2025屆河北省雄安新區(qū)博奧高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆河北省雄安新區(qū)博奧高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系中，線段的兩端點(diǎn)，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動(dòng)，若圓上存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則線段長度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.102．已知集合A=（）A. B.C.或 D.3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A B.C. D.4．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線為，，過的直線與垂直，且交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.5．兩條平行直線與之間的距離為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7．若，則圖像上的點(diǎn)的切線的傾斜角滿足（）A.一定為銳角 B.一定為鈍角C.可能為 D.可能為直角8．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是雙曲線在第二象限的部分上一點(diǎn)，且，點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，且，Q關(guān)于直線PA對(duì)稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.9．設(shè)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足，若，則（）A. B.C. D.a，b的大小無法判斷10．命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對(duì)值不是正數(shù).則下列結(jié)論正確的是（）A.：任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)，為假命題B.：任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值不是正數(shù)，為假命題C.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)，為真命題D.：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是負(fù)數(shù)，為真命題11．已知橢圓的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若橢圓C上存在一點(diǎn)A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有極大值16D.函數(shù)有最小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列或嚴(yán)格遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a取值范圍是______14．橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是________15．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為______16．直線的傾斜角為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新冠肺炎疫情期間，某地為了解本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機(jī)抽取了1500名居民進(jìn)行評(píng)分（滿分100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方圖．滿意度評(píng)分滿意度等級(jí)不滿意基本滿意滿意非常滿意（1）求a的值；（2）定義滿意度指數(shù)，若，則防疫工作需要進(jìn)行調(diào)整，否則不需要調(diào)整，根據(jù)所學(xué)知識(shí)判斷該區(qū)防疫工作是否需要進(jìn)行調(diào)整？18．（12分）分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在y軸，短軸長為2，離心率為；（2）短軸一端點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)，連線所構(gòu)成的三角形為等邊三角形19．（12分）已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點(diǎn)（1）若線段的中點(diǎn)為，求的值；（2）若，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值20．（12分）已知，，其中.（1）求的值；（2）設(shè)（其中、為正整數(shù)），求的值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)（1）求的定義域和導(dǎo)函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)，都有成立，且存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】首先求點(diǎn)的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點(diǎn)，即根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有交點(diǎn)，所以，，即，解得：，所以線段長度的最小值為.故選：C2、A【解析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：A.3、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，故.故選：B.4、C【解析】由題設(shè)易知是的中垂線，進(jìn)而可得，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系及離心率公式求雙曲線的離心率即可.【詳解】由題意，是的中垂線，故，由對(duì)稱性得，則，故，∴.故選：C.5、D【解析】由已知有，所以直線可化為，利用兩平行直線距離公式有，選D.點(diǎn)睛：本題主要考查兩平行直線間的距離公式，屬于易錯(cuò)題．在用兩平行直線距離公式時(shí)，兩直線中的系數(shù)要相同，不然不能用此公式計(jì)算6、D【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出的單調(diào)性，由此化簡(jiǎn)不等式來求得不等式的解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.，，，或.即不等式的解集為.故選：D7、C【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得出結(jié)論【詳解】，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，而，所以切線斜率可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)，還可以為0，則傾斜角可為銳角，也可為鈍角，還可以為，當(dāng)時(shí)，斜率不存在，而存在，則不成立.故選：C8、C【解析】由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C9、A【解析】首先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，即，所以，那么，即.故選：A10、A【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷，再利用特殊值判斷命題的真假；【詳解】解：因?yàn)槊}p“存在一個(gè)實(shí)數(shù)﹐它的絕對(duì)值不是正數(shù)”為存在量詞命題，其否定為“任意實(shí)數(shù)，它的絕對(duì)值是正數(shù)”，因?yàn)?，所以為假命題；故選：A11、C【解析】根據(jù)題意可知當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，即可滿足橢圓C上存在一點(diǎn)A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知，當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，故只需即可滿足題意，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則只需,即有，所以，解得，故選：C12、C【解析】對(duì)求導(dǎo)，研究的單調(diào)性以及極值，再結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，由，得或，由，得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以極大值為，極小值為，所以有3個(gè)零點(diǎn)，且無最小值.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)數(shù)列遞增和遞減的定義求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列或嚴(yán)格遞減數(shù)列，所以.若數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列，則，即，即恒成立，故；若數(shù)列是嚴(yán)格遞減數(shù)列，則，即，即恒成立，由，故；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：14、2x＋4y－3＝0【解析】設(shè)弦端點(diǎn)為，又A，B在橢圓上，、即直線AB的斜率為直線AB的方程為，.15、【解析】求出圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，從而求出對(duì)稱圓的方程.【詳解】圓心為，半徑為1，設(shè)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，故對(duì)稱點(diǎn)為，故圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為.故答案為：16、【解析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出【詳解】設(shè)直線的傾斜角為由直線化為，故，又，故，故答案為【點(diǎn)睛】一般地，如果直線方程的一般式為，那么直線的斜率為，且，其中為直線的傾斜角，注意它的范圍是三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）不需要【解析】（1）直接根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算平均值得到得到答案.【小問1詳解】，解得.【小問2詳解】.故不需要進(jìn)行調(diào)整.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)短軸長和離心率求出，，從而求出橢圓方程；（2）短軸端點(diǎn)與焦點(diǎn)相連所得的線段長即為，從而求出，得到橢圓方程.【小問1詳解】設(shè)橢圓方程為，則，，則，解得:，則該橢圓的方程為【小問2詳解】設(shè)橢圓方程為，由題得：，，則，則該橢圓的方程為19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法即可求出的值；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫韋達(dá)；根據(jù)，求出，從而可證明原點(diǎn)到直線的距離為定值【小問1詳解】設(shè)，則，，兩式相減，得，即，所以，即，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，即；【小問2詳解】設(shè)斜率為的直線為，，由，得，所以，，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，即，所以，原點(diǎn)到直線的距離為.所以原點(diǎn)到直線的距離為定值.20、（1）；（2）.【解析】（1），，寫出的展開式通項(xiàng)，由可得出關(guān)于的方程，解出的值，再利用賦值法可求得所求代數(shù)式的值；（2）寫出的展開式，求出、的值，即可求得的值.【小問1詳解】解：設(shè)，，的展開式通項(xiàng)為，所以，，即，，解得，所以，.【小問2詳解】解：，，，因此，21、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）利用平面與平面垂直的性質(zhì)得出直線與平面垂直，進(jìn)而得出平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為且平面中，所以平面又平面所以又，且所以平面【小問2詳解】解：由（1）知，平面且所以、、兩兩垂直因此以原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因?yàn)椋?，，設(shè)所以，，，，由（1）知，平面所以為平面的法向量且因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為所以解得：所以，又，，所以，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為：，所以，令，則令，則，，即設(shè)平面與平面夾角為則所以平面與平面夾角的余弦值為.22、（1），（2）在單減，也單減，無增區(qū)間（3）【解析】（1）根據(jù)分母不等于0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零即可求得函數(shù)的定義域，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及商的導(dǎo)數(shù)公式即可求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出答案；（3）若對(duì)，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求出的范圍，，，求出函數(shù)的值域，根據(jù)存在，使成立，則0在函數(shù)的值域中，從而可得出的范圍，即可得解.【小問1詳解】解：的定義域?yàn)椋?；【小?詳解】解：當(dāng)時(shí)，，恒成立，