2025屆青海省青海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆青海省青海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒?dòng)標(biāo)識(shí)（圖1），標(biāo)識(shí)由黨徽、數(shù)字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動(dòng)展現(xiàn)中國(guó)共產(chǎn)黨團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)中國(guó)人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程.其中“100”的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切（圖2）.已知，在兩大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.2．已知橢圓的短軸長(zhǎng)和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.3．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是A. B.C. D.4．，，，，設(shè)，則下列判斷中正確的是（）A. B.C. D.5．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）7．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為（）A. B.C. D.8．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.9．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A.90 B.30C.70 D.4010．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有，若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，若的值是A.15 B.16C.17 D.1812．某地為應(yīng)對(duì)極端天氣搶險(xiǎn)救災(zāi)，需調(diào)用A，B兩種卡車，其中A型卡車x輛，B型卡車y輛，以備不時(shí)之需，若x和y滿足約束條件則最多需調(diào)用卡車的數(shù)量為（）A.7 B.9C.13 D.14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________14．已知圓C：和點(diǎn)，若點(diǎn)N為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面上一點(diǎn)且，則Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為______15．設(shè)數(shù)列滿足且，則________.數(shù)列的通項(xiàng)=________.16．設(shè)橢圓，點(diǎn)在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）設(shè)，求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，試說明理由18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最大值及相應(yīng)的的值.19．（12分）如圖，在四棱錐中，，為的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.20．（12分）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，且，為的中點(diǎn)（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由21．（12分）已知命題p：函數(shù)有零點(diǎn)；命題，（1）若命題p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22．（10分）為了解某校今年高一年級(jí)女生的身體素質(zhì)狀況，從該校高一年級(jí)女生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲鉛球”的項(xiàng)目測(cè)試，成績(jī)低于5米為不合格，成績(jī)?cè)?至7米（含5米不含7米）的為及格，成績(jī)?cè)?米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學(xué)生的成績(jī)?cè)?米到11米之間(1)求實(shí)數(shù)的值及參加“擲鉛球”項(xiàng)目測(cè)試的人數(shù)；(2)若從此次測(cè)試成績(jī)最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項(xiàng)目的測(cè)試，求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出兩圓相交公共部分兩個(gè)弓形面積，結(jié)合兩圓面積可得概率【詳解】如圖，是兩圓心，是兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形邊長(zhǎng)均為，又，所以，所以，四邊形是正方形，，弓形面積為，兩個(gè)弓形面積為，兩圓涉及部分面積為所以所求概率為故選：B2、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A3、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系【詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，（3），即，，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題4、D【解析】通過湊配構(gòu)造的方式，構(gòu)造出新式子，且可以化簡(jiǎn)為整數(shù)，然后利用放縮思想得到S的范圍.【詳解】解：，，，，，；，.故選：D5、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.6、C【解析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量坐標(biāo)，即可求解.【詳解】設(shè)，，，所以，，，解得：，，，即.故選：C7、A【解析】令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷其單調(diào)性，從而可解不等式.【詳解】設(shè)，則，故為上的增函數(shù)，而可化為即，故即，所以不等式的解集為，故選：A.8、D【解析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.9、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出答案.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，則，則.故選：D10、C【解析】設(shè)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，又，，，即可得出答案【詳解】解：設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，，因?yàn)?，所以，所?故選：C11、C【解析】由已知直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解【詳解】在等差數(shù)列{an}中，由a1+a2+a3=3，得3a2=3，即a2=1，又a5=9，∴a8=2a5-a2=18-1=17故選C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題12、B【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】設(shè)調(diào)用卡車的數(shù)量為z，則，其中x和y滿足約束條件，作出可行域如圖所示：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時(shí)，縱截距最大，最大.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】先根據(jù)圖像的對(duì)稱性找出整點(diǎn)，再判斷是否還有其他的整點(diǎn)在曲線上；找出曲線上離原點(diǎn)距離最大的點(diǎn)的區(qū)域，再由基本不等式得到最大值不超過；在心形區(qū)域內(nèi)找到一個(gè)內(nèi)接多邊形，該多邊形的面積等于3，從而判斷出“心形”區(qū)域的面積大于3.【詳解】①:由于曲線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由于圖形的對(duì)稱性可知，沒有其他的整點(diǎn)在曲線上，故曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)：,,,,,,所以①正確；②:由圖知，到原點(diǎn)距離的最大值是在時(shí)，由基本不等式，當(dāng)時(shí)，，所以即，所以②正確；③:由①知長(zhǎng)方形CDFE的面積為2，三角形BCE的面積為1，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②.【點(diǎn)睛】找準(zhǔn)圖形的關(guān)鍵信息，比如對(duì)稱性，整點(diǎn)，內(nèi)接多邊形是解決本題的關(guān)鍵.14、【解析】設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，探求出點(diǎn)Q的軌跡，再求出軌跡上在x軸上方且距離x軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)表達(dá)式，借助函數(shù)最值計(jì)算作答.【詳解】圓C：的圓心，半徑，圓C與x軸相切，依題意，點(diǎn)M在圓C上，設(shè)點(diǎn)，則，線段MN中點(diǎn)，因，則點(diǎn)Q的軌跡是以線段MN為直徑的圓(除點(diǎn)M，N外)，這個(gè)軌跡在x軸上方，于是得這個(gè)軌跡上的點(diǎn)到x軸的最大距離為：令，于是得，當(dāng)，即時(shí)，，所以Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：圓上的點(diǎn)到定直線距離的最大值等于圓心到該直線距離加半徑.15、①.5②.【解析】設(shè)，根據(jù)題意得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得，得到，利用，結(jié)合“累加法”，即可求得.【詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，所以當(dāng)時(shí)，，，解得，設(shè)，則，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，可得，其中也滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：；.16、【解析】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡(jiǎn)，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，將代入中得，，化簡(jiǎn)整理得，令，化簡(jiǎn)整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，3【解析】(1)結(jié)合遞推關(guān)系可證得bn+1－bn1，且b1＝1，可證數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合通項(xiàng)公式裂項(xiàng)有求和有，再結(jié)合條件可得，即求【詳解】（1）證明：∵，又由a1＝2，得b1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以bn＝1+(n－1)×1＝n，由，得（2）解：∵，，所以，依題意，要使對(duì)于n∈N*恒成立，只需，解得m≥3或m≤-4又m＞0，所以m≥3，所以正整數(shù)m的最小值為318、（1）（2）當(dāng)或時(shí)，有最大值是20【解析】（1）用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.（2）用等差數(shù)列的求和公式即可.【小問1詳解】在等差數(shù)列中，∵,∴，解得，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴當(dāng)或時(shí)，有最大值是2019、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，而，所以四邊形是平行四邊形，因此，因?yàn)椋?，為的中點(diǎn)，所以，，而，因?yàn)?，所以，而平面，所以平面；【小?詳解】根據(jù)（1），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，于是有：，則平面的法向量為：，設(shè)平面的法向量為：，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，所以.20、（1）（2）存在，點(diǎn)為線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【解析】（1）根據(jù)題意證得平面，進(jìn)而證得平面，得到平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，求得平面的法向量為，結(jié)合向量的距離公式列出方程，求得的值，即可得到答案.【小問1詳解】解：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，，由，，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又由，，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，由平面，且，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，易得平面的法向量為，則，由平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，解得，即或因?yàn)?，所以故?dāng)點(diǎn)為線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求p為真時(shí)a的取值范圍，根據(jù)的性質(zhì)判斷與有交點(diǎn)求q為真時(shí)a的取值范圍，進(jìn)而求p，q均為真時(shí)a的取值范圍.（2）根據(jù)復(fù)合命題的真假可得p，q一真一假，討論p、q的真假分別求a的取值范圍，最后取并集即可.【小問1詳解】若p為真，，解得或，所以若q為真，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，故，所以若p，q均為真命題，a的取值范圍為【小問2詳解】由題設(shè)，易知：p，q兩命題一真一假當(dāng)p真q假時(shí)，p為真，則或，q為假，則或，此時(shí)a的取值范圍為；當(dāng)p假q真時(shí)，p為假，則，q為真，則，此時(shí)a的取值范圍為綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.22、（1）0.05，40；（2）【解析】（1）因?yàn)橛深l率分布直方圖可得共五組的頻率和為1所以可得一個(gè)關(guān)于的等式，即可求出的值.再根據(jù)已知有4名學(xué)生的成績(jī)?cè)?米到11米之間，可以求出本次參加“擲鉛球”項(xiàng)目測(cè)試的人數(shù).本小題要根據(jù)所給的圖表及直方圖作答，頻率的計(jì)算易漏