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中點(diǎn)模型探究所屬:初中數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)怎樣添加輔助線版本:初中教材所有版本適用:八、九年級(jí)中點(diǎn)模型探究初中幾何輔助線系列專題中考考情分析:在全國(guó)各地歷年的中考?jí)狠S題中,與中點(diǎn)有關(guān)的內(nèi)容,幾乎是每年都必考的,而且多以計(jì)算題和證明題的形式出現(xiàn),由于常常要作輔助線,難度也比較大,同學(xué)們普遍感覺(jué)到不知從何處下手。教學(xué)目標(biāo):1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),使學(xué)生理解中點(diǎn)模型的輔助線的添加方法,并且明白為什么要這樣添加輔助線。2.通過(guò)一題多解的方法,激發(fā)出學(xué)生的潛能,讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)。教學(xué)重點(diǎn):中點(diǎn)模型的輔助線的添加方法教學(xué)難點(diǎn):如何尋找中點(diǎn)模型的輔助線的添加方法ABCDABCDEF倍長(zhǎng)中線法倍長(zhǎng)類中線法EABCEDAABBCCDD中位線定理直角三角形斜邊中線定理等腰三角形三線合一定理例1.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,CE是AB邊上的中線,延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB,連接CD.求證:CD=2CE思路分析:本題的已知條件中出現(xiàn)了中線、中點(diǎn)等,我們應(yīng)該想到什么呢?方法1.1:倍長(zhǎng)中線法1,F(xiàn)CD=2CECD=?2CE=?2CE=CFCD=CF△BCD≌△BCF例1.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,CE是AB邊上的中線,延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB,連接CD.求證:CD=2CE方法1.2:倍長(zhǎng)中線法2,F(xiàn)△BCD≌△AFC例1.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,CE是AB邊上的中線,延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB,連接CD.求證:CD=2CE方法2.1:要證明CD=2CE,思考一下,怎樣才出現(xiàn)線段CE的兩倍呢?還可以考慮構(gòu)造出三角形的中位線。FCD=2CEAF=2CECD=AF△BCD≌△CFA例1.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,CE是AB邊上的中線,延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB,連接CD.求證:CD=2CEF方法2.2:本題還可以讓點(diǎn)C作為中點(diǎn),構(gòu)造三角形的中位線?!鰾CD≌△CBF例1.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,CE是AB邊上的中線,延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB,連接CD.求證:CD=2CE
F方法(1):找出AC的中點(diǎn)F,連接BFCD=2CE
CE=BF△BCE≌△CBF例1.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,CE是AB邊上的中線,延長(zhǎng)AB到D,使BD=AB,連接CD.求證:CD=2CE
F方法(2):直接找出CD的中點(diǎn)F,連接BF△BCF≌△BCE練習(xí):已知在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),連接BE并延長(zhǎng)交AC于F,AF=EF,求證:AC=BEAEBDFCAEBDFCGAEBDFCG例2.如圖,在△ABC中,BE,CF分別為邊AC,AB上的高,D為BC的中點(diǎn),DM⊥EF于M求證:FM=EM分析:考慮到BE,CF分別為邊AC,AB上的高,會(huì)有直角三角形出現(xiàn),而D為BC的中點(diǎn),意味什么呢?可以構(gòu)造出直角三角形斜邊上的中線。MAABCDFEFM=EMFD=EDDM⊥EF
練習(xí)2.已知:△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°.如圖,連接DE,設(shè)M為DE的中點(diǎn).證明:MB=MCADBMEC練習(xí)3.已知,如圖AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,M是BE中點(diǎn),求證:AM⊥DC小結(jié):當(dāng)已知三角形的中點(diǎn)(線)時(shí)可以考慮:2.利用三角形的中位線定理構(gòu)造中位線1.倍長(zhǎng)中線法或者類中線法(與中點(diǎn)有關(guān)的線段)構(gòu)造全等三角形3.直角三角形中,可以考慮斜邊的中線定理構(gòu)造斜邊的中線4.等腰三角形中,可以考慮三線合一定理構(gòu)造底邊上的中線5.其他類:如直角三角形中,30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。問(wèn)題1已知:如圖1,三角形ABC中,點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),AE⊥BC,BF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn),AE,BF交于點(diǎn)M,連接DE,DF.若DE=kDF,則k的值為_____.拓展:問(wèn)題2已知:如圖2,三角形ABC中,CB=CA,點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部,且∠MAC=∠MBC,過(guò)點(diǎn)M分別作ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F(xiàn),連接D
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