河南省九師聯(lián)盟商開大聯(lián)考2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

河南省九師聯(lián)盟商開大聯(lián)考2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知長方體的底面ABCD是邊長為4的正方形，長方體的高為，則與對角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.2．三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD，BC的中點(diǎn)，BE，DH的交點(diǎn)為G，則的化簡結(jié)果為（）A. B.C. D.3．過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，若的最大值為3，則（）A.3 B.C. D.5．設(shè)函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.6．?dāng)?shù)列中，，，則（）A.32 B.62C.63 D.647．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點(diǎn)P滿足，則（）A. B.1C. D.28．某軟件研發(fā)公司對某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是對軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是1，且，.記數(shù)列的前項(xiàng)和、前項(xiàng)積分別為，，若，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.59．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.10．某雙曲線的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.11．金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體．若某金剛石的棱長為2，則它的體積為（）A. B.C. D.12．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______14．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于A，B兩點(diǎn).若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為___________.15．如圖，已知橢圓E的方程為(a>b>0)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，B，C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓的離心率等于________16．已知矩形的長為2，寬為1，以該矩形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）球形物體天然萌，某食品廠沿襲老字號(hào)傳統(tǒng)，獨(dú)家制造并使用球形玻璃瓶用于售賣酸梅湯，其中瓶子的制造成本c（分）與瓶子的半徑r（cm）的平方成正比，且當(dāng)cm時(shí)，制造成本c為3.2π分，已知每出售1mL的酸梅湯，可獲得0.2分，且制作的瓶子的最大半徑為6cm（1）寫出每瓶酸梅湯的利潤y與r的關(guān)系式（提示：）；（2）瓶子半徑多大時(shí)，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大為多少？（結(jié)果用含π的式子表示）18．（12分）某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池（不計(jì)厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）（1）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大19．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求的取值范圍，并證明：20．（12分）三棱錐中，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)在線段上.（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，滿足，點(diǎn)滿足，求實(shí)數(shù)使得二面角的余弦值為.21．（12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓上，過點(diǎn)P作軸的垂線，垂足為Q且.（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；（2）直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩不同的點(diǎn)A、B，T為線段AB的中點(diǎn).線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長為4的正方形，，∴，，，因?yàn)?，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對角面所成角的正弦值為故選：C.2、D【解析】依題意可得為的重心，由三角形重心的性質(zhì)可知，由中位線定理可知，再利用向量的加法運(yùn)算法則即可求出結(jié)果【詳解】解：依題意可得為的重心，，，分別為邊，和的中點(diǎn)，，，故選：D3、D【解析】求出直線直線過的定點(diǎn)A，由題意可知垂足是落在以O(shè)A為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過定點(diǎn),由過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，可知：落在以O(shè)A為直徑的圓上，而以O(shè)A為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而圓過原點(diǎn)，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，但將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線中，不成立，即直線l不過原點(diǎn)，所以不可能和原點(diǎn)重合，故，故選：D4、D【解析】由于，，為正數(shù)，且，所以利用基本不等式可求出結(jié)果【詳解】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，所以，則，所以，所以故選：D.5、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在的單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，而，所?因?yàn)?，且，所?即.故選：A6、C【解析】把化成，故可得為等比數(shù)列，從而得到的值.【詳解】數(shù)列中，，故，因?yàn)椋?，故，所以，所以為等比?shù)列，公比為，首項(xiàng)為.所以即，故，故選C.【點(diǎn)睛】給定數(shù)列的遞推關(guān)系，我們常需要對其做變形構(gòu)建新數(shù)列（新數(shù)列的通項(xiàng)容易求得），常見的遞推關(guān)系和變形方法如下：（1），取倒數(shù)變形為；（2），變形為，也可以變形為；7、D【解析】設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合點(diǎn)P的唯一性有求參數(shù)a，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖空間直角坐標(biāo)系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點(diǎn)P滿足，所以，則，故，可得，此時(shí)，所以.故選：D8、C【解析】先利用序列的所有項(xiàng)都是1，得到，整理后得到是等比數(shù)列，進(jìn)而求出公比和首項(xiàng)，從而求出和，利用，列出不等式，求出，從而得到的最小值【詳解】因?yàn)?，，所以，又序列的所有?xiàng)都是1，所以它的第項(xiàng)，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，，所以公比，.所以，，，要，即，即，所以，所以，，所以最小值為4.故選：C.9、D【解析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算公式化簡可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以，，所以，故選：D10、D【解析】設(shè)雙曲線的方程為，利用焦點(diǎn)為求出的值即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，所以可設(shè)雙曲線的方程為，則，，所以該雙曲線方程為.故選：D.11、C【解析】由幾何關(guān)系先求出一個(gè)正四面體的高，再結(jié)合錐體體積公式即可求解正八面體的體積.【詳解】如圖，設(shè)底面中心為，連接，由幾何關(guān)系知，，則正八面體體積為.故選：C12、C【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)即可知答案.【詳解】由點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則對稱點(diǎn)坐標(biāo)為該點(diǎn)對應(yīng)坐標(biāo)的相反數(shù)，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出兩函數(shù)在上的值域，再由已知條件可得，且，列不等式組可求得結(jié)果【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，由，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，，使得，所以，解得，故答案為?4、【解析】過F作，利用點(diǎn)到直線距離可求出，再根據(jù)勾股定理可得，，由可得，即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖，過F作，則E是AB中點(diǎn)，設(shè)漸近線為，則，則在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，則，即，即，則，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是分別表示出，，由建立關(guān)系.15、【解析】首先利用橢圓的對稱性和為平行四邊形，可以得出、兩點(diǎn)是關(guān)于軸對稱，進(jìn)而得到；設(shè)，，，從而求出，然后由，利用，求得，最后根據(jù)得出離心率【詳解】解：是與軸重合的，且四邊形為平行四邊形，所以、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，、的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，、兩點(diǎn)是關(guān)于軸對稱的由題知：四邊形為平行四邊形，所以可設(shè)，，代入橢圓方程解得：設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形對點(diǎn)：解得：根據(jù)：得：故答案為：16、或##或【解析】分兩種情況進(jìn)行解答，①以邊長為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)，②以邊長為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)．進(jìn)行解答即可【詳解】解：①以邊長為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)，表面積兩個(gè)底面積側(cè)面積，即：，②以邊長為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)，表面積兩個(gè)底面積側(cè)面積，即：，故答案為：或三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）當(dāng)時(shí)，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π【解析】（1）直接由條件寫出關(guān)系式即可；（2）直接求導(dǎo)確定單調(diào)性后，求出最大值即可.【小問1詳解】設(shè)瓶子的制造成本c與瓶子的半徑r的平方成正比的比例系數(shù)等于k，則瓶子的制造成本，由題意，當(dāng)時(shí)，∴，即瓶子的制造成本∴每瓶酸梅湯的利潤是，∴每瓶酸梅湯的利潤關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式為：，【小問2詳解】由（1）知，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π.18、（1）V（r）=（300r﹣4r3）（0，5）（2）見解析【解析】（1）先由圓柱的側(cè)面積及底面積計(jì)算公式計(jì)算出側(cè)面積及底面積，進(jìn)而得出總造價(jià)，依條件得等式，從中算出，進(jìn)而可計(jì)算，再由可得；（2）通過求導(dǎo)，求出函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出取得最大值時(shí)的值.（1）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為元，底面積成本為元∴蓄水池的總建造成本為元所以即∴∴又由可得故函數(shù)的定義域?yàn)椋?）由（1）中，可得（）令，則∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)該蓄水池的體積最大考點(diǎn)：1.函數(shù)的應(yīng)用問題；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).19、（1）答案見詳解（2），證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)得，，分類討論參數(shù)a的范圍即可判斷單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，聯(lián)立整理得，構(gòu)造得，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而得證.小問1詳解】由，，可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【小問2詳解】證明：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）得，此時(shí)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，有極小值.所以，可得,所以.由（1）可得的極小值點(diǎn)為，則不妨設(shè).設(shè)，，則則，即，整理得，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，，則且，，平面，所以為直線與平面所成的線面角，即，，故，，，平面，平面，因此，.【小問2詳解】解：設(shè)，由（1）可知且，，因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，則，由已知可得，解得.當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角為銳角，合乎題意.綜上所述，.21、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，借助向量運(yùn)算表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓O的方程計(jì)算作答.(2)在直線的斜率存在時(shí)設(shè)出其方程，與軌跡E的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理表示出，再利用二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算得解，然后計(jì)算直線的斜率不存在的值作答.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因，則有，又點(diǎn)P在圓上，即，所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程是.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，因直線與圓相切，則，即，而時(shí)，直線與橢圓E相切，不符合題意，因此，由消去x并整理得：，設(shè)，則，而點(diǎn)T是線段AB中點(diǎn)，則有：，令，則，而