新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊-第27章-相似-課件

新人教版九年級數(shù)學(xué)下冊第二十七章

相似27.1圖形的相似27.2.1相似三角形的判定27.2.2相似三角形的性質(zhì)27.2.3相似三角形應(yīng)用27.3位似27.1圖形的相似教學(xué)目標(biāo)

感知相似圖形在現(xiàn)實中的應(yīng)用。認(rèn)識形狀相同的圖形。了解相似圖形的基本內(nèi)涵。知識與能力教學(xué)重難點

認(rèn)識形狀相同的圖形。對相似圖形概念的理解。抓住形狀相同的圖形的特征，認(rèn)識其內(nèi)涵。CAB全等圖形

形狀、大小完全相同的圖形是全等圖形?；仡櫯f知A'C'B'

多啦A夢的2寸照片和4寸照片，他的形狀改變了嗎？大小呢？新課導(dǎo)入

符合國家標(biāo)準(zhǔn)的兩面共青團團旗的形狀相同嗎？大小呢？四階魔方和三階魔方形狀相同嗎？大小呢？EBDCADCEBABDCAABCDABCBCA你從上述幾組圖片發(fā)現(xiàn)了什么？它們的大小不一定相等，形狀相同.

兩個圖形的形狀________，但圖形的大小位置__________，這樣的圖形叫做相似圖形。完全相同不一定相同知識要點圖形的放大圖形的放大圖形的縮小兩個圖形相似相似圖形的關(guān)系兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做是由另一個圖形_________或_________得到的，實際的建筑物和它的模型是___________的，用復(fù)印機把一個圖形放大或縮小后所得的圖形，也是與原來的圖_________的.相似相似放大縮小練一練1、如圖，從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似嗎？答：相似下圖是人們從平面鏡及哈哈鏡里看懂的不同鏡像，它們相似嗎？總結(jié)：第一個圖的兩個圖形______,第二個圖與第三個圖的鏡子中的圖像已變形，所以_________.相似不相似練一練在下列圖形中，找出相似圖形。小練習(xí)

你認(rèn)為下列屬性選項中哪個才是相似圖形的本質(zhì)屬性？

A、大小不同

B、大小相同

C、形狀相同

D、形狀不同答案：（C）？小練習(xí)1、下列說法正確的是（）A．小明上幼兒園時的照片和初中畢業(yè)時的照片相似.B．商店新買來的一副三角板是相似的.C．所有的課本都是相似的.D．國旗的五角星都是相似的.D小練習(xí)相似的圖形具有傳遞性；圖形A圖形B圖形C如果圖形Ａ與圖形Ｂ相似，圖形Ｂ與圖形Ｃ相似，那么圖形Ａ與圖形Ｃ相似。多邊形

由在同一平面且不在同一直線上的多條線段首尾順次連結(jié)且不相交所組成的圖形叫做多邊形。相似多邊形這兩個圖案中，有沒有相似的圖形？

這個零件中，有沒有相似的圖形？

根據(jù)相似多邊形的特征，給相似多邊形下定義。ABCA1B1C1正三角形縮小對應(yīng)角有什么關(guān)系？對應(yīng)邊有什么關(guān)系？∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1AB:A1B1=BC:B1C1=CD:C1D1AB=BC=AC，A1B1=B1C1=A1C160°60°

對應(yīng)角相等

對應(yīng)邊成比例正六邊形放大對應(yīng)角有什么關(guān)系？150°150°∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1

對應(yīng)角相等ABCA1B1C1FEDF1E1D1∠D=∠D1，∠E=∠E1，∠F=∠F1正六邊形放大對應(yīng)邊有什么關(guān)系？ABCA1B1C1FEDF1E1D1AB=BC=CD=DE=EF=FA，A1B1=B1C1=C1D1=D1E1=E1F1=F1A1

對應(yīng)邊成比例A1B1ABB1C1BC=C1D1CDD1E1DE=E1F1EFF1A1FA===ABCDA1B1C1D1

請分別量出這兩個不規(guī)則四邊形各內(nèi)角的度數(shù)，求出對應(yīng)邊的長度。對應(yīng)角有什么關(guān)系？對應(yīng)邊有什么關(guān)系？不規(guī)則四邊形縮小

相似多邊形知識要點（對應(yīng)邊的比相等）相似比相似多邊形對應(yīng)邊的比。（k>0）

若相似比k=1，相似圖形有什么關(guān)系？對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。全等是一種特殊的相似。當(dāng)相似比k=1時，

相似圖形即是全等圖形。ABCFEDA1B1C1F1E1D1

六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1的相似比為k1=2:1，對應(yīng)邊AB：A1B1=2:1。A1B1C1F1E1D1ABCFED

六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1的相似比為k2=1:2，對應(yīng)邊AB：A1B1=1:2。相似比與敘述的順序有關(guān)。相似多邊形

各對應(yīng)角相等、各對應(yīng)邊成比例的多邊形叫做相似多邊形.ABCDEFA1B1C1D1E1F1

對應(yīng)角相等。對應(yīng)邊成比例。兩個多邊形相似的條件相似六邊形相似多邊形的對應(yīng)高相似多邊形的對應(yīng)角平分線相似多邊形的對應(yīng)中線相似多邊形的對應(yīng)對角線ABCA1B1C1相似多邊形的對應(yīng)三角形相似多邊形的性質(zhì)

相似多邊形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)周長的比都等于相似比。相似多邊形對應(yīng)對角線的比等于相似比。相似多邊形對應(yīng)三角形相似，且相似比等于相似多邊形的相似比。相似多邊形面積的比等于相似比的平方。相似多邊形對應(yīng)三角形面積的比等于相似多邊形的相似比的平方。題型1判斷兩個多邊形是否相似3正方形344菱形解:∵正方形，菱形的四條邊都相等.∴它們的對應(yīng)邊成比例，k=3:4.∵正方形的四個內(nèi)角均為直角，而菱形的內(nèi)角有鈍角有銳角.∴它們的對應(yīng)角不相等.∴這一組圖形不相似.例題3正方形368長方形解：∵正方形和矩形的四個內(nèi)角都是直角.∴它們的對應(yīng)角相等.∵對應(yīng)邊3:6≠3:8.∴它們的對應(yīng)邊不成比例.∴這一組圖形不相似.例題ABCDEFGH解:∵矩形的每個內(nèi)角都等于90o.∴∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°∴它們的對應(yīng)角相等.∵EH:AD=300:(300+2×7.5)=20/21.EF:AB=150:(150+2×7.5)=10/11.∴EH:AD≠EF:AB.∴它們的對應(yīng)邊不成比例.∴矩形ABCD和矩形EFGH不相似.

一塊長3m，寬1.5m的矩形黑板，鑲其外圍的木質(zhì)邊寬7.5cm。邊框內(nèi)外邊緣所組成的矩形相似嗎?為什么?例題題型2求相似多邊形的對應(yīng)角或?qū)?yīng)邊

五邊形ABCDE相似于五邊形FGHIJ，且AB=2cm，CD=3cm，DE=2.2cm，GH=6cm，HI=5cm，F(xiàn)J=4cm，∠A=120°，∠H=90°

求：（1）相似比等于多少?

（2）FG，IJ，BC，AE，∠F，∠CABCDEFGHIJ5例題解:（1）相似比=CD:HI=3:5

（2）∵五邊形ABCDE相似于五邊形FGHIJ∴∠F=∠A=120o,∠C=∠H=90o,∴AB:FG=BC:GH=CD:HI=DE:IJ=EA:JF

即2:FG=BC:6=3/5=2.2:IJ=AE:4

解得FG=10/3cm,BC=18/5cm,IJ=11/3cm,AE=12/5cmABCDEFGHIJ232.2654120°你能找出其中的相似多邊形嗎？相似正五邊形相似正六邊形相似正八邊形相似正十二邊形下列圖形中是____與_____相似的.(1)(2)(3)(4)選一選(1)(4)解:

①相似

②不相似

③不相似

④相似

⑤不相似

⑥不相似

請把下列各組圖形是否相似的結(jié)論寫在下面的括號里．

試一試課堂小結(jié)1.相似圖形：形狀相同的圖形。2.相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。相似多邊形對應(yīng)邊的比。3.相似比：隨堂練習(xí)1.判斷：（1）任意兩個矩形都是相似圖形（）（2）任意兩個圓形是相似圖形（）（3）對應(yīng)角相等的兩個四邊形是相似多邊形（）（4）兩個正五邊形是相似多邊形（） （5）兩個全等三角形是相似多邊形（）（6）兩菱形是相似多邊形（）（7）兩個相似多邊形，對應(yīng)邊成比例（）√√√×√××2.五邊形ABCDE相似于五邊形A′B′C′D′E′，它們的相似比為1:3，（1）若∠D＝135°，則∠D′=______。（2）若A′B′=15cm，則AB=______。135°53.一個多邊形的邊長分別是2、3、4、5、6，另一個和它相似的多邊形的最短邊長為6，則這個多邊形的最長邊為______。18AB:A'B'=1:3---->AB:15=1:33AB=15---->AB=52:6=1:36:x=1:3x=184.如圖所示的兩個矩形相似嗎？為什么？如果相似，相似比是多少？GFEH1.51ADCB32解；矩形ABCD相似于矩形EFGH因為它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。相似比為:5、下列說法中，錯誤的是（）（A）兩個全等三角形一定是相似形（B）兩個等腰三角形一定相似（C）兩個等邊三角形一定相似（D）兩個等腰直角三角形一定相似B6、下列各組圖形：①兩個平行四邊形；②兩個圓；③兩個矩形；④兩個等腰三角形；⑤兩個正五邊形；⑥頂角是100°的兩個等腰三角形．其中一定是相似圖形的是________（填序號）．

②,⑤,⑥①不相似，因為沒有指明相等的角或成比例的邊；②相似，兩個圓的形狀相同；③不相似，因為沒有指明邊的情況，雖然其四個角均相等，不符合相似的條件；④不相似，，因為只有一對角相等，不符合相似三角形的判定；⑤相似，因為兩正五邊形有相等的角或成比例的邊⑥相似，因為可以得到相等的角或成比例的邊；7、在比例尺是1:8000000的“中國政區(qū)”地圖上，量得福州與上海之間的距離是7.5cm，那么福州與上海之間的實際距離是多少？解：設(shè)福州與上海之間的的實際距離是Xcm，依題意得：答：福州與上海之間的的實際距離是60千米8、AB兩地的實際距離為2500m，在一張平面圖上的距離是5cm，那么這張平面地圖的比例尺是多少？解：依題意可知，2500m=250000cm

故這張平面地圖的比例尺是答：這張平面地圖的比例尺是.27.2.1相似三角形的判定教學(xué)目標(biāo)

理解相似三角形的判定方法．知識與能力

以問題的形式，創(chuàng)設(shè)一個有利于學(xué)生動手和探究的情境，達(dá)到學(xué)會本節(jié)課所學(xué)的相似三角形的判定方法．過程與方法

培養(yǎng)學(xué)生積極的思考、動手、觀察的能力，使學(xué)生感悟幾何知識在生活中的價值．

情感態(tài)度與價值觀教學(xué)重難點

會應(yīng)用相似三角形的判定方法。怎樣選擇合格的判定方法來判定兩個三角形相似。抓住判定方法的條件，通過已知條件的分析，把握圖形的結(jié)構(gòu)特點。新課導(dǎo)入ABCA1B1C1∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，AB:A1B1=BC:B1C1=CA:C1A1=k當(dāng)時，則△ABC與△A1B1C1相似，記作△ABC∽△A1B1C1。

要把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。注意相似三角形

對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。ABCEDF相似的表示方法符號：∽讀作：相似于

相似比AB:A1B1=BC:B1C1=CA:C1A1=k時，ABCA1B1C1則△ABC與△A1B1C1的相似比為k

.或△A1B1C1與△ABC的相似比為.這兩個風(fēng)箏圖形相似，觀察并思考：BAA1B1C1大膽猜想，那么，若已知AB∥A1B1，能否得出△ABC1∽△A1B1C1AB∥A1B1

除了根據(jù)相似三角形的定義來判斷是否相似，還有其它的方法嗎？

已知：DE//BC，且D是邊AB的中點，DE交AC于E.

猜想：△ADE與△ABC有什么關(guān)系?并證明。ABCDE相似。12三角形的中位線截得的三角形與原三角形相似，相似比?！嗨倪呅蜠BFE是平行四邊形∴DE=BF,DB=EF∴△ADE∽△ABCABCDEF過E作EF//AB交BC于F又∵DE//BC又∵AD=DB∴AD=EF∵∠A=∠3，∠2=∠C∴△ADE≌△EFC∴DE=FC=BF，∴∴∴△ADE與△ABC的對應(yīng)邊成比例23AE=EC注：寫相似時，要把表示對應(yīng)角頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。證明:

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。知識要點平行于三角形一邊的定理ABCDE即：在△ABC中，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABCA型你還能畫出其他圖形嗎？延伸X型（8字型）

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。DEACB即：如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC你能證明嗎？∠EAD=∠CAB∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACBEF//DBED//BCFBDE為平行四邊形ED=FBAECBDF作EF//DB交CB延長線于F△ADE∽△ABC對于上圖的情形，同樣可以證明△ADE∽△ABC，這是判定兩個三角形相似的定理，即是預(yù)備定理。

平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對應(yīng)線段成比例。推論ABCDE即：在△ABC中，如果DE∥BC，那么（上比全，全比上）（上比下，下比上）（下比全，全比下）反過來是否也成立呢？CBADE已知:如圖△ABC中,點D、E分別在AB、AC上，且求證：DE//BCE

證明:

作DE//BC,交AC于E∴AE=AE

因此E與點E

重合即DE

與DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的間接證明引理

如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.當(dāng)一個命題的條件和結(jié)論所指的概念唯一存在時，若直接證明有困難，就不妨改為去證它的逆否命題，然后根據(jù)唯一性的原理斷言命題為真，這種解題方法叫做同一法

用同一法解題一般有三個步驟①先作出一個符合結(jié)論的圖形，然后推證出所作的圖形符合已知條件；②根據(jù)唯一性，證明所作出的圖形與已知的圖形是全等的或重合的；

③從而說明已知圖形符合結(jié)論．ABCDE相似具有傳遞性△ADE∽△ABCMN

如果再作MN∥DE，共有多少對相似三角形？△AMN∽△ADE△AMN∽△ABC共有三對相似三角形。定義判定方法全等三角形相似三角形回顧并思考三角、三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等三角對應(yīng)相等,三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似角邊角ASA角角邊AAS邊邊邊SSS邊角邊SAS斜邊與直角邊HL

判定三角形相似，是不是也有這么多種方法呢？邊邊邊SSS已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求證：有效利用判定定理一去求證。探究1

證明：在線段（或它的延長線）上截取，過點D作，交于點E根據(jù)前面的定理可得.A1B1C1ABCDE∴又A1B1C1ABCDE∴∴∴（SSS）∵∴

如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似。知識要點判定三角形相似的定理之一△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么A1B1C1ABC

三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。邊邊邊SSS√A

B

C

CBA例1：已知:如圖,在△ABC和△A

B

C

中求證:△ABC∽△A’B’C’證明:

在△ABC的邊AB(或延長線)上截取AD=A

B,過點D作DE//BC,交AC于點E.DE△ADE∽△ABC∵AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△ABC∽△A

B

C

例2：如圖,已知D、E、F分別是△ABC三邊BC、CA、AB的中點.求證：△DEF∽△ABCFDEBAC證明:∵線段EF、FD、DE都是△ABC的中位線∴△DEF∽△ABC求證：∠BAD=∠CAE。ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE小練習(xí)已知：解：∵邊角邊SAS探究2已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求證：∠B=∠B1.你能證明嗎？如圖,在△ABC和△A/B/C/中,求證:△ABC∽△A/B/C/A/B/C/ABC證明:在線段A/B/(或它的延長線)上截取A/D=AB,過點D作DE//B/C/,交A/C/于點E,DE則△A/DE∽△A/B/C/∵∵∠A=∠A/,∴△A/DE≌△ABC∴△ABC∽△A/B/C/,∠A=∠A/,

如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似。知識要點判定三角形相似的定理之二兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，兩三角形相似。邊角邊SAS√A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果∠B=∠B1.那么例題講解例1.根據(jù)下列條件,判斷△ABC和△A/B/C/是否相似,并說明理由:∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,∠A/=120°,A/B/=3cm,A/C/=6cm,例2.如圖在△ABC中，D在AC上，已知AD=2cm，AB=4cm，AC=8cm，求證：△ABD∽△ACB.

ABDC∠A=∠A'=120相似證明：∵AD=2cm,AB=4cm,AC=8cm∴AD:AB=2:4=1:2AB:AC=4:8=1:2∴AD:AB=AB:AC∵AD:AB=AB:AC,∠A=∠A∴△ABD∽△ACB1、如圖，AB?AC=AD?AE，且∠1=∠2，求證：△ABC∽△AED．能力提升2、已知：如圖，E為△ABC中線AD上的一點，且求證：△ADC∽△CDE．能力提升

大家一起畫一個三角形，三個角分別為60°、45°、75°，大家畫出的三角形相似嗎?通過測量對應(yīng)邊的長度進行比較。探究3即：如果一個三角形的三個角分別與另一個三角形的三個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形_______。相似一定需要三個角嗎？角邊角ASA角角邊AAS角角AAA1B1C1ABC已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：∠A=∠A1，∠B=∠B1.你能證明嗎？分析:要證兩個三角形相似，目前只有四個途徑。一是三角形相似的定義；二是“平行”定理；三是“三邊”定理；四是“兩邊夾角”定理。ABCA/

C/

B/

已知：在△ABC和△A/B/C/

中,求證:ΔABC∽△A/B/C/

（把小的三角形移動到大的三角形上）。怎樣實現(xiàn)移動呢?為了使用它，就必須創(chuàng)造具備定理的基本圖形的條件。怎樣創(chuàng)造呢？證明：在ΔABC的邊AB、AC上，分別截取AD=A/B/,AE=A/C/，連結(jié)DE。ABCA/

C/

B/

判定方法：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似?？梢院唵握f成：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。DE

∵∠A=∠A/∴ΔADE≌ΔA/B/C/（SAS）∴∠ADE=∠B/，又∵∠B/=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC?！唳/B/C/∽ΔABC求證：△ABC∽△A/B/C/已知：在△ABC和△A/B/C/,中,若∠A=∠A/，∠B=∠B/，----“兩角”定理

如果兩個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。知識要點判定三角形相似的定理之三兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。角角AAA1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么√∠A=∠A1，∠B=∠B1.

如果兩個三角形有一個內(nèi)角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形一定相似嗎？一角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定相似。例1如圖,在△ABC,AB=AC,D是AC邊上一點,BD=BC.求證:BC2=AC

CD分析:

要證明BC2=AC

CD，即證明，只要證明AC、BC和BC、CD為相似三角形的兩組對應(yīng)邊即可。證明:∵△ABC是等腰三角形∴∠A=180-2∠C∵△BCD是等腰三角形∴∠DBC=180-2∠C∴∠DBC=∠A又∵∠C為公共角∴△ABC∽△BDC即BC2=AC

CDBCDA例2、如圖,在△ABC內(nèi)任取一點D,連接AD和BD.點E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB.

求證:△DBE∽△ABC.BACDE分析:容易得出∠ABC=∠DBE只需要再證明即證只要證明△ABD∽△CBE例題已知：DE∥BC，EF∥AB.求證：△ADE∽△EFC.AEFBCD解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知）∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（兩直線平行，同位角相等）∠AED＝∠C（兩直線平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC

（兩個角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似）△ACD∽△CBD∽△ABC小練習(xí)找出圖中所有的相似三角形?！半p垂直”三角形BDAC有三對相似三角形：△ACD∽△CBD△CBD∽△ABC△ACD∽△ABC常用的成比例的線段：常用的相等的角：∠A=∠DCB；∠B=∠ACDBDACAC:AB=CD:BCAC:AD=AB:ACBC:BD=AB:BCCD:AD=DB:CD

如圖,圓內(nèi)接△ABC角平分線CD延長后交圓于一點E.分析:要證，應(yīng)考慮EB、BD和EC、CB所在的三角形相似，即是△EBD∽△ECB練一練DEABC證明：由已知條件，可得∠ACE=∠BCE?！摺螦CE與∠ABE是同弧上的圓周角，∴∠ACE=∠ABE∴∠BCE=∠ABE。又∵∠BED=∠CEB?！唷鱁BD∽△ECB∴探究4已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：你能證明嗎？HLABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.已知：Rt△ABC和Rt△A1B1C1.求證：△ABC∽△A1B1C1.ABCA1B1C1思考：對于兩個直角三角形，我們可以利用“HL”判定它們?nèi)?那么,滿足斜邊的比等于一組直角邊的比的兩個直角三角形相似嗎?證明:由勾股定理，得∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.

如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。知識要點判定三角形相似的定理之四HLABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么√A1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.例如圖，已知AD、BE分別是△ABC中BC邊和AC邊上的高，H是AD、BE的交點求證：(1)AD

BC=BE

AC

(2)AH

HD=BH

HE分析:(1)只要證明Rt△ADC∽Rt△BEC(2)只要證明Rt△AHE∽Rt△BHD課堂小結(jié)1.相似圖形三角形的判定方法：

通過定義平行于三角形一邊的直線三邊對應(yīng)成比例兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等兩角對應(yīng)相等兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例（三邊對應(yīng)成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）（1）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等邊三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。（5）有一個角是100°的兩個等腰三角形都相似。（6）有一個角是70°的兩個等腰三角形都相似。（7）若兩個三角形相似比為1，則它們必全等。（8）相似的兩個三角形一定大小不等。1.判斷下列說法是否正確？并說明理由?！獭痢獭痢獭痢獭岭S堂練習(xí)2.AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，且交AD于F，你能從中找出幾對相似三角形？BCAEDF50°30°100°30°30°3.下面兩組圖形中的兩個三角形是否相似？為什么？ACBA1C1B1DEFABC60°相似相似4.過△ABC(∠C>∠B)的邊AB上一點D作一條直線與另一邊AC相交，截得的小三角形與△ABC相似，這樣的直線有幾條？CD

●ＡＢBCADEEBCAD△ADE∽△ABC△AED∽△ABC∠A=∠A∠AED=∠C∠A=∠A∠AED=∠B作DE，使∠AED=∠C作DE，使∠AED=∠B這樣的直線有兩條：5.已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對相似三角形。3△EOF∽△CODAB∥EF△AOB∽△FOEAB∥CDEF∥CD△AOB∽△DOC6.如果兩個三角形的相似比為1，那么這兩個三角形________。

7.若△ABC與△A′B′C′相似，一組對應(yīng)邊的長為AB=3cm，A′B′=4cm，那么△A′B′C′與△ABC的相似比是________。

8.若△ABC的三條邊長的比為3cm、5cm、6cm,與其相似的另一個△A′B′C′的最小邊長為12cm，那么A′B′C′的最大邊長是________。全等4︰324cm9.如圖，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）請找出圖中所有的相似三角形；（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。ABCDEFGHI△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1:4ADBEC解:（1）∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴∠AED=∠C=400在△ADE中，∠ADE=180°-40°-45°=95°10.已知：DE∥BC，AE=50cm，EC=30cm，

BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°

求：（1）∠AED和∠ADE的大小。（2）求DE的長。（2）∵△ADE∽△ABCADBEC∴27.2.2相似三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、在理解相似三角形特征的基礎(chǔ)上，掌握相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、周長、面積的比等性質(zhì).2、通過實踐體會相似三角形的性質(zhì)，會用性質(zhì)解決相關(guān)的問題.課前復(fù)習(xí):1、什么叫相似三角形？什么是它們相似比?三角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形,叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比.一、溫故知新1.相似三角形的判定方法：1.定義（三邊對應(yīng)成比例，三角相等）2.平行3.三邊成比例4.兩邊成比例且夾角相等5.兩角分別相等6.斜邊和一條直角邊成比例

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例相似三角形還有哪些性質(zhì)？2.相似三角形的性質(zhì)：ABCA/B/C/

①相似三角形的對應(yīng)角__________②相似三角形的對應(yīng)邊__________想一想:

它們還有哪些性質(zhì)呢?課前復(fù)習(xí):2、相似三角形有何特征？成比例相等一個三角形有三種重要線段：

如果兩個三角形相似，那么這些對應(yīng)線段有什么關(guān)系呢？情境引入高、中線、角平分線二、學(xué)習(xí)新知三角形中，除了角度和邊長外，還有哪些幾何量？高、角平分線、中線的長度，周長、面積等高角平分線中線思考？ACBA′B′C′（1）∽ACBA′B′C′

（2）D∽ACBA′B′C′（3）∽放大前放大后在10倍的放大鏡下看到的三角形與原三角形相比,三角形的邊長,周長,面積,角,哪些放大為10倍?引出新知ΔABC與ΔA’B’C’的相似比是多少？ΔABC與ΔA’B’C’的周長比是多少?

面積比是多少？4×4正方形網(wǎng)格如圖，ΔABC與ΔA’B’C’有什么關(guān)系？為什么？試問：是不是任意相似三角形都有此關(guān)系呢？你能加以驗證嗎？

你發(fā)現(xiàn)上面兩個相似三角形的周長比與相似比有什么關(guān)系？面積比與相似比又有什么關(guān)系？2周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方探究新知√102√21√5√2ABCA’C’B’對應(yīng)高的比對應(yīng)中線的比對應(yīng)角平分線的比周長的比

相似三角形等于相似比.面積的比等于相似比的平方相似三角形的性質(zhì)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比一解:∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B′=∠B．又∵∠A'D′B'=∠ADB=90°,∴△A′B′D′∽△ABD

(兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似).從而(相似三角形的對應(yīng)邊成比例).問題：如圖，△A′B′C′∽△ABC，相似比為k，分別作BC，B′C′上的高AD，A′D′．求證：

?推導(dǎo)性質(zhì)證明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比.(相似三角形對應(yīng)邊成比例).ABCMDEFN又∵AM,DN分別是△ABC和△DEF的中線.∴△ABM∽△DEN.(兩邊夾角).且∠B=∠E.

?推導(dǎo)性質(zhì)求證：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分別為中線二證明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.又∵AM,DN分別是∠BAC和∠EDF的角平分線.∴∠BAM=1/2∠BAC，∠EDN=1/2∠EDF，∴∠BAM=∠EDN.∴△AMB∽△DNE.(兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似).相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比.(相似三角形對應(yīng)邊成比例).ABCMDEFN

?推導(dǎo)性質(zhì)求證：已知：△ABC∽△DEF.AM、DN分別角平分線

三相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.相似三角形性質(zhì)定理1歸納總結(jié)?相似三角形周長的比等于相似比。已知：求證：∽△△證明：∽△△∵∴∴(相似三角形對應(yīng)邊成比例)(等比性質(zhì))ACBB′A′C′

?推導(dǎo)性質(zhì)ABCA’B’C’證明2：∵ΔABC∽ΔA/B/C/，相似比為k∴AB=kA/B/，BC=kB/C/，AC=kA/C/（相似三角形的對應(yīng)邊成比例）相似三角形的周長比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方。求證：ABCA′B′C′DD′證明：分別過A、A′，作AD⊥BC于D，∴∵∴∴

?推導(dǎo)性質(zhì)已知：∽△△∽△△（）相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比相似三角形的周長的比等于相似比.相似三角形性質(zhì)定理2ABCA’B’C’∵ΔABC∽ΔA’B’C,’相似比為k.=k2k，∴ΔABC的周長ΔA’B’C’的周長=sABCsA’B’C’幾何表述:歸納總結(jié)相似三角形性質(zhì)定理3面積比等于相似比的平方??

通過前面的思考、探索、推理，我們得到相似三角形有如下性質(zhì)；

相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比、周長的比等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。填一填1、相似三角形對應(yīng)邊的比為2∶3,那么相似比為________,對應(yīng)角的角平分線的比為

.2∶

32∶

32、兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高的比為1∶4

,

則它們周長的比為_______,面積的比為_______.1：41：16填一填3、兩個相似三角形面積的比為4：9，則它們周長的比為______,對應(yīng)高的比為______.2∶

32∶

3填一填4、△ABC∽△A1B1C1，AB=4，BC=5，AC=6，△A1B1C1的最大邊長為15，那么它們相似比為______,△A1B1C1的周長是______.2∶

5(4+5+6):x=2:515:x=2:5全等三角形與相似三角形性質(zhì)比較全等三角形相似三角形類比學(xué)習(xí)對應(yīng)邊____對應(yīng)角______對應(yīng)高_(dá)_____對應(yīng)中線_____對應(yīng)角平分線____對應(yīng)邊______對應(yīng)角_____對應(yīng)高的比等于__________對應(yīng)中線的比等_________對應(yīng)角平分線的比等于___相似比相似比相似比周長_____面積______周長的比等于____________面積的比等于____________相等相等相等相等相等相等相等成比例相等相似比相似比的平方課堂小結(jié)：1、如圖，在ABCD中，若E是AB的中點，則(1)?AEF與?CDF的相似比為______.(2)若?AEF的面積為5cm2，則?CDF的面積為______.BFEDCA1:220cm2隨堂練習(xí)2、如圖所示，D、E分別是AC、AB上的點，ABCDE已知△ABC的面積為

求四邊形BCDE的面積。解：∵，∠A=∠A∴∽△△∴（相似三角形面積的比等于相似比的平方）∴∵∴∴∴(兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等,兩三角形相似)3、如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，若△ABC的邊BC上的高為6，面積為

，求△DEF的邊EF上的高和面積．解：在△ABC和△DEF中，∵AB＝2DE，AC＝2DF∴又∠D＝∠A∴△DEF∽△ABC，相似比為∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為∴△DEF的邊EF上的高為

，面積為ABCDEF4、如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？NMQPEDCBA解：設(shè)正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD與PN相交于點E。設(shè)正方形PQMN的邊長為x毫米。因為PN∥BC，所以△APN∽△ABC所以AEAD=PNBC因此，得x=48（毫米）。答：-------。80–x80=x12027.2.3相似三角形應(yīng)用舉例樂山大佛新課導(dǎo)入世界上最高的樹——紅杉怎樣測量這些非常高大物體的高度？世界上最高的樓——臺北101大樓怎樣測量這些非常高大物體的高度？世界上最寬的河——亞馬孫河怎樣測量河寬？ACBDE┐┐怎樣測量這些非常高大物體的高度？利用三角形相似可以解決一些不能直接測量的物體的長度的問題怎樣測量旗桿的高度?搶答ＡＢＯＡ′Ｂ′Ｏ′6m1.2m1.6mＡＢcＡ′Ｂ′c′１、旗桿的高度是線段

；旗桿的高度與它的影長組成什么三角形？（）這個三角形有沒有哪條邊可以直接測量？溫馨提示：BCRt△ABC6m2、人的高度與它的影長組成什么三角形？（）這個三角形有沒有哪條邊可以直接測量？Rt△A′B′

C′3、△ABC與△A′B′

C′

有什么關(guān)系?試說明理由.1.2m1.6m

在陽光下，在同一時刻，物體的高度與物體的影長存在某種關(guān)系：物體的高度越高，物體的影長就越長

在平行光線的照射下，不同物體的物高與影長成比例物1高：物2高=影1長：影2長知識要點測高的方法測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決。

在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例，在某一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高樓的高度是多少米？解:設(shè)高樓的高度為x米，則答:樓高36米.例1：例2：據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的底部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度。如圖，如果木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BOOBA(F)EDDEA(F)BO2m3m201m解：太陽光是平行線，因此∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=90°∴△ABO∽△DEFBOEF=BO==134（m）OAFDOA·EFFD=201×23∴∴

例：如果木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BOSTPQRba探究：為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)點P,在近岸取點Q和S,使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞cT,確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R.如果測得QS=45m,ST=90m,QR=60m,

求河的寬度PQ.

∠P=∠P分析：∵∠PQR=∠PST=90°STPQRba得PQ=90例題求河寬?∴

△PQR∽△PST∴45m60m90m∴知識要點測距的方法測量不能到達(dá)兩點間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解。

為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D，此時如果測得BD＝110米，DC＝55米，EC＝52米，求兩岸間的大致距離AB．AEDCB跟蹤訓(xùn)練例3：已知左，右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹的根部的距離BD=5m。一個身高1.6m的人沿著正對著兩棵樹的一條水平直路從左向右前進，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看見右邊較高的樹的頂端點C？KⅡ盲區(qū)觀察者看不到的區(qū)域。仰角：視線在水平線以上的夾角。水平線視線視點觀察者眼睛的位置。(1)FBCDHGlAK(1)FBCDHGlAⅠKFABCDHGKⅠⅡl(2)分析：假設(shè)觀察者從左向右走到點E時，他的眼睛的位置點F與兩顆樹的頂端點A、C恰在一條直線上,如果觀察者繼續(xù)前進，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，觀察者看不到它。E由題意可知，AB⊥L，CD⊥L，∴AB∥CD，△AFH∽△CFK∴FHFK=AHCK即FHFH+5=8-1.612-1.6解得FH=8∴當(dāng)他與左邊的樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，就不能看見右邊較高的樹的頂端點CFABCDHGKⅠⅡl(2)1、如圖,鐵道口的欄桿短臂長1m,長臂長16m,當(dāng)短臂端點下降0.5m時,長臂端點升高

m。

OBDCA┏┛8給我一個支點我可以撬起整個地球!---阿基米德1m16m0.5m？跟蹤訓(xùn)練△AOC∽△BODAO:BO=AC:BD1：16=0.5：BDBB’2、(1)小明測得長為1米的竹竿影長為0.9米，同時，小李測得一棵樹的影長為5.4米，請計算小明測量這棵樹的高．5.40.91由相似三角形性質(zhì)得:樹高

竿高樹影長

竿影長=ACA’C’

(2)小明測得長為1米的竹竿影長為0.9米，同時小王在測另一棵樹時，發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，而另一部分在墻上，他測得地面上的影長為2.7米，留在墻上部分的影長為1.2米.請計算小王測量的這棵樹的高.2.7m1.2mBACD2.7m1.2mBAC解法一:作CG⊥AB于G，CG=BD=2.7，BG=CD=1.2

答:這棵樹的高為4.2米.DG

∵AG:CG=1:0.9

∴AG:2.7=1:0.9

∴AG=3

∴AB=AG+BG=4.22.7m1.2m解法二：如圖，過點D作DE∥AC交AB于E點，AE=CD=1.2，BADCE∴BE=3，AB=BE+AE=4.2

答:這棵樹高有4.2米.2.7m1.2mBAC解法三:延長AC交BD延長線于G，

CD:DG=1:0.9

∴DG=0.9CD=1.08

BG=BD+DG=3.78

∵AB:BG=1:0.9∴AB:3.78=1:0.9∴AB=4.2

答:這棵樹的高為4.2米.DG10mBACD4m30°

(3)小明測得長為1米的竹竿影長為2米，同時，小李測量一棵樹時發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測得在地面影長為10米，在斜坡上影長為4米，斜坡的傾斜角為30°，請計算這棵樹的高．10mBAC解:畫CG⊥AB于G點，畫CE⊥BD于E，則CE=CD=2，DE=2∴BG=CE=2，

BE=BD+DE=10+2

答:這棵樹的高為(7+)米.DG由相似三角形的性質(zhì)得:

AG:GC=1:2

∴AG=5+

AB=BG+AG=7+4mE30°

(3)小明測得長為1米的竹竿影長為2米，同時，小李測量一棵樹時發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測得在地面影長為10米，在斜坡上影長為4米，斜坡的傾斜角為30°，請計算這棵樹的高．

由相似三角形性質(zhì)得:樹高

竿高樹影長

竿影長=(3)小明測得長為1米的竹竿影長為2米，同時，小李測量一棵樹時發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測得在地面影長為10米，在斜坡上影長為4米，斜坡的傾斜角為30°，請計算這棵樹的高．10mBACDG4mE30°

(3)小明測得長為1米的竹竿影長為2米，同時，小李測量一棵樹時發(fā)現(xiàn)樹影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測得在地面影長為10米，在斜坡上影長為4米，斜坡的傾斜角為30°，請計算這棵樹的高．10mBACD4mEF30°1、隨堂練習(xí)2、3.為了測量路燈（OS）的高度,把一根長1.5米的竹竿（AB）豎直立在水平地面

上,測得竹竿的影子（BC）長為1米,然后拿竹竿向遠(yuǎn)離路燈方向走了4米

（BB'）,再把竹竿豎立在地面上,測得竹竿的影長（B'C'）為1.8米,求路燈離

地面的高度.4.如圖，小華在晚上由路燈AC走向路燈BD，當(dāng)他走到點P時，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點Q時，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部，已知小華的身高是1.60m，兩個路燈的高度都是9.6m，求兩路燈之間的距離.MN5、如圖，有一路燈桿AB(底部B不能直接到達(dá))，在燈光下，小明在點D處測得自己的影長DF＝3m，沿BD方向到達(dá)點F處再測得自己得影長FG＝4m，如果小明得身高為1.6m，求路燈桿AB的高度。

DFBCEGA6、7、課堂小結(jié):一、相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個方面

1測高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)2測距(不能直接測量的兩點間的距離)二、測高的方法

測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長的比例”的原理解決三、測距的方法測量不能到達(dá)兩點間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解2.解相似三角形實際問題的一般步驟：（1）審題。（2）構(gòu)建圖形。（3）利用相似解決問題。27.3位似新課導(dǎo)入相似圖形這種相似有什么特征？相似圖形這種相似有什么特征？照相機把人物的影像縮小到底片上相似圖形這種相似有什么特征？在幻燈機放映圖片的過程中，這些圖片有什么關(guān)系？2.幻燈機在哪兒呢？3.我們能給這種有特殊位置的相似圖形一個名稱嗎？教學(xué)目標(biāo)

了解位似圖形及其有關(guān)概念，了解位似與相似的聯(lián)系和區(qū)別，掌握位似圖形的性質(zhì)。掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小。掌握直角坐標(biāo)系中圖形的位似變化與對應(yīng)點坐標(biāo)變化的規(guī)律。知識與能力

經(jīng)歷位似圖形性質(zhì)的探索過程，進一步發(fā)展學(xué)生的探究、交流能力、以及動手、動腦、手腦和諧一致的習(xí)慣。過程與方法

利用圖形的位似解決一些簡單的實際問題，并在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，進一步培養(yǎng)學(xué)生動手操作的良好習(xí)慣。發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和初步的邏輯推理能力。

情感態(tài)度與價值觀教學(xué)重難點

位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖。利用位似將一個圖形放大或縮小。直角坐標(biāo)系中圖形的位似變化與對應(yīng)點坐標(biāo)的關(guān)系。

這樣放大或縮小，沒有改變圖形形狀，經(jīng)過放大或縮小的圖形，與原圖是相似的。這些圖形相似嗎？觀察它們相似的共同點是什么？其中相似圖形的共同點是什么？

不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形（homotheticfigures），這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。知識要點位似圖形

位似是一種具有位置關(guān)系的相似。位似圖形是相似圖形的特殊情形。位似圖形必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。兩個位似圖形的位似中心只有一個。兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。注意

對應(yīng)點與位似中心共線。不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)邊平行。位似圖形上任意一對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比。位似圖形的性質(zhì)

位似的作用位似可以將一個圖形放大或縮小。

請以坐標(biāo)原點O為位似中心，作□

ABCD的位似圖形，并把它的邊長放大3倍。小練習(xí)

分析：根據(jù)位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比，我們只要連結(jié)位似中心O和□

ABCD的各頂點，并把線段延長（或反向延長）到原來的3倍，就得到所求作圖形的各個頂點。1.連結(jié)OA，OB，OC，OD.2.分別延長OA，OB，OC，OD至G，C，E，F(xiàn)，使3.依次連結(jié)G