人教版數(shù)學(xué)選擇性必修三7.4.2超幾何分布

7.4.2超幾何分布本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第七章《隨機變量及其分布列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)超幾何分布超幾何分布是一類應(yīng)用廣泛的概率模型，常常與二項分布問題綜合運用，本節(jié)是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機事件、等可能事件概率、互斥事件概率、條件概率和相互獨立事件概率的求法、也學(xué)習(xí)了分布列的有關(guān)內(nèi)容。它是對前面所學(xué)知識的綜合應(yīng)用。節(jié)課是從實際出發(fā)，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進而認知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實際的過程。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解超幾何分布,能夠判定隨機變量是否服從超幾何分布;B.能夠利用隨機變量服從超幾何分布的知識解決實際問題,會求服從超幾何分布的隨機變量的均值.1.數(shù)學(xué)抽象：超幾何分布的概念2.邏輯推理：超幾何分布與二項分布的聯(lián)系與區(qū)別3.數(shù)學(xué)運算：超幾何分布的有關(guān)計算4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想重點：超幾何分布的概念及應(yīng)用難點：超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)探究新知問題1：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中采用有放回方式隨機抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機變量X的分布列.（1）：采用有放回抽樣，隨機變量X服從二項分布嗎？采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨立,此時X服從二項分布,即X～B(4，0.08).（2）：如果采用不放回抽樣，抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么？不服從，根據(jù)古典概型求X的分布列.解：從100件產(chǎn)品中任取4件有C1004種不同的取法，從100件產(chǎn)品中任取4件，次品數(shù)X可能取0,1,2,3,4.恰有k件次品的取法有由古典概型的知識，得隨機變量X的分布列為X01234P超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(M))Ceq\o\al(\s\up1(n－k),\s\do1(N－M)),Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(N)))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，則稱隨機變量X服從超幾何分布．1.公式中個字母的含義N—總體中的個體總數(shù)M—總體中的特殊個體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個體數(shù)(如次品數(shù))2.求分布列時可以直接利用組合數(shù)的意義列式計算,不必機械記憶這個概率分布列.3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.4.各對應(yīng)的概率和必須為1.1.下列隨機事件中的隨機變量X服從超幾何分布的是(）A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB．從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)XC．某射手射擊的命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為XD．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)解析：由超幾何分布的定義可知B正確．答案：B二、典例解析例1：從50名學(xué)生中隨機選出5名學(xué)生代表,求甲被選中的概率.解:設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)（只能取0或1),則X服從超幾何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被選中的概率為例2.一批零件共有30個，其中有3個不合格，隨機抽取10個零件進行檢測，求至少有1件不合格的概率.解:設(shè)抽取的10個零件中不合格品數(shù)為??,則??服從超幾何分布,且??=30,??=3,??=10,??的分布列為P(X=k)=

C3至少有1件不合格的概率為??(??≥1)=??(??=1)+??(??=2)+??(??=3)=另解:(??≥1)=1???(??=0)=1?C（1）當(dāng)研究的事物涉及二維離散型隨機變量(如：次品、兩類顏色等問題）時的概率分布可視為一個超幾何分布；（2）在超幾何分布中，只要知道參數(shù)N，M，n就可以根據(jù)公式求出X取不同值時的概率．探究1：服從超幾何分布的隨機變量的均值是什么?設(shè)隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=MN，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而XE(xn)=p，即E(X)=np.超幾何分布的均值設(shè)隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝eq\f(M,N)，則E(X）＝__np_．例6.一袋中有100個大小相同的小球,其中有40個黃球，60個白球，從中隨機摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數(shù).(1).分別就有放回和不放回摸球，求X的分布列;(2).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.解:(1)對于有放回摸球,由題意知??~??(20,0.4),??的分布列為對于不放回摸球,由題意知??服從超幾何分布，??的分布列為（2）樣本中黃球的比例是一個隨機變量有放回摸球：P(|f20不放回摸球：P(|f20因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計的結(jié)果更可靠些。0.050.0500.100.150.200.25兩種摸球方式下,隨機變量X服從二項分布和超幾何分布.這兩種分布的均值相等都等于8.但從兩種分布的概率分布圖看,超幾何分布更集中在均值附近.當(dāng)n遠遠小于N時，每次抽取一次,對N的影響很小.此時，超幾何分布可以用二項分布近似.二項分布與超幾何分布區(qū)別和聯(lián)系1.區(qū)別：一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項分布的模型是“獨立重復(fù)試驗”對于抽樣,則是有放回抽樣.2.聯(lián)系：當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時,即便是不放回抽樣,也可視其為二項分布.通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入超幾何分布的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過問題分析，讓學(xué)生掌握超幾何分布的概念及其特點。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。通過典例解析，在具體的問題情境中，深化對超幾何分布的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。三、達標(biāo)檢測1.一袋中裝5個球，編號為1，2，3，4，5，從袋中同時取出3個，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為(）解析：隨機變量ξ的可能值為1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(1,10).故選C.答案：C2.已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則任意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為________．解析：次品數(shù)服從超幾何分布，則E(X)＝3×eq\f(10,100)＝0.3.答案：0.33.在高二年級的聯(lián)歡會上設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有5個紅球和10個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出3個球，至少摸到2個紅球就中獎，求中獎的概率．解析：由題意知，摸到紅球個數(shù)X為離散型隨機變量，X服從超幾何分布，則至少摸到2個紅球的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(10)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(22,91).故中獎的概率為eq\f(22,91).4.在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：(1）不放回抽樣時，抽取次品數(shù)ξ的均值；(2）放回抽樣時，抽取次品數(shù)η的均值．解析：(1)方法一P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)；P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)；P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,15)，∴隨機變量ξ的分布列為ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).方法二由題意知P(ξ＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))(k＝0，1，2)，∴隨機變量ξ服從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10，∴E(ξ)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(3×2,10)＝eq\f(3,5).(2)由題意，知每次取到次品的概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，∴η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5)))，∴E(η)＝3×eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。小結(jié)1.超幾何分布2.超幾何分布的均值五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。課后通過對教學(xué)過