2014年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷（含解析版）

第1頁（共1頁）2014年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）﹣的倒數(shù)是（）A．﹣4 B．4 C． D．﹣2．（3分）下列計算正確的是（）A．2a3+a2=3a5 B．（3a）2=6a2 C．（a+b）2=a2+b2 D．2a2?a3=2a53．（3分）如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點O，∠B=30°，∠D=40°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．90°5．（3分）如圖，在?ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=30°，則此平行四邊形的面積是（）A．6 B．12 C．18 D．246．（3分）某中學(xué)排球隊12名隊員的年齡情況如下表：年齡（歲）12131415人數(shù)（人）1254則這個隊員年齡的眾數(shù)是（）A．12歲 B．13歲 C．14歲 D．15歲7．（3分）底面半徑為4，高為3的圓錐的側(cè)面積是（）A．12π B．15π C．20π D．36π8．（3分）若實數(shù)a，b滿足ab＜0，且a＜b，則函數(shù)y=ax+b的圖象可能是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點F，AB=9，BD=3，則CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如圖，邊長為2的正方形ABCD的頂點A在y軸上，頂點D在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，已知點B的坐標是（，），則k的值為（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）目前發(fā)現(xiàn)一種病毒直徑約是0.0000252米，將0.0000252用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．（3分）因式分解：a3﹣4a=．13．（3分）一個數(shù)的算術(shù)平方根是2，則這個數(shù)是．14．（3分）在一個不透明的盒子中放入標號分別為1，2，…，9的形狀、大小、質(zhì)地完全相同的9個球，充分混合后，從中取出一個球，標號能被3整除的概率是．15．（3分）在△ABC中，∠B=45°，cosA=，則∠C的度數(shù)是．16．（3分）關(guān)于x，y的方程組的解是，則|m+n|的值是．17．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0，從﹣1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，作為方程中b的值，再從剩下的兩個數(shù)中任取一個數(shù)作為方程中c的值，能使該一元二次方程有實數(shù)根的概率是．18．（3分）如圖，已知∠AOB=90°，點A繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A1落在射線OB上，點A繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A2落在射線OB上，點A繞點A2順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A3落在射線OB上，…，連接AA1，AA2，AA3…，依此作法，則∠AAnAn+1等于度．（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）19．（10分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中x=（）﹣1﹣（π﹣1）0+．20．（12分）某中學(xué)對全校1200名學(xué)生進行“校園安全知識”的教育活動，從1200名學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進行測試，成績評定按從高分到低分排列分為A、B、C、D四個等級，繪制了圖①、圖②兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：（1）求本次被抽查的學(xué)生共有多少人？（2）將條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖補充完整；（3）求扇形統(tǒng)計圖中“A”所在扇形圓心角的度數(shù)；（4）估計全?！癉”等級的學(xué)生有多少人？四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）21．（12分）晨光文具店用進貨款1620元購進A品牌的文具盒40個，B品牌的文具盒60個，其中A品牌文具盒的進貨單價比B品牌文具盒的進貨單價多3元．（1）求A、B兩種文具盒的進貨單價？（2）已知A品牌文具盒的售價為23元/個，若使這批文具盒全部售完后利潤不低于500元，B品牌文具盒的銷售單價最少是多少元？22．（12分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延長CA到O，使AO=AC，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作⊙O交BA延長線于點D，連接CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB=4，求圖中陰影部分的面積．五、解答題（滿分12分）23．（12分）某海域有A、B、C三艘船正在捕魚作業(yè)，C船突然出現(xiàn)故障，向A、B兩船發(fā)出緊急求救信號，此時B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏東33°方向，同時又位于B船的北偏東78°方向．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）A船以每小時30海里的速度前去救援，問多長時間能到出事地點．（結(jié)果精確到0.01小時）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）六、解答題（滿分12分）24．（12分）國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟”政策后，低排量的汽車比較暢銷，某汽車經(jīng)銷商購進A，B兩種型號的低排量汽車，其中A型汽車的進貨單價比B型汽車的進貨單價多2萬元花50萬元購進A型汽車的數(shù)量與花40萬元購進B型汽車的數(shù)量相同，銷售中發(fā)現(xiàn)A型汽車的每周銷量yA（臺）與售價x（萬元/臺）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)A=﹣x+20，B型汽車的每周銷量yB（臺）與售價x（萬元/臺）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)B=﹣x+14．（1）求A、B兩種型號的汽車的進貨單價；（2）已知A型汽車的售價比B型汽車的售價高2萬元/臺，設(shè)B型汽車售價為t萬元/臺．每周銷售這兩種車的總利潤為W萬元，求W與t的函數(shù)關(guān)系式，A、B兩種型號的汽車售價各為多少時，每周銷售這兩種車的總利潤最大？最大總利潤是多少萬元？七、解答題（滿分12分）25．（12分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動，△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點，連接AF．（1）如圖①，當(dāng)∠BAE=90°時，求證：CD=2AF；（2）當(dāng)∠BAE≠90°時，（1）的結(jié)論是否成立？請結(jié)合圖②說明理由．八、解答題（滿分14分）26．（14分）如圖，直線y=x﹣4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C，連接BC．（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；（2）點M在拋物線上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO=45°時，求點M的坐標；（3）點P從點C出發(fā)，沿線段CA由C向A運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿線段BC由B向C運動，P、Q的運動速度都是每秒1個單位長度，當(dāng)Q點到達C點時，P、Q同時停止運動，試問在坐標平面內(nèi)是否存在點D，使P、Q運動過程中的某一時刻，以C、D、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，說明理由．

2014年遼寧省本溪市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）﹣的倒數(shù)是（）A．﹣4 B．4 C． D．﹣【考點】17：倒數(shù)．【專題】1：常規(guī)題型．【分析】根據(jù)負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，結(jié)合倒數(shù)的定義直接求解．【解答】解：﹣的倒數(shù)是﹣4，故選：A．【點評】本題考查了倒數(shù)的定義，理解定義是關(guān)鍵．2．（3分）下列計算正確的是（）A．2a3+a2=3a5 B．（3a）2=6a2 C．（a+b）2=a2+b2 D．2a2?a3=2a5【考點】35：合并同類項；47：冪的乘方與積的乘方；49：單項式乘單項式；4C：完全平方公式．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)合并同類項法則、積的乘方、完全平方公式、單項式乘單項式判斷即可．【解答】解：A、2a3與a2不是同類項不能合并，故A選項錯誤；B、（3a）2=9a2，故B選項錯誤；C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故C選項錯誤；D、2a2?a3=2a5，故D選項正確，故選：D．【點評】本題考查了合并同類項法則、積的乘方、完全平方公式、單項式乘單項式，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵．3．（3分）如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【考點】U2：簡單組合體的三視圖．【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【解答】解：從上面看是一個有直徑的圓環(huán)，故選：D．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．4．（3分）如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點O，∠B=30°，∠D=40°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．90°【考點】JA：平行線的性質(zhì)；K8：三角形的外角性質(zhì)．【專題】11：計算題．【分析】利用平行線的性質(zhì)和三角形外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)就可求出．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠D=30°，再由三角形的外角的性質(zhì)得，∠AOC=∠A+∠B=70°．故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)，兩直線平行時，應(yīng)該想到它們的性質(zhì)，由兩直線平行的關(guān)系得到角之間的數(shù)量關(guān)系，從而達到解決問題的目的．5．（3分）如圖，在?ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=30°，則此平行四邊形的面積是（）A．6 B．12 C．18 D．24【考點】KO：含30度角的直角三角形；L5：平行四邊形的性質(zhì)．【專題】121：幾何圖形問題．【分析】過點A作AE⊥BC于E，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出AE的長，利用平行四邊形的面積根據(jù)即可求出其面積．【解答】解：過點A作AE⊥BC于E，∵直角△ABE中，∠B=30°，∴AE=AB=×4=2∴平行四邊形ABCD面積=BC?AE=6×2=12，故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的面積公式的運用和30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．6．（3分）某中學(xué)排球隊12名隊員的年齡情況如下表：年齡（歲）12131415人數(shù)（人）1254則這個隊員年齡的眾數(shù)是（）A．12歲 B．13歲 C．14歲 D．15歲【考點】W5：眾數(shù)．【專題】27：圖表型．【分析】根據(jù)眾數(shù)定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫眾數(shù)，可知15出現(xiàn)的次數(shù)最多．【解答】解：數(shù)據(jù)14出現(xiàn)了5次，出現(xiàn)次數(shù)最多，故14為眾數(shù)，故選：C．【點評】此題主要考查了眾數(shù)，關(guān)鍵是把握眾數(shù)定義．7．（3分）底面半徑為4，高為3的圓錐的側(cè)面積是（）A．12π B．15π C．20π D．36π【考點】MP：圓錐的計算．【專題】11：計算題．【分析】首先根據(jù)底面半徑和高利用勾股定理求得母線長，然后直接利用圓錐的側(cè)面積公式代入求出即可．【解答】解：∵圓錐的底面半徑為4，高為3，∴母線長為5，∴圓錐的側(cè)面積為：πrl=π×4×5=20π，故選：C．【點評】本題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．8．（3分）若實數(shù)a，b滿足ab＜0，且a＜b，則函數(shù)y=ax+b的圖象可能是（）A． B． C． D．【考點】F7：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】31：數(shù)形結(jié)合．【分析】利用ab＜0，且a＜b得到a＜0，b＞0，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進行判斷．【解答】解：∵ab＜0，且a＜b，∴a＜0，b＞0，∴函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第二、四象限，且與y軸的交點在x軸上方．故選：A．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）是一條直線，當(dāng)k＞0，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減??；圖象與y軸的交點坐標為（0，b）．9．（3分）如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，D在BC上，DE與AC相交于點F，AB=9，BD=3，則CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】KK：等邊三角形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】121：幾何圖形問題．【分析】通過相似三角形△ABD～△CDF的對應(yīng)邊成比例進行解答．【解答】解：如圖，∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∴∠BAD+∠ADB=120°，∠ADB+∠FDC=120°∴∠BAD=∠FDC又∵∠B=∠C=60°，∴∴△ABD～△CDF，∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．此題利用了“兩角法”證得兩個三角形相似．10．（3分）如圖，邊長為2的正方形ABCD的頂點A在y軸上，頂點D在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，已知點B的坐標是（，），則k的值為（）A．4 B．6 C．8 D．10【考點】G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)．【專題】31：數(shù)形結(jié)合．【分析】過點B作BE⊥y軸于E，過點D作DF⊥y軸于F，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAD=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，然后利用“角角邊”證明△ABE和△DAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=BE，DF=AE，再求出OF，然后寫出點D的坐標，再把點D的坐標代入反比例函數(shù)解析式計算即可求出k．【解答】解：如圖，過點B作BE⊥y軸于E，過點D作DF⊥y軸于F，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°，∵∠DAF+∠ADF=90°，∴∠BAE=∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∵正方形的邊長為2，B（，），∴BE=，AE==，∴OF=OE+AE+AF=++=5，∴點D的坐標為（，5），∵頂點D在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，∴k=xy=×5=8．故選：C．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出點D的坐標是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）目前發(fā)現(xiàn)一種病毒直徑約是0.0000252米，將0.0000252用科學(xué)記數(shù)法表示為2.52×10﹣5．【考點】1J：科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)．【專題】1：常規(guī)題型．【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．由此可得，此題的a=2.52，10的指數(shù)為﹣5．【解答】解：0.0000252=2.52×10﹣5米．故答案為：2.52×10﹣5．【點評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．12．（3分）因式分解：a3﹣4a=a（a+2）（a﹣2）．【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用．【專題】44：因式分解．【分析】首先提取公因式a，進而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：a3﹣4a=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．故答案為：a（a+2）（a﹣2）．【點評】此題主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．13．（3分）一個數(shù)的算術(shù)平方根是2，則這個數(shù)是4．【考點】22：算術(shù)平方根．【專題】11：計算題．【分析】利用算術(shù)平方根的定義計算即可得到結(jié)果．【解答】解：4的算術(shù)平方根為2，故答案為：4【點評】此題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．14．（3分）在一個不透明的盒子中放入標號分別為1，2，…，9的形狀、大小、質(zhì)地完全相同的9個球，充分混合后，從中取出一個球，標號能被3整除的概率是．【考點】X4：概率公式．【專題】1：常規(guī)題型．【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【解答】解：根據(jù)題意可知，共有9個球，能被3整除的有3個，故標號能被3整除的概率為=，故答案為：．【點評】本題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．15．（3分）在△ABC中，∠B=45°，cosA=，則∠C的度數(shù)是75°．【考點】K7：三角形內(nèi)角和定理；T5：特殊角的三角函數(shù)值．【專題】11：計算題．【分析】由條件根據(jù)∠A的余弦值求得∠A的值，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求∠C即可．【解答】解：∵在△ABC中，cosA=，∴∠A=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．【點評】本題主要考查特殊角的余弦值以及三角形的內(nèi)角和定理，屬基礎(chǔ)題．16．（3分）關(guān)于x，y的方程組的解是，則|m+n|的值是3．【考點】97：二元一次方程組的解．【專題】11：計算題．【分析】將x與y的值代入方程組計算求出m與n的值，即可確定出所求式子的值．【解答】解：將x=1，y=3代入方程組得：，解得：m=﹣1，n=﹣2，則|m+n|=|﹣1﹣2|=|﹣3|=3．故答案為：3【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．17．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0，從﹣1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，作為方程中b的值，再從剩下的兩個數(shù)中任取一個數(shù)作為方程中c的值，能使該一元二次方程有實數(shù)根的概率是．【考點】AA：根的判別式；X6：列表法與樹狀圖法．【專題】11：計算題．【分析】先利用樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)判別式的意義得到當(dāng)b=2，c=﹣1；b=3，c=﹣1；b=3，c=2時，該一元二次方程有實數(shù)根，然后根據(jù)概率公式計算．【解答】解：畫樹狀圖為：，共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，因為b2﹣4c≥0，所以能使該一元二次方程有實數(shù)根占3種，b=2，c=﹣1；b=3，c=﹣1；b=3，c=2，所以能使該一元二次方程有實數(shù)根的概率==．故答案為：．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．也考查了根的判別式．18．（3分）如圖，已知∠AOB=90°，點A繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A1落在射線OB上，點A繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A2落在射線OB上，點A繞點A2順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A3落在射線OB上，…，連接AA1，AA2，AA3…，依此作法，則∠AAnAn+1等于（180﹣）度．（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）【考點】KH：等腰三角形的性質(zhì)；R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】2A：規(guī)律型．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA=OA1，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AA1O=，同理得到A1A=A1A2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到∠AA2A1=∠AA1O=，同樣得到∠AA3A2=，于是可推廣得到∠AAnAn﹣1=，然后利用鄰補角的定義得到∠AAnAn+1=180°﹣．【解答】解：∵點A繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A1落在射線OB上，∴OA=OA1，∴∠AA1O=，∵點A繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A2落在射線OB上，∴A1A=A1A2，∴∠AA2A1=∠AA1O=，∵點A繞點A2順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點A3落在射線OB上，∴A2A=A2A3，∴∠AA3A2=∠AA2A1=，∴∠AAnAn﹣1=，∴∠AAnAn+1=180°﹣．故答案為：180﹣．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．三、解答題（第19題10分，第20題12分，共22分）19．（10分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中x=（）﹣1﹣（π﹣1）0+．【考點】6D：分式的化簡求值；6E：零指數(shù)冪；6F：負整數(shù)指數(shù)冪．【專題】11：計算題．【分析】先計算括號內(nèi)的分式的減法，把分式除法轉(zhuǎn)化為乘法運算進行化簡．最后代入求值．【解答】解：原式=[﹣]÷，=×，=．x=（）﹣1﹣（π﹣1）0+，=2﹣1+=1+則原式==+1．【點評】本題考查了分式的化簡求值，零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．20．（12分）某中學(xué)對全校1200名學(xué)生進行“校園安全知識”的教育活動，從1200名學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進行測試，成績評定按從高分到低分排列分為A、B、C、D四個等級，繪制了圖①、圖②兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：（1）求本次被抽查的學(xué)生共有多少人？（2）將條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖補充完整；（3）求扇形統(tǒng)計圖中“A”所在扇形圓心角的度數(shù)；（4）估計全?！癉”等級的學(xué)生有多少人？【考點】V5：用樣本估計總體；VB：扇形統(tǒng)計圖；VC：條形統(tǒng)計圖．【專題】27：圖表型．【分析】（1）根據(jù)A等級有12人，占20%，即可求得抽查的總?cè)藬?shù)；（2）根據(jù)百分比的定義求得B、D所占的百分比，以及C、D類的人數(shù)，即可解答；（3）利用360°乘以對應(yīng)的百分比即可求解；（4）利用總?cè)藬?shù)1200乘以對應(yīng)的百分比．【解答】解：（1）12÷20%=60（人）；（2）B所占的百分比是：×100%=40%，D所占的百分比是：1﹣20%﹣40%﹣30%=10%．C的個數(shù)是：60×30%=18，D的個數(shù)是：60×10%=6．（3）360°×20%=72°；（4）1200×10%=120（人）．答：估計全校“D”等級的學(xué)生有120人．【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）21．（12分）晨光文具店用進貨款1620元購進A品牌的文具盒40個，B品牌的文具盒60個，其中A品牌文具盒的進貨單價比B品牌文具盒的進貨單價多3元．（1）求A、B兩種文具盒的進貨單價？（2）已知A品牌文具盒的售價為23元/個，若使這批文具盒全部售完后利潤不低于500元，B品牌文具盒的銷售單價最少是多少元？【考點】8A：一元一次方程的應(yīng)用；C9：一元一次不等式的應(yīng)用．【專題】124：銷售問題．【分析】（1）設(shè)A品牌文具盒的進價為x元/個，根據(jù)晨光文具店用進貨款1620元，可得出方程，解出即可；（2）設(shè)B品牌文具盒的銷售單價為y元，根據(jù)全部售完后利潤不低于500元，可得出不等式，解出即可．【解答】解：（1）設(shè)A品牌文具盒的進價為x元/個，依題意得：40x+60（x﹣3）=1620，解得：x=18，x﹣3=15．答：A品牌文具盒的進價為18元/個，B品牌文具盒的進價為15元/個．（2）設(shè)B品牌文具盒的銷售單價為y元，依題意得：（23﹣18）×40+60（y﹣15）≥500，解得：y≥20．答：B品牌文具盒的銷售單價最少為20元．【點評】本題考查了一元一次方程及一元一次不等式的知識，解答本題的關(guān)鍵是仔細審題，找到不等關(guān)系及等量關(guān)系，難度一般．22．（12分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延長CA到O，使AO=AC，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作⊙O交BA延長線于點D，連接CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB=4，求圖中陰影部分的面積．【考點】KM：等邊三角形的判定與性質(zhì)；KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理；MD：切線的判定；MO：扇形面積的計算．【專題】11：計算題；14：證明題．【分析】（1）連接OD，求出∠OAD=60°，得出等邊三角形OAD，求出AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，求出∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，求出∠ODC=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；（2）求出OD，根據(jù)勾股定理求出CD長，分別求出三角形ODC和扇形AOD的面積，相減即可．【解答】（1）證明：連接OD，∵∠BCA=90°，∠B=30°，∴∠OAD=∠BAC=60°，∵OD=OA，∴△OAD是等邊三角形，∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，∴∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°，∴∠ODC=60°+30°=90°，即OD⊥DC，∵OD為半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∠B=30°，∴OD=OA=AC=AB=2，由勾股定理得：CD===2，∴S陰影=S△ODC﹣S扇形AOD=×2×2﹣=2﹣π．【點評】本題考查了扇形的面積，切線的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，綜合性比較強，有一定的難度．五、解答題（滿分12分）23．（12分）某海域有A、B、C三艘船正在捕魚作業(yè)，C船突然出現(xiàn)故障，向A、B兩船發(fā)出緊急求救信號，此時B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏東33°方向，同時又位于B船的北偏東78°方向．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）A船以每小時30海里的速度前去救援，問多長時間能到出事地點．（結(jié)果精確到0.01小時）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【考點】TB：解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【專題】12：應(yīng)用題．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可得到∠DBA的度數(shù)，則∠ABC即可求得；（2）作AH⊥BC于點H，分別在直角△ABH和直角△ACH中，利用三角函數(shù)求得BH和CH的長，則BC即可求得，進而求得時間．【解答】解：（1）∵BD∥AE，∴∠DBA+∠BAE=180°，∴∠DBA=180°﹣72°=108°，∴∠ABC=108°﹣78°=30°；（2）作AH⊥BC，垂足為H，∴∠C=180°﹣72°﹣33°﹣30°=45°，∵∠ABC=30°，∴AH=AB=12，∵sinC=，∴AC===12．則A到出事地點的時間是：≈≈0.57小時．答：約0.57小時能到達出事地點．【點評】本題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．六、解答題（滿分12分）24．（12分）國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟”政策后，低排量的汽車比較暢銷，某汽車經(jīng)銷商購進A，B兩種型號的低排量汽車，其中A型汽車的進貨單價比B型汽車的進貨單價多2萬元花50萬元購進A型汽車的數(shù)量與花40萬元購進B型汽車的數(shù)量相同，銷售中發(fā)現(xiàn)A型汽車的每周銷量yA（臺）與售價x（萬元/臺）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)A=﹣x+20，B型汽車的每周銷量yB（臺）與售價x（萬元/臺）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)B=﹣x+14．（1）求A、B兩種型號的汽車的進貨單價；（2）已知A型汽車的售價比B型汽車的售價高2萬元/臺，設(shè)B型汽車售價為t萬元/臺．每周銷售這兩種車的總利潤為W萬元，求W與t的函數(shù)關(guān)系式，A、B兩種型號的汽車售價各為多少時，每周銷售這兩種車的總利潤最大？最大總利潤是多少萬元？【考點】B7：分式方程的應(yīng)用；HE：二次函數(shù)的應(yīng)用．【專題】124：銷售問題．【分析】（1）利用花50萬元購進A型汽車的數(shù)量與花40萬元購進B型汽車的數(shù)量相等，進而得出等式求出即可；（2）分別表示出兩種汽車的利潤進而得出函數(shù)關(guān)系式求出最值即可．【解答】解：（1）設(shè)A種型號的汽車的進貨單價為m萬元，依題意得：=，解得：m=10，檢驗：m=10時，m≠0，m﹣2≠0，故m=10是原分式方程的解，故m﹣2=8．答：A種型號的汽車的進貨單價為10萬元，B種型號的汽車的進貨單價為8萬元；（2）根據(jù)題意得出：W=（t+2﹣10）[﹣（t+2）+20]+（t﹣8）（﹣t+14）=﹣2t2+48t﹣256，=﹣2（t﹣12）2+32，∵a=﹣2＜0，拋物線開口向下，∴當(dāng)t=12時，W有最大值為32，12+2=14，答：A種型號的汽車售價為14萬元/臺，B種型號的汽車售價為12萬元/臺時，每周銷售這兩種車的總利潤最大，最大總利潤是32萬元．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值的求法，得出W與x的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．七、解答題（滿分12分）25．（12分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動，△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD，F(xiàn)為BE的中點，連接AF．（1）如圖①，當(dāng)∠BAE=90°時，求證：CD=2AF；（2）當(dāng)∠BAE≠90°時，（1）的結(jié)論是否成立？請結(jié)合圖②說明理由．【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)；KX：三角形中位線定理；R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】152：幾何綜合題．【分析】（1）因為AF是直角三角形ABE的中線，所以BE=2AF，然后通過△ABE≌△ACD即可求得．（2）延長EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，證出△ABH≌△ACD從而證得BH=CD，然后根據(jù)三角形的中位線等于底邊的一半，求得BH=2AF，即可求得．【解答】（1）證明：如圖①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，在△ABE與△ACD中∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE，∵在Rt△ABE中，F(xiàn)為BE的中點，∴BE=2AF，∴CD=2AF．（2）成立，證明：如圖②，延長EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，∵∠EAB+∠BAH=180°，∴∠DAC=∠BAH，在△ABH與△ACD中，∴△ABH≌△ACD（SAS）∴BH=DC，∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．【點評】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)等．作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵八、解答題（滿分14分）26．（14分）如圖，直線y=x﹣4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C，連接BC．（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；（2）點M在拋物線上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO=45°時，求點M的坐標；（3）點P從點C出發(fā)，沿線段CA由C向A運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿線段BC由B向C運動，P、Q的運動速度都是每秒1個單位長度，當(dāng)Q點到達C點時，P、Q同時停止運動，試問在坐標平面內(nèi)是否存在點D，使P、Q運動過程中的某一時刻，以C、D、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，說明理由．【考點】HF：二次函數(shù)綜合題；L8：菱形的性質(zhì)；T7：解直角三角形．【專題】16：壓軸題．【分析