湖南省長沙市開福區(qū)長沙一中2025屆高二數(shù)學第一學期期末檢測試題含解析

湖南省長沙市開福區(qū)長沙一中2025屆高二數(shù)學第一學期期末檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓和橢圓．直線與圓交于、兩點，與橢圓交于、兩點．若時，的取值范圍是，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.2．如圖所示，過拋物線的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.3．命題“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使4．已知實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為（）A.10 B.8C.4 D.205．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，分別帶著A、B、C、D、E五個不同的禮物參加“抽盲盒”學游戲，先將五個禮物分別放入五個相同的盒子里，每位同學再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學拿到自己禮物的概率為（）A. B.C. D.6．設是雙曲線的一個焦點，，是的兩個頂點，上存在一點，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點，則的漸近線方程為A. B.C. D.7．將點的極坐標化成直角坐標是(

)A. B.C. D.8．設直線與雙曲線（，）的兩條漸近線分別交于，兩點，若點滿足，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.9．在正四面體中，棱長為2，且E是棱AB中點，則的值為A. B.1C. D.10．某商場為了解銷售活動中某商品銷售量與活動時間之間的關系，隨機統(tǒng)計了某次銷售活動中的商品銷售量與活動時間，并制作了下表：活動時間銷售量由表中數(shù)據(jù)可知，銷售量與活動時間之間具有線性相關關系，算得線性回歸方程為，據(jù)此模型預測當時，的值為（）A B.C. D.11．下列說法錯誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內有零點”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為912．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，線段的垂直平分線過，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A. B.3C.6 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．歐陽修在《賣油翁》中寫道：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為4cm的圓，中間有邊長為1cm的正方形孔，若你隨機地向銅錢上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中的概率是_______14．求值______.15．已知拋物線C：的焦點為F，過M（4，0）的直線交C于A、B兩點，設，的面積分別為、，則的最小值為______16．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，且，則_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線及直線（1）若與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍（2）若與交于，兩點，且線段中點的橫坐標為，求線段的長18．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，，的中點（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值19．（12分）雙曲線（，）的離心率，且過點.（1）求a，b的值；（2）求與雙曲線C有相同漸近線，且過點的雙曲線的標準方程.20．（12分）如圖，已知雙曲線，過向雙曲線作兩條切線，切點分別為，，且.（1）證明：直線的方程為.（2）設為雙曲線的左焦點，證明：.21．（12分）已知展開式中，第三項的系數(shù)與第四項的系數(shù)相等（1）求n的值；（2）求展開式中有理項的系數(shù)之和（用數(shù)字作答）22．（10分）已知函數(shù)，滿足，已知點是曲線上任意一點，曲線在處的切線為.（1）求切線的傾斜角的取值范圍；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題設，根據(jù)圓與橢圓的對稱性，假設在第一象限可得，結合已知有，進而求橢圓的離心率.【詳解】由題設，圓與橢圓的如下圖示：又時，的取值范圍是，結合圓與橢圓的對稱性，不妨假設在第一象限，∴從0逐漸增大至無窮大時，，故，∴故選：C.2、A【解析】分別過點作準線的垂線，分別交準線于點，,設，推出；根據(jù)，進而推導出，結合拋物線定義求出；最后由相似比推導出，即可求出拋物線的方程.【詳解】如圖分別過點作準線的垂線，分別交準線于點，,設與交于點.設，,，由拋物線定義得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以拋物線的方程為.故選：A3、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得正確答案【詳解】存在量詞命題的否定，只需把存在量詞改成全稱量詞，并把后面的結論否定，所以“，使”的否定為“，有”，故選：B.4、A【解析】根據(jù)約束條件作出可行域，再將目標函數(shù)表示的一簇直線畫出向可行域平移即可求解.【詳解】作出可行域，如圖所示轉化為，令則，作出直線并平移使它經(jīng)過可行域點，經(jīng)過時，，解得，所以此時取得最大值，即有最大值，即故選：A.5、D【解析】利用排列組合知識求出每位同學再分別隨機抽取一個盒子，恰有一位同學拿到自己禮物的情況個數(shù)，以及五人抽取五個禮物的總情況，兩者相除即可.【詳解】先從五人中抽取一人，恰好拿到自己禮物，有種情況，接下來的四人分為兩種情況，一種是兩兩一對，兩個人都拿到對方的禮物，有種情況，另一種是四個人都拿到另外一個人的禮物，不是兩兩一對，都拿到對方的情況，由種情況，綜上：共有種情況，而五人抽五個禮物總數(shù)為種情況，故恰有一位同學拿到自己禮物的概率為.故選：D6、C【解析】根據(jù)圖形的幾何特性轉化成雙曲線的之間的關系求解.【詳解】設另一焦點為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質，屬于中檔題.7、A【解析】本題考查極坐標與直角坐標互化由點M的極坐標，知極坐標與直角坐標的關系為，所以的直角坐標為即故正確答案為A8、C【解析】先求出，的坐標，再求中點坐標，利用點滿足，可得，從而求雙曲線的離心率.【詳解】解:由雙曲線方程可知，漸近線為，分別于聯(lián)立，解得：，，所以中點坐標為，因為點滿足，所以，所以，即，所以.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題.9、A【解析】根據(jù)題意，由正四面體的性質可得：，可得，由E是棱中點，可得，代入，利用數(shù)量積運算性質即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質可得：可得：是棱中點故選：【點睛】本題考查空間向量的線性運算，考查立體幾何中的垂直關系，考查轉化與化歸思想，屬于中等題型.10、C【解析】求出樣本中心點的坐標，代入回歸直線方程，求出的值，再將代入回歸方程即可得解.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，將樣本中心點的坐標代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，故當時，.故選：C.11、C【解析】對于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；對于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對于C：判斷出“”是“函數(shù)在內有零點”的充分不必要條件，即可判斷；對于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對于C：“函數(shù)在內有零點”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內有零點”的充分不必要條件.故C錯誤；對于D：已知，且，所以（當且僅當，即時取等號）故D正確.故選：C12、C【解析】利用橢圓和雙曲線的性質，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示，再利用均值不等式得到答案【詳解】設橢圓長軸，雙曲線實軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，.，，當且僅當時取等號，的最小值為6，故選：C【點睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別求出圓和正方形的面積，結合幾何概型的面積型計算公式進行求解即可.【詳解】因為銅錢的面積為，正方形孔的面積為，所以隨機地向銅錢上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中的概率是.故答案為：【點睛】本題考查了幾何概型計算公式，考查了數(shù)學運算能力,屬于基礎題.14、【解析】將原式子變形為：，將代入變形后的式子得到結果即可.【詳解】將代入變形后的式子得到結果為故答案為：15、【解析】設直線的方程為，，與拋物線的方程聯(lián)立整理得，由三角形的面積公式求得，再根據(jù)基本不等式可得答案.【詳解】解：由拋物線C：得焦點，又直線交C于A、B兩點，所以直線的斜率不為0，則設直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，又，，所以，又，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.16、【解析】代入，展開整理得，①化為，與①式相加得，轉化為關于的方程，求解即可得出結論.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡求值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）且；（2）【解析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用方程組與兩個交點，求出k的范圍（2）設交點A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理以及弦長公式求解即可【詳解】（1）聯(lián)立y=2可得∵與有兩個不同的交點，且，且（2）設，由（1）可知，又中點的橫坐標為，，或又由（1）可知，為與有兩個不同交點時，18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別表示出B、D、E、F點的坐標，然后通過計算向量數(shù)量積來進行證明；（2）由第（1）建立的空間直角坐標系，分別表示出對應點的坐標，然后計算平面與平面的法向量，然后通過法向量去計算兩平面所成的銳二面角即可.【小問1詳解】如圖，以為坐標原點，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，由，，，分別為，，的中點，則，，證明：因為，，所以，所以【小問2詳解】設平面的法向量為，因為，，所以，令，得設平面的法向量為，則令，得因為所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件建立關于a、b、c的方程組可解；（2）巧設與已知雙曲線同漸近線的雙曲線方程為可得.【小問1詳解】因為離心率，所以.又因為點在雙曲線C上，所以.聯(lián)立上述方程，解得，，即，.【小問2詳解】設所求雙曲線的方程為，由雙曲線經(jīng)過點，得，即.所以雙曲線的方程為，其標準方程為.20、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設出切線方程，聯(lián)立后用韋達定理及根的判別式進行表達出A的橫坐標與縱坐標，進而表達出直線的方程，化簡即為結果；（2）再第一問的基礎上，利用向量的夾角公式表達出夾角的余弦值，進而證明出結論.【小問1詳解】顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立得，則，化簡得.因為方程有兩個相等實根，故切點A的橫坐標，得，則，故，則，即.【小問2詳解】同理可得，又與均過，所以.故，，，又因為，所以，則，，故，故.【點睛】圓錐曲線中證明角度相關的問題，往往需要轉化為斜率或向量進行求解.21、（1）8；（2）.【解析】（1）由題設可得，進而寫出第三、四項的系數(shù)，結合已知列方程求n值即可.（2）由（1）有，確定有理項的對應k值，進而求得對應項的系數(shù)，即可得結果.小問1詳解】由題意，二項式展開式的通項公式所以第三項系數(shù)為，第四項系數(shù)為，由，解得，即n的值為8【小問2詳解】由（1）知：當，3，6時，對應的是有理項當時，展開式中對應的有理項為；當時，展開式中對應的有理項為；當時，展開式中對應的有理項為；故展開式中有理項的