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小學(xué)四年級奧數(shù)專題(三)高斯求和例5在下圖中,每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2,邊長是1根火柴棍。問:(1)最大三角形的面積是多少平方厘米?(2)整個圖形由多少根火柴棍擺成?分析:最大三角形共有8層,從上往下擺時,每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表:由上表看出,各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列,各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列.解:(1)最大三角形面積為(1+3+5+…+15)×12=[(1+15)×8÷2]×12=768(厘米2).(2)火柴棍的數(shù)目為3+6+9+…+24=(3+24)×8÷2=108(根)。答:最大三角形的面積是768厘米2,整個圖形由108根火柴擺成。例6盒子里放有三只乒乓球,一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球,將它變成3只球后放回盒子里;第二次又從盒子里拿出二只球,將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出十只球,將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球?分析與解:一只球變成3只球,實(shí)際上多了2只球.第一次多了2只球,第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后,多了2×1+2×2+…+2×10=2×(1+2+…+10)=2×55=110(只)。加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。綜合列式為:(3—1)×(1+2+…+10)+3=2×[(1+10)×10÷2]+3=113(只)。練習(xí)31.計算下列各題:(1)2+4+6+…+200;(2)17+19+21+…+39;(3)5+8+11+14+…+50;(4)3+10+17+24+…+101.2。求首項是5,末項是93,公差是4的等差數(shù)列的和.3.求首項是13,公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。4。時鐘在每個整點(diǎn)敲打,敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù),每半點(diǎn)鐘也敲一下。問:時鐘一晝夜敲打多少次?5。求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。6。在所有的兩位數(shù)中,十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個?小學(xué)五年級奧數(shù)教案
教學(xué)內(nèi)容:長方形和正方形的周長和面積(探究活動1~3)教學(xué)目標(biāo):1、知識目標(biāo):會利用轉(zhuǎn)化及割補(bǔ)的方法求不規(guī)則圖形的面積和周長。2、能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力及邏輯思維能力.3、情感目標(biāo):滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,在轉(zhuǎn)化的過程中要抓住“變”與“不變”。教學(xué)重點(diǎn):將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖求解教學(xué)難點(diǎn):觀察轉(zhuǎn)化后的“變”與“不變”(形狀、面積發(fā)生變化,但是周長不變)教學(xué)關(guān)鍵:畫圖觀察教具準(zhǔn)備:三角尺,兩個相同的長方形。教學(xué)過程:(40分鐘)一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入(5分鐘)
1、我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過長方形、正方形的周長和面積,請你用字母表示長方形、正方形的周長和面積。
2、看圖:在練習(xí)本上寫出周長和面積
3、匯報.同時了解一下學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握如何。
二、新授(探究1~3)(30分鐘)
(一)、學(xué)習(xí)探究活動1
求ABEFGD的周長和面積。圖形ABEFGD是由一個長方形ABCD和一個正方形CEFG拼成的。AB=10cmBE=10cmDG=4cm1、黑板上畫出圖形.
2、讓學(xué)生默讀幾遍題,要求看圖就能夠說出題中的已知條件和問題.
3、提問:看圖說出題中的已知條件和問題。教師把文字部分擦除.(目的是讓學(xué)生理解題意,為講題打基礎(chǔ),同時也是培養(yǎng)學(xué)生良好的做題習(xí)慣)
4、兩個人互相說題中的已知條件和問題.
5、自己試著解題,教師巡視,了解學(xué)生的做題方法及學(xué)生的水平.
6、匯報同時講解
方法一:直接求:AB=DC
CG=DC-DG=10-4=6cm
BC=10-6=4cm
AD=BC=4cm
ABEFGD周長=AB+BE+EF+GF+DG+AD=10+10+6+6+4+4=40cm
ABEFGD面積=ABCD面積+GCEF面積=10×4+6×6=76cm
方法二:轉(zhuǎn)化后求解
GF=DG'=4cmDG=G'F=6cmABEG'是一個正方形
所以:ABEFGD的周長就是ABEG’的周長=10×4=40cm(轉(zhuǎn)化后周長沒有發(fā)生變化,把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡單的圖形)
不規(guī)則圖形ABEFGD轉(zhuǎn)化為正方形ABEG'后面積卻發(fā)生了變化:增加了長方形DGFG'的面積,因此求ABEFGD的面積要用正方形ABEG'的面積減去長方形DGFG'的面積.
因此ABEFGD面積=ABEG’的面積-DGFG’的面積=10×10-4×6=76cm
7、講解后讓學(xué)生把錯誤的改正過來,同時把黑板上的答案擦除,讓學(xué)生看圖再在練習(xí)本上做一遍此題,加深理解.
8、置疑。(有不明白的地方、或者有其它看法的可以提出來)(二)、學(xué)習(xí)探究活動2
求ABEFGD的周長和面積.兩個相同的長方形,長9cm,寬5cm。1、黑板上畫出圖形。同時用教具演示.
2、讓學(xué)生默讀幾遍題,要求看圖就能夠說出題中的已知條件和問題。
3、提問:看圖說出題中的已知條件和問題。教師把文字部分擦除.
4、兩個人互相說題中的已知條件和問題.
5、自己試著解題,教師巡視,了解學(xué)生的做題方法及學(xué)生的水平。
6、匯報同時講解(因為有了前一道題的基礎(chǔ),所以本題重點(diǎn)讓學(xué)生分析轉(zhuǎn)化后什么沒有變化,什么發(fā)生變化)7、還有其它的解法嗎?因為是兩個完全相同的長方形,因此有很多解法。
如:方法三:9×5×2-5×5
方法四:9×5+4×5(三)、學(xué)習(xí)探究活動3
最小的正方形的面積是多少?圖中有六個正方形,較小的正方形都是由較大的正方形的四邊中點(diǎn)連接而成。已知最大的正方形的邊長是10厘米。那么最小的正方形的面積是多少平方厘米?
1.黑板上畫出圖形。
2。讓學(xué)生默讀幾遍題,要求看圖就能夠說出題中的已知條件和問題。
3。提問:看圖說出題中的已知條件和問題。教師把文字部分擦除.
4。兩個人互相說題中的已知條件和問題。
5。自己試著解題,教師巡視,了解學(xué)生的做題方法及學(xué)生的水平。
6。對于這種題大部分學(xué)生會感覺到束手無策,因此老師要抓住此題的關(guān)鍵,先降低此題的難度。只畫兩個正方形
先求黃色正方形的面積,做輔助線。
學(xué)生可以輕易地求出黃色正方形的
面積是藍(lán)色正方形的面積的一半.
從而找出規(guī)律:連接正方形的中點(diǎn)
所組成的小正方形的面積是大正方
形面積的一半。因此原題的面積可以迎刃而解:10×10÷2÷2÷2÷2÷2=3。125平方厘米
6、置疑.
三、練習(xí)(4分鐘)
P6—---—-——2四、總結(jié)(1分鐘)
本節(jié)課你學(xué)會了什么?掌握了怎么的解體方法?把你學(xué)會的技能跟老對說一說。]奧數(shù)練習(xí):牛頓的“牛吃草問題"(六年級)偉大的科學(xué)家牛頓,曾經(jīng)寫過一本數(shù)學(xué)書。書中有一道非常有名的、關(guān)于牛在牧場上吃草的題目,后來人們就把這類題目稱為“牛頓問題”.
“牛頓問題"是這樣的:“有一牧場,已知養(yǎng)牛27頭,6天把草吃盡;養(yǎng)牛23頭,9天把草吃盡。如果養(yǎng)牛21頭,那么幾天能把牧場上的草吃盡呢?并且牧場上的草是不斷生長的.”
這類題目的一般解法是:把一頭牛一天所吃的牧草看作1,那么就有:
(1)27頭牛6天所吃的牧草為:27×6=162
(這162包括牧場原有的草和6天新長的草。)
(2)23頭牛9天所吃的牧草為:23×9=207
(這207包括牧場原有的草和9天新長的草。)
(3)1天新長的草為:(207-162)÷(9-6)=15
(4)牧場上原有的草為:27×6-15×6=72
(5)每天新長的草足夠15頭牛吃,21頭牛減去15頭,剩下6頭吃原牧場的草:
72÷(21-15)=72÷6=12(天)
所以養(yǎng)21頭牛,12天才能把牧場上的草吃盡.
請你算一算。
有一牧場,如果養(yǎng)25只羊,8天可以把草吃盡;養(yǎng)21只羊,12天把草吃盡。如果養(yǎng)15只羊,幾天能把牧場上不斷生長的草吃盡呢?奧數(shù)講座:第9講盈虧問題在日常生活中常有這樣的問題:一定數(shù)量的物品分給一定數(shù)量的人,每人多一些,物品就不夠;每人少一些,物品就有余.盈虧問題就是在已知虧盈的情況下來確定物品總數(shù)和參加分配的人數(shù)。這是一類典型問題,有很好的對應(yīng)方法。
例1
猴大王對優(yōu)秀小猴獎勵桃子,每只好小猴獎給12桃,桃子總數(shù)不夠,有只好小猴得不到桃;改為每只好小猴獎給10桃,桃子有余,余出的桃還可獎勵3只好小猴。問有多少好小猴及多少桃?
分析
桃子總數(shù)與優(yōu)秀小猴總數(shù)都是確定不變的。按第一種獎勵法,桃子總數(shù)缺12桃。按第二種獎勵法,桃子總數(shù)余
10×3=
3(桃)。總數(shù)之差是由單個好猴的獎勵數(shù)改變引出來的。每只好猴差12—10=2(桃).由要求的總桃數(shù)不同,可求出好猴數(shù),進(jìn)而求出桃的總數(shù)。
解
好猴數(shù)
(12×1+10×3)
÷(12—10)
=
42÷2
=
21(只)
桃子總數(shù)
12×(
21—1)
=
12×20
=240(個)
答
有21只好小猴,240個桃子。
例2
有一隊小朋友到山上去種一批樹,如果每人都種16株,還有24株樹沒有種;如果每人都種19株,還有6株樹沒有種。每人需種多少株樹正好把樹都種完?
分析
樹的總數(shù)與種樹的小朋友人數(shù)是確定的。第一階段與第二階段未種的樹的總數(shù)相差
24-6=18(株)。兩個階段每人種樹數(shù)相差19—16=3(株)。由此確定種樹的人數(shù)就很容易了。人數(shù)算出后,可按第一階段或第二階段的情況計算出樹的總數(shù).然后求每人的平均種樹數(shù)。
解
種樹人數(shù)
(24-6)÷(19-16)
=18÷3
=6(位)
樹的總數(shù)
16×6+
24
=
96+
24
=
120(株)
平均每人種樹
120÷6=20(株)
答
每人需種20株樹正好把樹都種完。小學(xué)二年級課題倒推法解應(yīng)用題、列表法解應(yīng)用題知識點(diǎn)1、用倒推法的方法,根據(jù)加減互逆,乘除互逆的關(guān)系,正確解答.2、運(yùn)用列表法,從條件出發(fā),分析數(shù)量關(guān)系求出問題。教學(xué)目標(biāo)1、分析思考題目所包含的數(shù)量關(guān)系,鍛煉思維的靈活性。2、讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,感學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系,體驗數(shù)學(xué)的價值,增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.3、在探索問題解決方法的過程中,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力,培養(yǎng)主動探索的意識.教學(xué)內(nèi)容第一課時【典型例題】例1、小紅問媽媽多大年齡,媽媽說:“把我的年齡加10,然后乘5,減去25,再除以2,恰巧是100歲?!毙〖t媽媽的年齡是多大?解題策略:題目中最后一步是除以2得100歲,說明除以2前就是100×2=200,減了25是200,那么不減25就是200+25=225,同樣的,不用乘5就是225÷5=45,不加10就是45—10=35,這樣,就得到了小紅媽媽的年齡是35歲.例2、一個數(shù)加上6,乘以6,減去6,除以6,最后結(jié)果是6,這個數(shù)是幾?解題策略:最后一步是除以6得出的6,說明除以6前是6×6=36,減去了6得36,那么不減6前就是36+6=42,同樣,不乘6前是42÷6=7,不加6前是7-6=1。這樣就求出這個數(shù)是1.【畫龍點(diǎn)睛】倒推法是一種很重要的數(shù)學(xué)思維方法,也是分析應(yīng)用題時常用的方法。用倒推法解應(yīng)用題列算式時,經(jīng)常要根據(jù)加減互逆,乘除互逆的關(guān)系,即把原題中的“加”用“減"算,“減"用“加"算,“乘”用“除”算,“除”用“乘”算?!九e一反三】1、一個數(shù)加上5,乘以5,減去5,除以5,最后結(jié)果還是5。這個數(shù)是幾?2、一個數(shù)的5倍加上6,再除以7,結(jié)果是8,求這個數(shù)。3、一個數(shù)加上4,減去4,乘以4,再除以2,結(jié)果是2,求這個數(shù).4、小明爺爺今年的年齡加上15后,縮小4倍,再減去15后,擴(kuò)大10倍,恰好是100歲,小明爺爺今年是多少歲?第二課時:【典型例題】例3:小明今年8歲,媽媽的年齡比小明的4倍還大1歲,爺爺?shù)哪挲g比媽媽的2倍還大1歲.問:三個人的年齡和是多少歲?解題策略:根據(jù)題意列表:三個人年齡和:8+33+67=108(歲)【舉一反三】1、書架有上中下三層,上層有28本書,比中層多6本,比下層少6本,這個書架一共有多少本?2、5個蘋果分別放在三個不同的盤子里,每個盤子至少要有一個,問:共有幾種不同的放法?3、一條毛毛蟲從幼蟲長成成蟲,
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