人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第十五章 分式知識(shí)歸納與題型突破（單元復(fù)習(xí) 18類題型清單）

第十五章分式知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一．分式的定義（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．（5）分式是一種表達(dá)形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因?yàn)閥﹣1＝僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式．二．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào)．（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào)．三．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．四．分式的值分式求值歷來是各級(jí)考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時(shí)應(yīng)從已知條件和所求問題的特點(diǎn)出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．五．分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號(hào)法則：分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號(hào)，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題1．分式中的系數(shù)化整問題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號(hào)問題：分式的分子、分母及分式本身的三個(gè)符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變，注意分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，分子、分母應(yīng)為一個(gè)整體，改變符號(hào)是指改變分子、分母中各項(xiàng)的符號(hào)．3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．六．約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式．②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號(hào)時(shí)，一般把負(fù)號(hào)提到分式本身的前面．③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．七．通分（1）通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母．①最簡公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)．②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．（3）規(guī)律方法總結(jié)：通分時(shí)若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡公分母，最簡公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次冪，各分母中不相同的因式都要作為最簡公分母中的因式，要防止遺漏因式．八．最簡分式最簡分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡分式．和分?jǐn)?shù)不能化簡一樣，叫最簡分?jǐn)?shù)．九．最簡公分母（1）最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．十．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式．約分是對(duì)一個(gè)分式而言的；通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來說的．十一．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算．運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：①分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．②整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，乘除法是同級(jí)運(yùn)算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算，切不可打亂這個(gè)運(yùn)算順序．十二．分式的混合運(yùn)算（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問題1．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．2．注意化簡結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡分式或整式．3．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡化運(yùn)算過程．十三．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時(shí)需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式＝…”．2．代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為十四．分式方程的定義分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)．十五．分式方程的解求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．十六．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．十七．換元法解分式方程1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．十八．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．十九．由實(shí)際問題抽象出分式方程由實(shí)際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．（1）在確定相等關(guān)系時(shí)，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時(shí)間相等、追擊的時(shí)間相等．（2）列分式方程解應(yīng)用題要多思、細(xì)想、深思，尋求多種解法思路．二十．分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度＝路程時(shí)間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．0303題型歸納題型一分式的識(shí)別例題：（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽·階段練習(xí)）下列代數(shù)式中，是分式的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（24-25八年級(jí)上·湖南郴州·階段練習(xí)）下列是分式的是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）在式子，，，，，中，分式的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（24-25八年級(jí)上·湖南郴州·階段練習(xí)）下列各式，，，，，，，中，分式共有（

）個(gè)．A．5 B．6 C．7 D．8題型二分式有無意義的條件例題：（23-24九年級(jí)下·全國·期末）要使分式有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）分式有意義，x滿足（

）A． B． C． D．2．（22-23八年級(jí)下·江蘇宿遷·期中）若式子的值為0，則x的值為（

）A．0 B． C．2 D．3．（23-24八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）對(duì)于分式

，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．不論x取何值，分式都有意義 B．分式的值大于0C．不論x取何值，分式的值都不為0 D．當(dāng)或時(shí)，分式無意義題型三判斷分式變形是否正確例題：（24-25八年級(jí)上·湖南郴州·階段練習(xí)）下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）下列各式從左到右的變形正確的是（

）A． B．C． D．2．（23-24八年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）下列變形正確的是（

）A． B．C． D．3．（22-23八年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）不改變分式的值，下列各式變形正確的是（）A． B．C． D．題型四利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化例題：（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽·階段練習(xí)）若，的值均擴(kuò)大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）將分式中的都變?yōu)樵瓉淼?倍，那么分式的值變?yōu)樵瓉淼模?/p>

）A．倍 B．3倍 C．不變 D．倍2．（23-24八年級(jí)下·吉林長春·開學(xué)考試）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式中的分子、分母的x，y同時(shí)擴(kuò)大2倍，那么分式的值（

）A．不改變 B．縮小2倍C．?dāng)U大4倍 D．?dāng)U大2倍3．（22-23八年級(jí)上·山西臨汾·期末）把分式的x，y均擴(kuò)大為原來的10倍后，則分式的值（）A．為原分式值的 B．為原分式值的C．為原分式值的10倍 D．不變題型五最簡分式例題：（24-25八年級(jí)上·湖南郴州·階段練習(xí)）下列是最簡分式的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（24-25八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）下列分式是最簡分式的是（

）A． B． C． D．2．（24-25九年級(jí)上·四川資陽·開學(xué)考試）下列各式中最簡分式是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）下列分式中，屬于最簡分式的是（）A． B． C． D．題型六最簡公分母例題：（23-24八年級(jí)下·全國·期末）與的最簡公分母是．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)下·全國·期末）分式與的最簡公分母為．2．（23-24八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）分式的最簡公分母是．3．（23-24八年級(jí)上·山東青島·單元測(cè)試）分式、的最簡公分母是，通分為．題型七已知分式恒等式，確定分子或分母例題：（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若，則_________，_________．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，則_________________．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）若恒成立，則A-B=__________．題型八分式加減混合運(yùn)算例題：（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算(1)；(2)；(3)．2．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)題型九分式乘除混合運(yùn)算例題：（23-24八年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）分式計(jì)算：(1)；(2)．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)下·吉林長春·開學(xué)考試）計(jì)算：(1)；(2)．2．（23-24八年級(jí)上·山東濰坊·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：；（3）計(jì)算：．3．（23-24八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)(2)(3)；(4)．題型十含乘方的分式乘除混合運(yùn)算例題：（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：鞏固訓(xùn)練1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）；（3）?÷；（4）．題型十一分式化簡求值例題：（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）先化簡，再求值：，其中．鞏固訓(xùn)練1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）先化簡，再求值：其中滿足方程．2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）先化簡，再求值：，其中：題型十二零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪例題：計(jì)算：．鞏固訓(xùn)練1．計(jì)算：．2．計(jì)算：．題型十三用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)例題：若一粒米的質(zhì)量約是，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．鞏固訓(xùn)練1．經(jīng)測(cè)算，一粒芝麻的質(zhì)量約為，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B．C． D．2．納米是一種長度單位，1納米米，冠狀病毒的直徑約為120納米，將120納米用科學(xué)記數(shù)法表示為米．3.我國已經(jīng)成功研制出超導(dǎo)量子計(jì)算原型機(jī)“祖沖之二號(hào)”．根據(jù)已公開的最優(yōu)經(jīng)典算法，在處理“量子隨機(jī)線路取樣”問題時(shí)，“祖沖之二號(hào)”用時(shí)大約為秒，將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為．題型十四分式方程的定義例題：（24-25八年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）下列關(guān)于的方程中，不是分式方程的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級(jí)上·福建莆田·階段練習(xí)）下列式子中，是分式方程的是（

）A． B．C． D．2．（23-24八年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）下列方程不是分式方程的是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）下列關(guān)于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4題型十五解分式方程例題：（23-24八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）解方程：(1)；(2)．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽·階段練習(xí)）解分式方程：(1)；(2)．2．（23-24八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）解方程：(1)(2)3．（24-25八年級(jí)上·全國·期末）解分式方程：(1)；(2)；(3)題型十六解分式方程錯(cuò)解復(fù)原問題例題：（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）下面是小云同學(xué)解分式方程的部分過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成以下各題：解分式方程：解：……第一步……第二步………第三步……(1)第二步的解題依據(jù)是______；A．分式的性質(zhì)

B．等式的性質(zhì)

C．單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則(2)以上解方程步驟中，第______步開始錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤原因是______；(3)請(qǐng)寫出該分式方程的正確解答過程．鞏固訓(xùn)練1．（2024·寧夏銀川·二模）下面是某同學(xué)解分式方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：解：去分母，得

…………第一步去括號(hào)，得

…………第二步移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得

…………第三步解得，…………第四步則原分式方程的解為…………第五步(1)第一步的依據(jù)是________________________________；(2)上面的解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是__________．2．（23-24九年級(jí)下·江西宜春·期中）以下是小明同學(xué)解分式方程的過程：解：……第一步，……第二步，……第三步，，……第四步，經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的解．(1)以上解題過程中，第一步變形的依據(jù)是（

）A．不等式的基本性質(zhì)

B．等式的基本性質(zhì)

C．分式的基本性質(zhì)(2)從第＿＿＿＿步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是＿＿＿＿；(3)請(qǐng)求出該方程的正確解．3．（2024·廣西南寧·三模）閱讀下面解方程的過程，完成后面的問題：解方程．解：……第一步……第二步……第三步……第四步……第五步檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，所以，是原方程的根．問題一：①以上解題過程中，第一步是依據(jù)進(jìn)行變形的；A．等式的基本性質(zhì)

B．不等式的基本性質(zhì)

C．分式的基本性質(zhì)②從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；問題二：該方程的正確解是；問題三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解分式方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．題型十七列分式方程例題：（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考三模）已知甲廠燒100噸煤與乙廠燒120噸煤所用的天數(shù)相同，已知甲、乙兩廠每天一共燒煤33噸，求甲、乙兩廠每天分別燒煤多少噸？若設(shè)甲廠每天燒噸煤，則根據(jù)題意列方程為___________．鞏固訓(xùn)練1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）某地開展建設(shè)綠色家園活動(dòng)，活動(dòng)期間，計(jì)劃每天種植相同數(shù)量的樹木，該活動(dòng)開始后，實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹40棵，實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹320棵所需時(shí)間相同．設(shè)實(shí)際每天植樹x棵，則可列方程為______．2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢馬送，需要的時(shí)間比規(guī)定的時(shí)間多1天；如果用快馬送，需要的時(shí)間比規(guī)定的時(shí)間少3天．已知快馬的速度是慢馬速度的2倍，求規(guī)定的時(shí)間．設(shè)規(guī)定的時(shí)間為天，則可列方程為______．題型十八分式方程的實(shí)際應(yīng)用例題：（2023·吉林白山·校聯(lián)考三模）第5代移動(dòng)通信技術(shù)簡稱5G，某地已開通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測(cè)試5G下載速度是4G下載速度的16倍，小明和小強(qiáng)分別用5G與4G下載一部960兆的公益片，小明比小強(qiáng)所用的時(shí)間快150秒，求該地4G與5G的下載速度分別是每秒多少兆？鞏固訓(xùn)練1．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）水碧萬物生，岳陽龍蝦好．小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是，今年龍蝦的總產(chǎn)量是，且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．2．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）2023年5月，江西省突發(fā)港澇災(zāi)?，為響應(yīng)政府救援號(hào)召，甲、乙兩公司組織全體員工參與“眾志成城，人間大愛”捐款活動(dòng)，甲公司共?款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話：

(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買、兩種防疫物資，種防疫物資每箱15000元，種防疫物資每箱12000元．若購買種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？（注：、兩種防疫物資均需購買，并按整箱配送）．

第十五章分式知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一．分式的定義（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0．（3）分式是兩個(gè)整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除號(hào)，還兼有括號(hào)的作用．（4）分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時(shí)，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡．（5）分式是一種表達(dá)形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)次冪表示的某些代數(shù)式如（a+b）﹣2，y﹣1，則為分式，因?yàn)閥﹣1＝僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，而非一種運(yùn)算形式．二．分式有意義的條件（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．（3）分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號(hào)．（4）分式的值為負(fù)數(shù)的條件是分子、分母異號(hào)．三．分式的值為零的條件分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個(gè)條件不能少．四．分式的值分式求值歷來是各級(jí)考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解答時(shí)應(yīng)從已知條件和所求問題的特點(diǎn)出發(fā)，通過適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．五．分式的基本性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．（2）分式中的符號(hào)法則：分子、分母、分式本身同時(shí)改變兩處的符號(hào)，分式的值不變．【方法技巧】利用分式的基本性質(zhì)可解決的問題1．分式中的系數(shù)化整問題：當(dāng)分子、分母的系數(shù)為分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)．2．解決分式中的變號(hào)問題：分式的分子、分母及分式本身的三個(gè)符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變，注意分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，分子、分母應(yīng)為一個(gè)整體，改變符號(hào)是指改變分子、分母中各項(xiàng)的符號(hào)．3．處理分式中的恒等變形問題：分式的約分、通分都是利用分式的基本性質(zhì)變形的．六．約分（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定．①分式約分的結(jié)果可能是最簡分式，也可能是整式．②當(dāng)分子與分母含有負(fù)號(hào)時(shí)，一般把負(fù)號(hào)提到分式本身的前面．③約分時(shí)，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項(xiàng)式的，必須先分解因式．（3）規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．七．通分（1）通分的定義：把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．（2）通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母．①最簡公分母的系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)．②最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．（3）規(guī)律方法總結(jié)：通分時(shí)若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡公分母，最簡公分母的系數(shù)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)，因式為各分母中相同因式的最高次冪，各分母中不相同的因式都要作為最簡公分母中的因式，要防止遺漏因式．八．最簡分式最簡分式的定義：一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡分式．和分?jǐn)?shù)不能化簡一樣，叫最簡分?jǐn)?shù)．九．最簡公分母（1）最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．（2）一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．十．分式的加減法（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．說明：①分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘．②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個(gè)較簡單的分式變成分母相同的較復(fù)雜的形式．約分是對(duì)一個(gè)分式而言的；通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來說的．十一．分式的乘除法（1）分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．（2）分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．（3）分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合運(yùn)算．運(yùn)算順序應(yīng)先把各個(gè)分式進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行分式的乘除運(yùn)算，即“先乘方，再乘除”．（5）規(guī)律方法總結(jié)：①分式乘除法的運(yùn)算，歸根到底是乘法的運(yùn)算，當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解，再約分．②整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，可以把整式看成分母為1的分式．③做分式乘除混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，乘除法是同級(jí)運(yùn)算，要嚴(yán)格按照由左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算，切不可打亂這個(gè)運(yùn)算順序．十二．分式的混合運(yùn)算（1）分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．（3）分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算．【規(guī)律方法】分式的混合運(yùn)算順序及注意問題1．注意運(yùn)算順序：分式的混合運(yùn)算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．2．注意化簡結(jié)果：運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡分式或整式．3．注意運(yùn)算律的應(yīng)用：分式的混合運(yùn)算，一般按常規(guī)運(yùn)算順序，但有時(shí)應(yīng)先根據(jù)題目的特點(diǎn)，運(yùn)用乘法的運(yùn)算律運(yùn)算，會(huì)簡化運(yùn)算過程．十三．分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時(shí)需注意的問題1．化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式＝…”．2．代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為十四．分式方程的定義分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)．十五．分式方程的解求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．十六．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．十七．換元法解分式方程1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．十八．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．十九．由實(shí)際問題抽象出分式方程由實(shí)際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．（1）在確定相等關(guān)系時(shí)，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時(shí)間相等、追擊的時(shí)間相等．（2）列分式方程解應(yīng)用題要多思、細(xì)想、深思，尋求多種解法思路．二十．分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度＝路程時(shí)間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．0303題型歸納題型一分式的識(shí)別例題：（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽·階段練習(xí)）下列代數(shù)式中，是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】分式的判斷【分析】本題考查了分式的定義：掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．如果、不等于零）表示兩個(gè)整式，且中含有字母，那么式子叫做分式，其中稱為分子，稱為分母，根據(jù)分式的概念判斷即可．【詳解】解：A．該代數(shù)式中分母中不含字母，故不是分式，該選項(xiàng)不符合題意；B．該代數(shù)式中分母中不含字母，故不是分式，該選項(xiàng)不符合題意；C．該代數(shù)式符合分式的概念，該選項(xiàng)符合題意；D．該代數(shù)式中分母中不含字母，故不是分式，該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（24-25八年級(jí)上·湖南郴州·階段練習(xí)）下列是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】分式的判斷【分析】本題考查了分式的定義．分式需同時(shí)滿足三個(gè)條件：（1）的形式；（2）分子、分母都是整式；（3）分母中含有字母．根據(jù)分式的定義，逐個(gè)判斷得結(jié)論．【詳解】解：選項(xiàng)B、C、D的分母中都不含字母，故它們都是整式，是分式，故A符合題意．故選：A．2．（24-25八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）在式子，，，，，中，分式的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】分式的判斷【分析】本題主要考查分式的定義，判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．注意不是字母，是常數(shù)，所以不是分式，是整式．【詳解】解：分式有：，，共3個(gè)．故選：B．3．（24-25八年級(jí)上·湖南郴州·階段練習(xí)）下列各式，，，，，，，中，分式共有（

）個(gè)．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】分式的判斷【分析】本題考查的是分式的定義．判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】解：，在，，，，，，，中，分式有，，，，共5個(gè)，故選：A．題型二分式有無意義的條件例題：（23-24九年級(jí)下·全國·期末）要使分式有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件、求一元一次不等式的解集【分析】本題考查了分式有意義的條件，根據(jù)“分式有意義，則分母不為零”列式求解即可．【詳解】根據(jù)題意得：，，故選：A．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）分式有意義，x滿足（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不為0是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵分式有意義，∴，∴，故選：A．2．（22-23八年級(jí)下·江蘇宿遷·期中）若式子的值為0，則x的值為（

）A．0 B． C．2 D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】分式值為零的條件、分式有意義的條件【分析】本題主要考查了分式值為0的條件，分式有意義的條件，根據(jù)分式值為0的條件是分子為0，分母不為0進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，解得：，故選：B．3．（23-24八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）對(duì)于分式

，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．不論x取何值，分式都有意義 B．分式的值大于0C．不論x取何值，分式的值都不為0 D．當(dāng)或時(shí)，分式無意義【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件、分式值為零的條件【分析】本題考查分式有意義的條件以及分式值為零的條件，解題的關(guān)鍵是熟知分式有意義的條件是分母不為零．根據(jù)分式有意義的條件判斷即可求解．【詳解】∵，，無論x取何值，、都為正數(shù)，故無論x取何值，分式都有意義，且分式的值為正數(shù)，不為0，故A、B、C說法正確，D說法錯(cuò)誤，故選：D．題型三判斷分式變形是否正確例題：（24-25八年級(jí)上·湖南郴州·階段練習(xí)）下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷分式變形是否正確【分析】本題主要考查了利用分式的基本性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行變形，解題關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形，再進(jìn)行判斷即可．【詳解】A．，故A錯(cuò)誤，不符合題意；B．，故B正確，符合題意；C．，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D．，故D錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）下列各式從左到右的變形正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷分式變形是否正確【分析】此題考查了分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)計(jì)算即可判斷求解，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、原變形錯(cuò)誤，該項(xiàng)不符合題意；、原變形錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；、原變形錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；、原式原變形正確，該選項(xiàng)符合題意；故選：．2．（23-24八年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）下列變形正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷分式變形是否正確【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．【詳解】A、，故此項(xiàng)正確；B、為最簡分式，不能繼續(xù)化簡，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．3．（22-23八年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）不改變分式的值，下列各式變形正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷分式變形是否正確【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)．【詳解】解：A、，不符合題意；B、，符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意；故選：B．題型四利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化例題：（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽·階段練習(xí)）若，的值均擴(kuò)大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，，的值均擴(kuò)大為原來的3倍，求出每個(gè)式子的結(jié)果，看結(jié)果等于原式的即是答案．【詳解】解：A．，不符合題意；B．，不符合題意；C．，符合題意；D．，不符合題意；故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）將分式中的都變?yōu)樵瓉淼?倍，那么分式的值變?yōu)樵瓉淼模?/p>

）A．倍 B．3倍 C．不變 D．倍【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化【分析】把變成，再化簡，即可得出答案．本題考查了分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，能理解題意是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵將分式中的都變?yōu)樵瓉淼?倍,∴，故選：A．2．（23-24八年級(jí)下·吉林長春·開學(xué)考試）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式中的分子、分母的x，y同時(shí)擴(kuò)大2倍，那么分式的值（

）A．不改變 B．縮小2倍C．?dāng)U大4倍 D．?dāng)U大2倍【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，把中的分子、分母的x，y同時(shí)擴(kuò)大2倍，則，相比即可得出答案．【詳解】解：把中的分子、分母的x，y同時(shí)擴(kuò)大2倍，則，∴把分式中的分子、分母的x，y同時(shí)擴(kuò)大2倍，那么分式的值不變，故選：A．3．（22-23八年級(jí)上·山西臨汾·期末）把分式的x，y均擴(kuò)大為原來的10倍后，則分式的值（）A．為原分式值的 B．為原分式值的C．為原分式值的10倍 D．不變【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)化簡分式是解答的關(guān)鍵．將所給分式里的x、y換成、，利用分式的基本性質(zhì)化簡分式，與原分式比較即可求解．【詳解】解析：x、y均擴(kuò)大為原來的10倍后，∴故選：A．題型五最簡分式例題：（24-25八年級(jí)上·湖南郴州·階段練習(xí)）下列是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】最簡分式、約分【分析】此題考查了最簡分式的判斷、分式的化簡等知識(shí).把分式化簡后根據(jù)最簡分式的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A.，故選項(xiàng)不是最簡分式，不合題意；B.，選項(xiàng)是最簡分式，符合題意；C.，故選項(xiàng)不是最簡分式，不合題意；D.，故選項(xiàng)不是最簡分式，不合題意；故選：B鞏固訓(xùn)練1．（24-25八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）下列分式是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】最簡分式【分析】本題主要考查了最簡分式的定義，關(guān)鍵是理解最簡分式的定義．最簡分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分，判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號(hào)變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．【詳解】解：A、，該分式不符合最簡分式的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；B．，該分式的分子、分母中含有公因，則它不是最簡分式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．，該分式的分子、分母中含有公因數(shù)2，則它不是最簡分式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．該分式的分母為，所以該分式的分子、分母中沒有公因式，則它是最簡分式，故本選項(xiàng)不合題意；故選：D．2．（24-25九年級(jí)上·四川資陽·開學(xué)考試）下列各式中最簡分式是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】最簡分式【分析】本題主要考查最簡分式，根據(jù)最簡分式的定義判斷即可，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡分式．【詳解】解：A、，故選項(xiàng)不符合題意；B、，故選項(xiàng)不符合題意；C、，故選項(xiàng)不符合題意；D、是最簡分式，故選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．（23-24八年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）下列分式中，屬于最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】最簡分式【分析】本題考查最簡分式定義，根據(jù)最簡分式的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟記最簡分式定義：分式的分子與分母除1以外再?zèng)]有其他公因式，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，故不是最簡分式，不符合題意；B、，故不是最簡分式，不符合題意；C、，故不是最簡分式，不符合題意；D、是最簡分式，符合題意；故選：D．題型六最簡公分母例題：（23-24八年級(jí)下·全國·期末）與的最簡公分母是．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】最簡公分母【分析】本題考查了最簡公分母的定義及求法．通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．一般方法：①如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．②如果各分母都是多項(xiàng)式，就可以將各個(gè)分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的冪的因式都要取最高次冪．據(jù)此求解即可．【詳解】解：分式與的分母分別是、，故最簡公分母是．故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)下·全國·期末）分式與的最簡公分母為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】最簡公分母【分析】本題考查的是最簡公分母，當(dāng)各分母都是單項(xiàng)式時(shí)，即有最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里．由題意直接根據(jù)最簡公分母的定義，即可得出答案．【詳解】解：∵分式的分母，都是單項(xiàng)式，∴分式與的最簡公分母是．故答案為：．2．（23-24八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）分式的最簡公分母是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】最簡公分母【分析】根據(jù)最簡公分母的確定方法問題可解，本題考查了分式的最簡公分母的概念，詳解時(shí)注意以下步驟：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個(gè)因式確定；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．【詳解】解：因?yàn)?，，中的常?shù)項(xiàng)系數(shù)的最小公倍數(shù)是，的最高次冪是，的最高次冪是，的最高次冪是，所以三分式的最簡公分母是．故答案為：．3．（23-24八年級(jí)上·山東青島·單元測(cè)試）分式、的最簡公分母是，通分為．【答案】、【知識(shí)點(diǎn)】最簡公分母、通分【分析】本題考查了最簡公分母和通分，先對(duì)分式的分母進(jìn)行因式分解，再根據(jù)最簡公分母的定義可得出最簡公分母，最后根據(jù)所得的最簡公分母通分即可，掌握最簡公分母的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴分式、的最簡公分母是，∴，，故答案為：；、．題型七已知分式恒等式，確定分子或分母例題：（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）若，則_________，_________．【答案】21【分析】根據(jù)同分母分式的加減計(jì)算，再按對(duì)應(yīng)項(xiàng)相同可得答案．【詳解】解：∴A=2，B=1故答案為：2，1．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減，解題關(guān)鍵是掌握分式加法的運(yùn)算法則．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，則_________________．【答案】7【分析】根據(jù)題意可進(jìn)行通分，即，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，①+②得：；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加法，熟練掌握分式的加法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）若恒成立，則A-B=__________．【答案】2【分析】已知等式右邊通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再根據(jù)分式相等的條件即可求出所求．【詳解】解：等式整理得，∴∴A-B＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減，解題的關(guān)鍵是通分，對(duì)等式進(jìn)行整理，轉(zhuǎn)化為分母相同的形式，從而求解．題型八分式加減混合運(yùn)算例題：（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)1；(2)【分析】（1）根據(jù)同分母分式的加法法則求出即可；（2）先把異分母的分式轉(zhuǎn)化成同分母的分式，再根據(jù)同分母分式的減法法則求出即可．【詳解】（1）解：，===1；（2）解：.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法則，能靈活運(yùn)用分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）分式的分母相同，直接相減進(jìn)行計(jì)算；（2）分式的公分母為，先通分，在進(jìn)行計(jì)算；（3）直接進(jìn)行通分，在進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減，找公分母，通分是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）互為相反數(shù)，第二項(xiàng)的分母提取負(fù)號(hào)，化為同分母，直接根據(jù)同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算：分母不變，分子相加減；（2）最簡公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）把看成是一項(xiàng)，為，再通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（4）最簡公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加減混合運(yùn)算，熟練掌握分式的加減混合運(yùn)算法則及因式分解是解題的關(guān)鍵．題型九分式乘除混合運(yùn)算例題：（23-24八年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）分式計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分式乘除混合運(yùn)算、含乘方的分式乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）先把除法轉(zhuǎn)換為乘法，同時(shí)因式分解，然后約分即可；（2）先計(jì)算分式的乘方，同時(shí)把除法轉(zhuǎn)換為乘法，然后約分即可．【詳解】（1）解∶原式；（2）解：原式．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)下·吉林長春·開學(xué)考試）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分式乘法、分式乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了分式的乘法和除法運(yùn)算，根據(jù)法則計(jì)算即可．（1）約分化簡即可；（2）把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再按乘法法則化簡．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．2．（23-24八年級(jí)上·山東濰坊·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：；（3）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）；（3）【知識(shí)點(diǎn)】分式乘法、分式除法、分式乘除混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了分式的乘除運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）按照分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）按照分式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）將除法變成乘法，然后按照分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）．3．（23-24八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)(2)(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】分式乘除混合運(yùn)算【分析】（1）先把分子分母因式分解和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分即可；（2）先把分子分母因式分解和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分即可；（3）先除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分即可．（4）先除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算：分式的乘除混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序．最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．題型十含乘方的分式乘除混合運(yùn)算例題：（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】先計(jì)算乘方運(yùn)算，再把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，然后約分即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了含乘方的分式乘除法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握其運(yùn)算法則．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可得出答案；（2）先利用完全平方公式整理，將除法化為乘法，最后約分即可得出答案．【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）；（3）?÷；（4）．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）【分析】（1）先計(jì)算乘方，同時(shí)將除法化為乘法，再計(jì)算乘法；（2）先計(jì)算乘方，將除法化為乘法，再計(jì)算乘法；（3）先將除法化為乘法，將分子與分母分解因式，再計(jì)算乘法；（4）將分子與分母分解因式，除法化為乘法，計(jì)算乘法即可．【詳解】解：（1）原式=）=；（2）原式==1；（3）原式==；（4）原式==．【點(diǎn)睛】此題考查分式的計(jì)算，掌握分式的乘方計(jì)算法則，乘除法計(jì)算法則，因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．題型十一分式化簡求值例題：（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．鞏固訓(xùn)練1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）先化簡，再求值：其中滿足方程．【答案】，【分析】運(yùn)用乘法公式，分式的性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行化簡，再變形得，，代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，掌握乘法公式與分式混合運(yùn)算的綜合，方程的變形，代入求值等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）先化簡，再求值：，其中：【答案】；【分析】運(yùn)用因式分解，約分等化簡，后代入求值即可．【詳解】解：；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解，約分等化簡技能是解題的關(guān)鍵．題型十二零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪例題：計(jì)算：．【答案】1【詳解】解：，故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．計(jì)算：．【答案】【詳解】解：.2．計(jì)算：．【詳解】解：．3．計(jì)算：．【詳解】．題型十三用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)例題：若一粒米的質(zhì)量約是，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：，故答案為：鞏固訓(xùn)練1．經(jīng)測(cè)算，一粒芝麻的質(zhì)量約為，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：．故選：D．2．納米是一種長度單位，1納米米，冠狀病毒的直徑約為120納米，將120納米用科學(xué)記數(shù)法表示為米．【答案】【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法的運(yùn)用，負(fù)指數(shù)的運(yùn)用，同底數(shù)冪的運(yùn)算，科學(xué)記數(shù)法的表示為，確定的值的方法是：原數(shù)變?yōu)闀r(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)與的絕對(duì)值相同．當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)時(shí)，為負(fù)數(shù)；當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)時(shí)，為正數(shù)；最后根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：納米=，故答案為：．3.我國已經(jīng)成功研制出超導(dǎo)量子計(jì)算原型機(jī)“祖沖之二號(hào)”．根據(jù)已公開的最優(yōu)經(jīng)典算法，在處理“量子隨機(jī)線路取樣”問題時(shí)，“祖沖之二號(hào)”用時(shí)大約為秒，將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為．【答案】【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：，故答案為：．題型十四分式方程的定義例題：（24-25八年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）下列關(guān)于的方程中，不是分式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的定義【分析】本題考查了分式方程的識(shí)別．根據(jù)分式方程的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程判斷．【詳解】解：A、B、C項(xiàng)分母中都含未知數(shù)，是分式方程，D項(xiàng)中的方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程．故選：D．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級(jí)上·福建莆田·階段練習(xí)）下列式子中，是分式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的定義【分析】此題考查了分式方程得定義，分母中含有未知數(shù)的有理方程是分式方程，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．是一元二次方程，故選項(xiàng)不符合題意；B．不是方程，故選項(xiàng)不符合題意；C．是分式方程，故選項(xiàng)符合題意；D．是一元一次方程，故選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）下列方程不是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的定義【分析】本題主要考查分式方程的定義，理解并掌握分式方程的定義是解題關(guān)鍵．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根據(jù)分式方程的定義判斷即可．【詳解】解：A.是分式方程，不符合題意；B.不是分式方程，符合題意；C.是分式方程，不符合題意；D.是分式方程，不符合題意．故選：B．3．（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）下列關(guān)于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的定義【分析】本題考查分式方程定義，分母中還有未知數(shù)的等式叫分式方程，根據(jù)分式方程的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟記分式方程的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程；故選：A．題型十五解分式方程例題：（23-24八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)分式方程無解【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程【分析】本題主要考查了解分式方程，掌握解一元一次方程的基本步驟成為解題的關(guān)鍵．（1）先將分式方程化成整式方程求解，然后再檢驗(yàn)即可；（2）先將分式方程化成整式方程求解，然后再檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解．（2）解：，去分母得：，移項(xiàng)合并得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是增根，分式方程無解．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽·階段練習(xí)）解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵，注意驗(yàn)根．（1）根據(jù)解分式方程的步驟先去分母，再解整式方程求解即可；（2）根據(jù)解分式方程的步驟先去分母，再解整式方程求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以是原方程的解；（2）解：，，，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以是原方程的解；2．（23-24八年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解分式方程，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的是解此題的關(guān)鍵，注意要驗(yàn)根．【詳解】（1）解：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解，（2）解：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解．3．（24-25八年級(jí)上·全國·期末）解分式方程：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)無解【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法，注意最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)．（1）先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（3）先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：，去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，檢驗(yàn)：把代入得：，∴是原方程的解；（2）解：，去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，檢驗(yàn)：把代入得：，∴是原方程的解；（3）解：，去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，檢驗(yàn)：把代入得：，∴是原方程的增根，∴原方程無解．題型十六解分式方程錯(cuò)解復(fù)原問題例題：（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）下面是小云同學(xué)解分式方程的部分過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成以下各題：解分式方程：解：……第一步……第二步………第三步……(1)第二步的解題依據(jù)是______；A．分式的性質(zhì)

B．等式的性質(zhì)

C．單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則(2)以上解方程步驟中，第______步開始錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤原因是______；(3)請(qǐng)寫出該分式方程的正確解答過程．【答案】(1)B(2)三；去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前面是負(fù)號(hào)的，去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)沒有變號(hào)(3)見解析【分析】本題主要考查了解分式方程．解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的基本步驟，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)去分母的基本原理進(jìn)行解答即可；（2）查找方程出錯(cuò)的步驟，分析其原因即可；（3）按照正確的解法求出方程的解，寫出正確的結(jié)果即可．【詳解】（1）解：第二步的解題依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，故B正確；故選：B．（2）解：以上解方程步驟中，第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是：括號(hào)前面是負(fù)號(hào)的，去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)沒有變號(hào)．（3）解：，整理得：，去分母得：去括號(hào)得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，檢驗(yàn)：把代入得：，∴是原方程的解．鞏固訓(xùn)練1．（2024·寧夏銀川·二模）下面是某同學(xué)解分式方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：解：去分母，得

…………第一步去括號(hào)，得

…………第二步移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得

…………第三步解得，…………第四步則原分式方程的解為…………第五步(1)第一步的依據(jù)是________________________________；(2)上面的解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是__________．【答案】(1)等式的基本性質(zhì)(2)五，沒有對(duì)分式方程的根進(jìn)行檢驗(yàn)【分析】本題主要考查了解分式方程：（1）根據(jù)題意可知，第一步的依據(jù)是等式的性質(zhì)；（2）觀察可知，分式方程的解為原方程的增根，即在第五步錯(cuò)誤，沒有對(duì)分式方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)．【詳解】（1）解：觀察解題過程可知，第一步的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，故答案為：等式的基本性質(zhì)；（2）解：觀察可知，上面的解題過程從第五步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是沒有對(duì)分式方程的根進(jìn)行檢驗(yàn)，故答案為：五；沒有對(duì)分式方程的根進(jìn)行檢驗(yàn)．2．（23-24九年級(jí)下·江西宜春·期中）以下是小明同學(xué)解分式方程的過程：解：……第一步，……第二步，……第三步，，……第四步，經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的解．(1)以上解題過程中，第一步變形的依據(jù)是（

）A．不等式的基本性質(zhì)

B．等式的基本性質(zhì)

C．分式的基本性質(zhì)(2)從第＿＿＿＿步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是＿＿＿＿；(3)請(qǐng)求出該方程的正確解．【答案】(1)B(2)一；去分母時(shí)，第二項(xiàng)沒有乘以(3)【分析】（1）在等式兩邊同時(shí)乘以，等式不變，依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，（2）第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，去分母時(shí)，第二項(xiàng)沒有乘以，（3）根據(jù)解分式方程的方法，即可求解，本題考查了，解分式方程，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握解分式方程的方法．【詳解】（1）解：在等式兩邊同時(shí)乘以，等式不變，依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，故答案為：B，（2）解：第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，去分母時(shí)，第二項(xiàng)沒有乘以，故答案為：一；去分母時(shí)，第二項(xiàng)沒有乘以，（3）解：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，故答案為：．3．（2024·廣西南寧·三模）閱讀下面解方程的過程，完成后面的問題：解方程．解：……第一步……第二步……第三步……第四步……第五步檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，所以，是原方程的根．問題一：①以上解題過程中，第一步是依據(jù)進(jìn)行變形的；A．等式的基本性質(zhì)