2024年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析

2024年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1．（2分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，則∠EOB的大小為（）A．29° B．32° C．45° D．58°3．（2分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a(chǎn)+b＞0 D．a(chǎn)b＞04．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．165．（2分）不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個(gè)，兩個(gè)小球除顏色外無(wú)其他差別．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是（）A． B． C． D．6．（2分）為助力數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展，北京積極推進(jìn)多個(gè)公共算力中心的建設(shè)．北京數(shù)字經(jīng)濟(jì)算力中心日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力為4×1017Flops（Flops是計(jì)算機(jī)系統(tǒng)算力的一種度量單位），整體投產(chǎn)后，累計(jì)實(shí)現(xiàn)的算力將是日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力的5倍，達(dá)到mFlops，則m的值為（）A．8×1016 B．2×1017 C．5×1017 D．2×10187．（2分）下面是“作一個(gè)角使其等于∠AOB”的尺規(guī)作圖方法．（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）作射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′；以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D′；（3）過(guò)點(diǎn)D′作射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通過(guò)判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依據(jù)是（）A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等 C．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 D．兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等8．（2分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O為對(duì)角線的交點(diǎn)．將菱形ABCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到菱形A′B′C′D′，兩個(gè)菱形的公共點(diǎn)為E，F(xiàn)，G，H．對(duì)八邊形BFB′GDHD′E給出下面四個(gè)結(jié)論：①該八邊形各邊長(zhǎng)都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點(diǎn)O到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；④點(diǎn)O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．10．（2分）分解因式：x3﹣25x＝．11．（2分）方程的解為．12．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，y1）和（﹣3，y2），則y1+y2的值是．13．（2分）某廠加工了200個(gè)工件，質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽取10個(gè)工件檢測(cè)了它們的質(zhì)量（單位：g），得到的數(shù)據(jù)如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02當(dāng)一個(gè)工件的質(zhì)量x（單位：g）滿足49.98≤x≤50.02時(shí)，評(píng)定該工件為一等品．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)這200個(gè)工件中一等品的個(gè)數(shù)是．14．（2分）如圖，⊙O的直徑AB平分弦CD（不是直徑）．若∠D＝35°，則∠C＝°．15．（2分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，AF⊥DE于點(diǎn)F，CG⊥DE于點(diǎn)G．若AD＝5，CG＝4，則△AEF的面積為．16．（2分）聯(lián)歡會(huì)有A，B，C，D四個(gè)節(jié)目需要彩排，所有演員到場(chǎng)后節(jié)目彩排開(kāi)始．一個(gè)節(jié)目彩排完畢，下一個(gè)節(jié)目彩排立即開(kāi)始．每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長(zhǎng)（單位：min）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時(shí)長(zhǎng)30102010已知每位演員只參演一個(gè)節(jié)目．一位演員的候場(chǎng)時(shí)間是指從第一個(gè)彩排的節(jié)目彩排開(kāi)始到這位演員參演的節(jié)目彩排開(kāi)始的時(shí)間間隔（不考慮換場(chǎng)時(shí)間等其他因素）．若節(jié)目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為min；若使這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按的先后順序彩排．三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17．（5分）計(jì)算：．18．（5分）解不等式組：．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代數(shù)式的值．20．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，DB，CE交于點(diǎn)F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求證：四邊形AFCD為平行四邊形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的長(zhǎng)．21．（6分）為防治污染，保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國(guó)全面實(shí)施汽車(chē)國(guó)六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段（以下簡(jiǎn)稱“標(biāo)準(zhǔn)”）．對(duì)某型號(hào)汽車(chē)，“標(biāo)準(zhǔn)”要求A類物質(zhì)排放量不超過(guò)35mg/km，A，B兩類物質(zhì)排放量之和不超過(guò)50mg/km．已知該型號(hào)某汽車(chē)的A，B兩類物質(zhì)排放量之和原為92mg/km．經(jīng)過(guò)一次技術(shù)改進(jìn)，該汽車(chē)的A類物質(zhì)排放量降低了50%，B類物質(zhì)排放量降低了75%，A，B兩類物質(zhì)排放量之和為40mg/km．判斷這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車(chē)的A類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準(zhǔn)”，并說(shuō)明理由．22．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與y＝﹣kx+3的圖象交于點(diǎn)（2，1）．（1）求k，b的值；（2）當(dāng)x＞2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值既大于函數(shù)y＝kx+b的值，也大于函數(shù)y＝﹣kx+3的值，直接寫(xiě)出m的取值范圍．23．（5分）某學(xué)校舉辦的“青春飛揚(yáng)”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個(gè)階段．（1）初賽由10名教師評(píng)委和45名學(xué)生評(píng)委給每位選手打分（百分制）．對(duì)評(píng)委給某位選手的打分進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．教師評(píng)委打分：86889091919191929298b．學(xué)生評(píng)委打分的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分6組：第1組82≤x＜85，第2組85≤x＜88，第3組88≤x＜91，第4組91≤x＜94，第5組94≤x＜97，第6組97≤x≤100）：c．評(píng)委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)教師評(píng)委9191m學(xué)生評(píng)委90.8n93根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：①m的值為，n的值位于學(xué)生評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第組；②若去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評(píng)委打分的平均數(shù)為，則91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）決賽由5名專業(yè)評(píng)委給每位選手打分（百分制）．對(duì)每位選手，計(jì)算5名專業(yè)評(píng)委給其打分的平均數(shù)和方差．平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前.5名專業(yè)評(píng)委給進(jìn)入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是，表中k（k為整數(shù)）的值為．24．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求證：OD∥BC；（2）延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)E，連接CE交OB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．若，PE＝1，求⊙O半徑的長(zhǎng)．25．（5分）小云有一個(gè)圓柱形水杯（記為1號(hào)杯）．在科技活動(dòng)中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和人工智能軟件設(shè)計(jì)了一個(gè)新水杯，并將其制作出來(lái)．新水杯（記為2號(hào)杯）示意圖如圖．當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有VmL水時(shí)，小云分別記錄了1號(hào)杯的水面高度h1（單位：cm）和2號(hào)杯的水面高度h2單位：cm），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：V/mL040100200300400500h1/cm02.55.07.510.012.5h2/cm02.84.87.28.910.511.8（1）補(bǔ)全表格（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）通過(guò)分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫(huà)h1與V，h2與V之間的關(guān)系．在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問(wèn)題：①當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有320mL水時(shí)，2號(hào)杯的水面高度與1號(hào)杯的水面高度的差約為cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；②在①的條件下，將2號(hào)杯中的一部分水倒入1號(hào)杯中，當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，其水面高度約為cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)．若對(duì)于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范圍．27．（7分）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），點(diǎn)B，C分別在射線AN，AM上，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°﹣2α得到線段BD，過(guò)點(diǎn)D作AN的垂線交射線AM于點(diǎn)E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在射線AN上時(shí)，求證：C是AE的中點(diǎn)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在∠MAN內(nèi)部時(shí)，作DF∥AN，交射線AM于點(diǎn)F，用等式表示線段EF與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1．對(duì)于⊙O的弦AB和不在直線AB上的點(diǎn)C，給出如下定義：若點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′在⊙O上或其內(nèi)部，且∠ACB＝α，則稱點(diǎn)C是弦AB的“α可及點(diǎn)”．（1）如圖，點(diǎn)A（0，1），B（1，0）．①在點(diǎn)C1（2，0），C2（1，2），中，點(diǎn)是弦AB的“α可及點(diǎn)”，其中α＝°；②若點(diǎn)D是弦AB的“90°可及點(diǎn)”，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的最大值為；（2）已知P是直線上一點(diǎn)，且存在⊙O的弦MN，使得點(diǎn)P是弦MN的“60°可及點(diǎn)”．記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

2024年北京市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1．（2分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念解答即可．【解答】解：A、圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B、圖形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，符合題意；C、圖形不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D、圖形不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形，熟知把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2分）如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)O，OE⊥OC．若∠AOC＝58°，則∠EOB的大小為（）A．29° B．32° C．45° D．58°【分析】根據(jù)垂直的定義得出∠COE＝∠DOE＝90°，再由對(duì)頂角相等得出∠BOD＝∠AOC＝58°，由∠EOB＝90°﹣∠BOD進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵OE⊥OC，∴∠COE＝∠DOE＝90°，∵∠BOD＝∠AOC＝58°，∴∠EOB＝90°﹣58°＝32°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂線，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，掌握互相垂直的定義，對(duì)頂角相等是正確解答的關(guān)鍵．3．（2分）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a(chǎn)+b＞0 D．a(chǎn)b＞0【分析】由數(shù)軸得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，進(jìn)一步得出|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，即可作出判斷．【解答】解：由數(shù)軸得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，∴|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)、絕對(duì)值、有理數(shù)的加法、有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．4．（2分）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的值為（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可解決問(wèn)題．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4．故選：C．2024年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根的判別式，熟知一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．5．（2分）不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個(gè)，兩個(gè)小球除顏色外無(wú)其他差別．從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是（）A． B． C． D．【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次摸出的都是紅球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：紅黃紅（紅，紅）（紅，黃）黃（黃，紅）（黃，黃）共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的都是紅球的結(jié)果有1種，∴兩次摸出的都是紅球的概率為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法是解答本題的關(guān)鍵．6．（2分）為助力數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展，北京積極推進(jìn)多個(gè)公共算力中心的建設(shè)．北京數(shù)字經(jīng)濟(jì)算力中心日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力為4×1017Flops（Flops是計(jì)算機(jī)系統(tǒng)算力的一種度量單位），整體投產(chǎn)后，累計(jì)實(shí)現(xiàn)的算力將是日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力的5倍，達(dá)到mFlops，則m的值為（）A．8×1016 B．2×1017 C．5×1017 D．2×1018【分析】根據(jù)把一個(gè)大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法，進(jìn)而得出答案．【解答】解：由題意可得：4×1017×5＝2×1018．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)，正確掌握科學(xué)記數(shù)法是解題關(guān)鍵．7．（2分）下面是“作一個(gè)角使其等于∠AOB”的尺規(guī)作圖方法．（1）如圖，以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）作射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′；以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)D′；（3）過(guò)點(diǎn)D′作射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．上述方法通過(guò)判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依據(jù)是（）A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等 C．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 D．兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等【分析】由作圖過(guò)程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，結(jié)合全等三角形的判定可得答案．【解答】解：由作圖過(guò)程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，∴△C′O′D′≌△COD（SSS），2024年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析∴判定△C′O′D′≌△COD的依據(jù)是三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．8．（2分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O為對(duì)角線的交點(diǎn)．將菱形ABCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到菱形A′B′C′D′，兩個(gè)菱形的公共點(diǎn)為E，F(xiàn)，G，H．對(duì)八邊形BFB′GDHD′E給出下面四個(gè)結(jié)論：①該八邊形各邊長(zhǎng)都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點(diǎn)O到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；④點(diǎn)O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】通過(guò)△AD'H≌△C'DH和△A'BE≌△C'DH可判斷①；根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理判斷④；通過(guò)角度計(jì)算判斷②；通過(guò)長(zhǎng)度計(jì)算判斷③．【解答】解：延長(zhǎng)BD和DB，連接OH，∵菱形ABCD，∠BAD＝60°，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°，∵菱形ABCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到菱形A'B'C'D'，∴點(diǎn)A′，D′，B′，C′一定在對(duì)角線AC，BD上，且OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'，∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°，∵∠D′HA＝∠DHC′，∴△AD'H≌△C'DH（AAS），∴D′H＝DH，C′H＝AH，同理可證D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG，∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°，∴△A'BE≌△C'DH（ASA），∴DH＝BE，∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG，∴該八邊形各邊長(zhǎng)都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點(diǎn)O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，故④正確；根據(jù)題意，得∠ED'H＝120°，∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°，∴∠D'HD＝150°，∴該八邊形各內(nèi)角不相等，故②錯(cuò)誤；∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH，∴△D'OH≌△DOH（SSS），∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°，∴OD≠OH，∴點(diǎn)O到該八邊形各頂點(diǎn)的距離不相等，故③錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定等，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥9．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得x﹣9≥0，解得：x≥9．故答案為：x≥9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2分）分解因式：x3﹣25x＝x（x+5）（x﹣5）．【分析】先提取公因式x，再對(duì)余下的多項(xiàng)式運(yùn)用平方差公式繼續(xù)分解．【解答】解：x3﹣25x，＝x（x2﹣25），＝x（x+5）（x﹣5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，關(guān)鍵在于提取公因式后繼續(xù)利用平方差公式進(jìn)行二次因式分解，分解因式要徹底．11．（2分）方程的解為x＝﹣1．【分析】方程兩邊同乘x（2x+3），將分式化為整式方程求解即可．【解答】解：x+（2x+3）＝03x+3＝0x＝﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣1是原方程的解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．12．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，y1）和（﹣3，y2），則y1+y2的值是0．【分析】將兩點(diǎn)代入得到y(tǒng)1＝，y2＝﹣，則y1+y2＝0．【解答】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，y1）和（﹣3，y2），∴y1＝，y2＝﹣，∴y1+y2＝0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式是解題的關(guān)鍵．13．（2分）某廠加工了200個(gè)工件，質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽取10個(gè)工件檢測(cè)了它們的質(zhì)量（單位：g），得到的數(shù)據(jù)如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02當(dāng)一個(gè)工件的質(zhì)量x（單位：g）滿足49.98≤x≤50.02時(shí)，評(píng)定該工件為一等品．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)這200個(gè)工件中一等品的個(gè)數(shù)是160．【分析】根據(jù)題意，先寫(xiě)出10個(gè)數(shù)據(jù)中的一等品，然后即可計(jì)算出估計(jì)這200個(gè)工件中一等品的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵滿足49.98≤x≤50.02時(shí)，評(píng)定該工件為一等品，∴抽取10個(gè)工件的一等品有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02，共計(jì)8個(gè)，∴估計(jì)這200個(gè)工件中一等品的個(gè)數(shù)是200×＝160，故答案為：160．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出這200個(gè)工件中一等品的個(gè)數(shù)．14．（2分）如圖，⊙O的直徑AB平分弦CD（不是直徑）．若∠D＝35°，則∠C＝55°．【分析】設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)E，根據(jù)垂直定義可得∠DEB＝90°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角可得互余∠B＝55°，從而利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠C＝∠B＝55°，即可解答．【解答】解：設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)E，∵⊙O的直徑AB平分弦CD（不是直徑），∴AB⊥CD，2024年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析∴∠DEB＝90°，∵∠D＝35°，∴∠B＝90°﹣∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°，故選：55．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，以及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，AF⊥DE于點(diǎn)F，CG⊥DE于點(diǎn)G．若AD＝5，CG＝4，則△AEF的面積為．【分析】要求△AEF的面積，需要知道AE和EF的邊長(zhǎng)，先證△CDG≌△DAF（AAS），再證△AFE∽△DFA即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝DAE＝90°，∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD＝∠CGD＝90°，∵∠ADF+∠CDG＝∠ADF+∠DAF，∴∠CDG＝∠DAF，∴△CDG≌△DAF（AAS），∴AF＝DG＝＝3，DF＝CG＝4，同理可得∠EAF＝∠ADF，又∠AFE＝∠AFD，∴△AFE∽△DFA，∴，即，∴EF＝，∴S△AEF＝AE?EF＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．（2分）聯(lián)歡會(huì)有A，B，C，D四個(gè)節(jié)目需要彩排，所有演員到場(chǎng)后節(jié)目彩排開(kāi)始．一個(gè)節(jié)目彩排完畢，下一個(gè)節(jié)目彩排立即開(kāi)始．每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長(zhǎng)（單位：min）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時(shí)長(zhǎng)30102010已知每位演員只參演一個(gè)節(jié)目．一位演員的候場(chǎng)時(shí)間是指從第一個(gè)彩排的節(jié)目彩排開(kāi)始到這位演員參演的節(jié)目彩排開(kāi)始的時(shí)間間隔（不考慮換場(chǎng)時(shí)間等其他因素）．若節(jié)目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為60min；若使這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按B﹣D﹣C﹣D的先后順序彩排．【分析】根據(jù)候場(chǎng)時(shí)間定義計(jì)算即可，若使這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按：B﹣D﹣C﹣D順序排序．【解答】解：根據(jù)題意，節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為：30+10+20＝60（min）；若使這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按：B﹣D﹣C﹣D順序排序，即1×10+10×10+10×20＝310（min），故答案為：60；B﹣D﹣C﹣D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握其運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17．（5分）計(jì)算：．【分析】先化簡(jiǎn)零指數(shù)冪，二次根式，三角函數(shù)，絕對(duì)值，再按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：＝1+﹣2×+＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵式掌握去絕對(duì)值，零指數(shù)冪，特殊三角函數(shù)值等相關(guān)知識(shí)．18．（5分）解不等式組：．【分析】根據(jù)解一元一次不等式組的步驟，對(duì)所給不等式組進(jìn)行求解即可解決問(wèn)題．【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜4+2x得，x＜7，解不等式得，x＞﹣1，所以不等式組的解集為：﹣1＜x＜7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟知解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．19．（5分）已知a﹣b﹣1＝0，求代數(shù)式的值．【分析】先將分式的分子、分母分別分解因式，約分化為最簡(jiǎn)結(jié)果，然后代入求值即可．【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，＝＝＝＝＝＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的值，通過(guò)將分式的分子、分母分別分解因式化為是解題的關(guān)鍵．20．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，DB，CE交于點(diǎn)F，DF＝FB，AF∥DC．（1）求證：四邊形AFCD為平行四邊形；（2）若∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，EF＝1，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥AD，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線定理求得AD＝2EF＝2，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BF＝3EF＝3，求得DF＝BF＝3，根據(jù)勾股定理得到AF＝＝，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD＝AF＝，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∵DF＝BF，∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥AD，∴CF∥AD，∵AF∥CD，∴四邊形AFCD為平行四邊形；（2）解：由（1）知，EF是△ABD的中位線，∴AD＝2EF＝2，∵∠EFB＝90°，tan∠FEB＝3，∴BF＝3EF＝3，∵DF＝FB，∴DF＝BF＝3，∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠EFB＝90°，∴AF＝＝，∵四邊形AFCD為平行四邊形，∴CD＝AF＝，∵DF＝BF，CE⊥BD，∴BC＝CD＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．（6分）為防治污染，保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國(guó)全面實(shí)施汽車(chē)國(guó)六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段（以下簡(jiǎn)稱“標(biāo)準(zhǔn)”）．對(duì)某型號(hào)汽車(chē)，“標(biāo)準(zhǔn)”要求A類物質(zhì)排放量不超過(guò)35mg/km，A，B兩類物質(zhì)排放量之和不超過(guò)50mg/km．已知該型號(hào)某汽車(chē)的A，B兩類物質(zhì)排放量之和原為92mg/km．經(jīng)過(guò)一次技術(shù)改進(jìn)，該汽車(chē)的A類物質(zhì)排放量降低了50%，B類物質(zhì)排放量降低了75%，A，B兩類物質(zhì)排放量之和為40mg/km．判斷這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車(chē)的A類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準(zhǔn)”，并說(shuō)明理由．【分析】設(shè)該汽車(chē)的A類物質(zhì)排放量為xmg/km，則該汽車(chē)的B類物質(zhì)排放量為（92﹣x）mg/km，根據(jù)題意列方程求出x的值，即可求解．【解答】解：這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車(chē)的A類物質(zhì)排放量符合“標(biāo)準(zhǔn)”，理由如下：設(shè)該汽車(chē)的A類物質(zhì)排放量為xmg/km，則該汽車(chē)的B類物質(zhì)排放量為（92﹣x）mg/km，根據(jù)題意得（1﹣50%）x+（1﹣75%）（92﹣x）＝40，解得x＝68，∴這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車(chē)的A類物質(zhì)排放量（1﹣50%）x＝34，∵“標(biāo)準(zhǔn)”要求A類物質(zhì)排放量不超過(guò)35mg/km，∴這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車(chē)的A類物質(zhì)排放量符合“標(biāo)準(zhǔn)”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，解答時(shí)充分理解題意是關(guān)鍵．22．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與y＝﹣kx+3的圖象交于點(diǎn)（2，1）．（1）求k，b的值；（2）當(dāng)x＞2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值既大于函數(shù)y＝kx+b的值，也大于函數(shù)y＝﹣kx+3的值，直接寫(xiě)出m的取值范圍．【分析】（1）先根據(jù)直線y＝﹣kx+3點(diǎn)（2，1）得出k＝1，再將點(diǎn)（2，1）代入y＝x+b，求出b的值；（2）根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）∵直線y＝﹣kx+3點(diǎn)（2，1），∴﹣2k+3＝1，解得k＝1，將點(diǎn)（2，1）代入y＝x+b得：2+b＝1，解得b＝﹣1．（2）∵當(dāng)x＞2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值既大于函數(shù)y＝x﹣1的值，也大于函數(shù)y＝﹣x+3的值，∴m≥1．∴m的取值范圍是m≥1．【點(diǎn)評(píng)】本題是兩條直線相交或平行問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．23．（5分）某學(xué)校舉辦的“青春飛揚(yáng)”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個(gè)階段．（1）初賽由10名教師評(píng)委和45名學(xué)生評(píng)委給每位選手打分（百分制）．對(duì)評(píng)委給某位選手的打分進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．教師評(píng)委打分：2024年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析86889091919191929298b．學(xué)生評(píng)委打分的頻數(shù)分布直方圖如圖（數(shù)據(jù)分6組：第1組82≤x＜85，第2組85≤x＜88，第3組88≤x＜91，第4組91≤x＜94，第5組94≤x＜97，第6組97≤x≤100）：c．評(píng)委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)教師評(píng)委9191m學(xué)生評(píng)委90.8n93根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：①m的值為91，n的值位于學(xué)生評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第4組；②若去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評(píng)委打分的平均數(shù)為，則＜91（填“＞”“＝”或“＜”）；（2）決賽由5名專業(yè)評(píng)委給每位選手打分（百分制）．對(duì)每位選手，計(jì)算5名專業(yè)評(píng)委給其打分的平均數(shù)和方差．平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前.5名專業(yè)評(píng)委給進(jìn)入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是甲，表中k（k為整數(shù)）的值為92．【分析】（1）①根據(jù)眾數(shù)以及中位數(shù)的定義解答即可；②根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的定義求出其余8名教師評(píng)委打分的平均數(shù)，即可得出答案；（2）根據(jù)方差的定義和平均數(shù)的意義求解即可．【解答】解：（1）①由題意得，教師評(píng)委打分中91出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)m＝91．45名學(xué)生評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)是第23個(gè)數(shù)，故n的值位于學(xué)生評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第4組；故答案為：91；4；②若去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評(píng)委打分的平均數(shù)為，則＝×（88+90+91+91+91+91+92+92）＝90.75，∴＜91．故答案為：＜；（2）甲選手的平均數(shù)為×（93+90+92+93+92）＝92，乙選手的平均數(shù)為×（91+92+92+92+92）＝91.8，∵丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，∴丙選手的平均數(shù)大于或等于乙選手的平均數(shù)，∵5名專業(yè)評(píng)委給乙選手的打分為91，92，92，92，92，乙選手的方差S2乙＝×[4×（92﹣91.8）2+（91﹣91.8）2]＝0.16，5名專業(yè)評(píng)委給丙選手的打分為90，94，90，94，k，∴乙選手的方差小于丙選手的方差，∴丙選手的平均數(shù)大于乙選手的平均數(shù)，小于或等于甲選手的平均數(shù)，∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k＞91+92+92+92+92，∴92≥k＞91，∵k為整數(shù)，∴k（k為整數(shù)）的值為92，故答案為：92．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)分布直方圖，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，理解平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的意義和計(jì)算方法是正確解答的前提．24．（6分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．（1）求證：OD∥BC；（2）延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)E，連接CE交OB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．若，PE＝1，求⊙O半徑的長(zhǎng)．【分析】（1）連接AC交OD于H，根據(jù)圓周角定理得到AC⊥BC，根據(jù)角平分線的定義得到∠AOD＝∠COD，根據(jù)垂徑定理得到OD⊥AC，根據(jù)平行線的判定定理得到OD∥BC；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，設(shè)OE＝5x，BC＝6x，求得OH＝BC＝3x，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBP＝90°，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接AC交OD于H，∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥AC，∴OD∥BC；（2）解：∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝，∴設(shè)OE＝5x，BC＝6x，∵AO＝OB，OH∥BC，∴AH＝CH，∴OH＝BC＝3x，∵PB是⊙O的切線，∴∠OBP＝90，∴∠PBO＝∠AHO，∵∠BOP＝∠AOH，∴△AOH∽△POB，∴，∴，∴x＝或x＝0（不合題意舍去），∴OE＝，2024年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析∴⊙O半徑的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，熟練掌握切線的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．25．（5分）小云有一個(gè)圓柱形水杯（記為1號(hào)杯）．在科技活動(dòng)中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和人工智能軟件設(shè)計(jì)了一個(gè)新水杯，并將其制作出來(lái)．新水杯（記為2號(hào)杯）示意圖如圖．當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有VmL水時(shí)，小云分別記錄了1號(hào)杯的水面高度h1（單位：cm）和2號(hào)杯的水面高度h2單位：cm），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：V/mL040100200300400500h1/cm02.55.07.510.012.5h2/cm02.84.87.28.910.511.8（1）補(bǔ)全表格（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）通過(guò)分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫(huà)h1與V，h2與V之間的關(guān)系．在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問(wèn)題：①當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有320mL水時(shí)，2號(hào)杯的水面高度與1號(hào)杯的水面高度的差約為1.2cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；②在①的條件下，將2號(hào)杯中的一部分水倒入1號(hào)杯中，當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，其水面高度約為8.5cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．【分析】（1）觀察表格數(shù)據(jù)可知，h1和V是正比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)解析式，代入求解即可．（2）描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖象即可；（3）由圖象觀察可得出①②的答案．【解答】解：（1）設(shè)h1＝kV，將（100，2.5）代入得：2.5＝100k，解得k＝，∴h1＝V，∵V＝40，∴h1＝1.0，故答案為：1.0．（2）如圖所示，（3）①當(dāng)V＝320ml時(shí)，h1＝8.0cm，由圖象可知相差約為1.2cm．故答案為：1.2．②在①的條件下兩杯相差1.2cm，此時(shí)h1大約是7.9，加上0.6約為8.5cm．故答案為：8.5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象，正確理解題意熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)．若對(duì)于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范圍．【分析】（1）將a＝1代入即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用作差法建立關(guān)于x2和a的不等式，因?yàn)閍不確定，所以要分類討論，再根據(jù)范圍取舍即可．【解答】解：（1）將a＝1代入得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1）；（2）由題得，y1＝a?（3a）2﹣2a2?3a＝3a3，y2＝﹣2a2x2，∵y1＜y2，∴y2﹣y1＝a（﹣2ax2﹣3a2）＝a（x2﹣3a）（x2+a）＞0，①當(dāng)a＞0時(shí)，（x2﹣3a）（x2+a）＞0，∴或，解得x2＞3a或x2＜﹣a，∵3≤x2≤4，∴3a＜3或﹣a＞4，∴a＜1或a＜﹣4，∵a＞0，∴0＜a＜1；②當(dāng)a＜0時(shí)，（x2﹣3a）（x2+a）＜0，∴或，解得3a＜x2＜﹣a，∵3≤x2≤4，∴，解得a＜﹣4，綜上，0＜a＜1或a＜﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、因式分解、解不等式等知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．27．（7分）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），點(diǎn)B，C分別在射線AN，AM上，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°﹣2α得到線段BD，過(guò)點(diǎn)D作AN的垂線交射線AM于點(diǎn)E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在射線AN上時(shí)，求證：C是AE的中點(diǎn)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在∠MAN內(nèi)部時(shí)，作DF∥AN，交射線AM于點(diǎn)F，用等式表示線段EF與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）證明CA＝CD＝CE即可證明點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)；（2）先證明△ABC≌△HBD，得到AC＝DH，再根據(jù)角度計(jì)算得到DG＝AC，從而得出EF和AC的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）證明：連接CD，由題意得：BC＝BD，∠CBD＝180°﹣2α，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，∴，∴∠BDC＝∠A，∴CA＝CD，∵DN⊥AN，∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°，∴∠1＝∠2，∴CD＝CE，∴CA＝CE，∴點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)；（2）解：EF＝2AC，在射線AM上取點(diǎn)H，使得BH＝BA，取EF的中點(diǎn)G，連接DG，∵BH＝BA，∴∠BAH＝∠BHA＝α，∴∠ABH＝180°﹣2α＝∠CBD，∴∠ABC＝∠HBD，∵BC＝BD，∴△ABC≌△HBD（SAS），∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α，∴∠FHD＝∠BHA+∠BHD＝2α，∵DF∥AN，∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°，∵G是AE的中點(diǎn)，∴GF＝GD，EF＝2GD，∴∠GFD＝∠GDF＝α，∴∠HGD＝2α，∴∠HGD＝∠FHD，∴DG＝DH，∵AC＝DH，∴DG＝AC，∴EF＝2AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，外角定理，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1．對(duì)于⊙O的弦AB和不在直線AB上的點(diǎn)C，給出如下定義：若點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′在⊙O上或其內(nèi)部，且∠ACB＝α，則稱點(diǎn)C是弦AB的“α可及點(diǎn)”．（1）如圖，點(diǎn)A（0，1），B（1，0）．①在點(diǎn)C1（2，0），C2（1，2），中，點(diǎn)C2是弦AB的“α可及點(diǎn)”，其中α＝45°；②若點(diǎn)D是弦AB的“90°可及點(diǎn)”，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的最大值為；（2）已知P是直線上一點(diǎn)，且存在⊙O的弦MN，使得點(diǎn)P是弦MN的“60°可及點(diǎn)”．記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，直接寫(xiě)出t的取值范圍．【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離和半徑進(jìn)行比較，確定“α可及點(diǎn)”，再計(jì)算角度；②當(dāng)DH∥x軸時(shí)，點(diǎn)D橫坐標(biāo)最大，進(jìn)行計(jì)算即可；2024年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析（2）分類討論臨界的情況，即可得出取值范圍．【解答】解：（1）①反過(guò)來(lái)思考，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出⊙O關(guān)于AB的對(duì)稱圓⊙O，∵若點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C'在⊙O上或其內(nèi)部，且∠ACB＝α，則稱點(diǎn)C是弦AB的“α可及點(diǎn)”，∴點(diǎn)C應(yīng)在⊙O'的圓內(nèi)或圓上，∵點(diǎn)A（0，1），B（1，0），∴OA＝OB＝1，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，由對(duì)稱得：∠O'BA＝O'AB＝45°，∴△O′BA為等腰直角三角形，∴O'（1，1），設(shè)⊙O半徑為R，則，故C1在⊙O'外，不符合題意；C2O'＝2﹣1＝1＝R，故C2在⊙O'上，符合題意；，故C3在⊙O'外，不符合題意，∴點(diǎn)C2是弦AB的“α可及點(diǎn)”，可知B，O′，C2三點(diǎn)共線，∵，∴，故答案為：C2，45；②取AB中點(diǎn)為H，連接DH，∵∠ADB＝90°，∴HD＝HA＝HB，∴點(diǎn)D在以H為圓心，HA為半徑的AB上方半圓上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)A、B），∴當(dāng)DH∥x軸時(shí)，點(diǎn)D橫坐標(biāo)最大，∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，∴，∴，∵點(diǎn)A（0，1），B（1，0），∴，∴，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的最大值為，故答案為：；（2）反過(guò)來(lái)思考，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)理解，作出⊙O關(guān)于AB的對(duì)稱圓⊙O'，∵若點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′在⊙O上或其內(nèi)部，且∠ACB＝α，則稱點(diǎn)C是弦AB的“α可及點(diǎn)”，∴點(diǎn)C應(yīng)在⊙O'的圓內(nèi)或圓上，∴點(diǎn)P需要在⊙O'的圓內(nèi)或圓上，作出△MPN的外接圓⊙O″，連接O″M，O″N，∴點(diǎn)P在以O(shè)″為圓心，MO″為半徑的上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)M、N），∴∠MO″N＝2∠MPN＝120°，∴∠O″MN＝30°，由對(duì)稱得點(diǎn)O，O'在MN的垂直平分線上，∵△MPN的外接圓為⊙O″，∴點(diǎn)O″也在MN的垂直平分線上，記OO'與NM交于點(diǎn)Q，∴，∴，隨著MN的增大，⊙O'會(huì)越來(lái)越靠近⊙O，當(dāng)點(diǎn)O'與點(diǎn)O″重合時(shí)，點(diǎn)P在⊙O'上，即為臨界狀態(tài)，此時(shí)MN最大，，連接O″P，OP，∵OP≤OO″+O″P，∴當(dāng)MN最大，時(shí)，此時(shí)△MNP為等邊三角形，由上述過(guò)程知，∴，∴當(dāng)r＝1，OP的最大值為2，設(shè)，則，解得：，記直線與⊙O交于T，S，與y軸交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)S作SL⊥x軸，當(dāng)x＝0，，當(dāng)y＝0時(shí)，，解得x＝1，∴與x軸交于點(diǎn)T（1，0），∴，∵OT＝OS，∴△OTS為等邊三角形，∴∠TOS＝60°，∴，∴，∴t的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義，軸對(duì)稱變換，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，解直角三角形，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，已知兩點(diǎn)求距離等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線，找到臨界狀態(tài)情況是解題的關(guān)鍵．1、一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）和常值函數(shù)，它們所對(duì)應(yīng)的圖像是直線；2、反比例函數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的圖像是雙曲線；3、二次函數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的圖像是拋物線。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求點(diǎn)的坐標(biāo)，而求點(diǎn)的坐標(biāo)基本方法是幾何法（圖形法）和代數(shù)法（解析法）。常聽(tīng)人說(shuō)“中考數(shù)學(xué)壓軸題”，特別是18、24、25題，久而久之，都讓大家有點(diǎn)“聞風(fēng)色變”了。

中考既是初中的學(xué)業(yè)結(jié)業(yè)考試，又承擔(dān)著為高中選拔人才的任務(wù)。所以考試性質(zhì)決定了，它不能太難，還必須要有區(qū)分度。

其中，擔(dān)任“篩人”任務(wù)的就是18、24、25這三道壓軸題（上海中考），其他題目，中等水平的