六節(jié)公式通量與散度_第1頁
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文檔簡介

一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有的整個邊界曲面的外側(cè).11.6高斯公式通量與散度定理11.5高斯(Gauss)公式11.6.1高斯(Gauss)公式

高斯公式常用形式其中

向量的方向余弦.處的外法解

例1計算其中Σ為三個坐標面與平面圍成的四面體的外表面?zhèn)?例2計算其中Σ為解

的外側(cè).不能直接用高斯公式.點(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.可先用曲面方程將被積因被積函數(shù)中的函數(shù)化簡，例3

計算曲面積分其中Σ為錐面介于平面及之間的部分的下側(cè).解曲面不是封閉曲面,為利用高斯公式,取上側(cè),故11.6.2通量與散度現(xiàn)進一步解釋高斯公式的物理意義

可以理解為穩(wěn)恒流動的不可壓縮流體(假定密度為1)的速度場.設(shè)是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量,指向Σ的外側(cè).則可以理解為單位時間內(nèi)穿過Σ流向指定側(cè)的流量,記為Ф.

說明流出Σ的流體的質(zhì)量多于流入的,表明Σ內(nèi)有“源”;說明流出Σ的流體的質(zhì)量少于流入的,表明Σ內(nèi)有“漏”;說明流出與流入的流體的質(zhì)量相等.用Ω的體積V去除上式兩端,得此式表示單位時間內(nèi),單位體積所流出的流體由積分中值定理,當Ω向內(nèi)不斷收縮逐漸成一點M時,取極限得質(zhì)量的積分平均值.即點M的源頭強度.

體積的變化率,反映了流速場在點M流量對定義11.6為向量場,設(shè)其中P、Q、R具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),其指向外側(cè)的單位Σ是場內(nèi)的一有向封閉曲面,法向量即向曲面Σ的通量.

稱為向量場通過有記為在點M的散度,稱為向量場

散度是通量對體積的變化率,體現(xiàn)了流速場在點向外散發(fā)流體的能力.表明點M有正源,即流體的確是離開點M表明點M有負源,即流體是由點M周圍向周圍擴散;表明點M無源.向點M匯集;高斯公式可寫成下面由散度的表達式引進一個記號

其中,

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