(b3,a3,w);subplot(1,4,3);plot(w,abs(h3));grid;xlabel('rad/s');title('切比雪夫Ⅱ型濾波器');[b4,a4]=Ellip(N4,Rp,Rs,Wn4,'s');h4=freqs(b4,a4,w);subplot(1,4,4);plot(w,abs(h4));grid;xlabel('rad/s');title('橢圓濾波器');在命令窗口執(zhí)行dsp501.m后，命令窗口會(huì)出現(xiàn)N1=5，N2=4，N3=4，N4=3，說(shuō)明同樣的性能指標(biāo)，不同濾波器的階數(shù)不同。775.5用Matlab函數(shù)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器例5.5-2

分別設(shè)計(jì)5階貝塞爾模擬低通和高通濾波器，通帶截止頻率1000Hz。繪制濾波器的幅頻特性和相頻特性曲線。n=5;wp=2*pi*1000;w=0:2*