2025屆河北省雄安新區(qū)博奧高級中學高二上數(shù)學期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2025屆河北省雄安新區(qū)博奧高級中學高二上數(shù)學期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系中，線段的兩端點，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動，若圓上存在點是線段的中點，則線段長度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.102．已知集合A=（）A. B.C.或 D.3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A B.C. D.4．已知雙曲線的右焦點為，漸近線為，，過的直線與垂直，且交于點，交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.5．兩條平行直線與之間的距離為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7．若，則圖像上的點的切線的傾斜角滿足（）A.一定為銳角 B.一定為鈍角C.可能為 D.可能為直角8．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.9．設是定義在R上的函數(shù)，其導函數(shù)為，滿足，若，則（）A. B.C. D.a，b的大小無法判斷10．命題p：存在一個實數(shù)﹐它的絕對值不是正數(shù).則下列結論正確的是（）A.：任意實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)，為假命題B.：任意實數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)，為假命題C.：存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)，為真命題D.：存在一個實數(shù)，它的絕對值是負數(shù)，為真命題11．已知橢圓的左，右兩個焦點分別為，若橢圓C上存在一點A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調遞增B.函數(shù)上有兩個零點C.函數(shù)有極大值16D.函數(shù)有最小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列或嚴格遞減數(shù)列，則實數(shù)a取值范圍是______14．橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是________15．圓關于直線對稱的圓的方程為______16．直線的傾斜角為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新冠肺炎疫情期間，某地為了解本地居民對當?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機抽取了1500名居民進行評分（滿分100分），根據(jù)調查數(shù)據(jù)制成如下表格和頻率分布直方圖．滿意度評分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意（1）求a的值；（2）定義滿意度指數(shù)，若，則防疫工作需要進行調整，否則不需要調整，根據(jù)所學知識判斷該區(qū)防疫工作是否需要進行調整？18．（12分）分別求出滿足下列條件的橢圓的標準方程：（1）焦點在y軸，短軸長為2，離心率為；（2）短軸一端點P與兩焦點，連線所構成的三角形為等邊三角形19．（12分）已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點（1）若線段的中點為，求的值；（2）若，求證：原點到直線的距離為定值20．（12分）已知，，其中.（1）求的值；（2）設（其中、為正整數(shù)），求的值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)，為的導函數(shù)（1）求的定義域和導函數(shù)；（2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（3）若對，都有成立，且存在，使成立，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】首先求點的軌跡，將問題轉化為兩圓有交點，即根據(jù)兩圓的位置關系，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設，，的中點為，則，故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，問題轉化為圓與圓有交點，所以，，即，解得：，所以線段長度的最小值為.故選：C2、A【解析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運算，即可求出結果.【詳解】因為集合，所以.故選：A.3、B【解析】利用等差數(shù)列的性質可求得的值，再結合等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質可得，則，故.故選：B.4、C【解析】由題設易知是的中垂線，進而可得，結合雙曲線參數(shù)關系及離心率公式求雙曲線的離心率即可.【詳解】由題意，是的中垂線，故，由對稱性得，則，故，∴.故選：C.5、D【解析】由已知有，所以直線可化為，利用兩平行直線距離公式有，選D.點睛：本題主要考查兩平行直線間的距離公式，屬于易錯題．在用兩平行直線距離公式時，兩直線中的系數(shù)要相同，不然不能用此公式計算6、D【解析】結合導數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出的單調性，由此化簡不等式來求得不等式的解集.【詳解】當時，單調遞增，，所以單調遞增.因為是偶函數(shù)，所以當時，單調遞減.，，，或.即不等式的解集為.故選：D7、C【解析】求出導函數(shù)，判斷導數(shù)的正負，從而得出結論【詳解】，時，，遞減，時，，遞增，而，所以切線斜率可能為正數(shù)，也可能為負數(shù)，還可以為0，則傾斜角可為銳角，也可為鈍角，還可以為，當時，斜率不存在，而存在，則不成立.故選：C8、C【解析】由角平分線的性質可得，結合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C9、A【解析】首先構造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，即可判斷選項.【詳解】設，，所以函數(shù)在單調遞增，即，所以，那么，即.故選：A10、A【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷，再利用特殊值判斷命題的真假；【詳解】解：因為命題p“存在一個實數(shù)﹐它的絕對值不是正數(shù)”為存在量詞命題，其否定為“任意實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，因為，所以為假命題；故選：A11、C【解析】根據(jù)題意可知當A為橢圓的上下頂點時，即可滿足橢圓C上存在一點A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對稱性可知，當A為橢圓的上下頂點時，最大，故只需即可滿足題意，設O為坐標原點，則只需,即有，所以，解得，故選：C12、C【解析】對求導，研究的單調性以及極值，再結合選項即可得到答案.【詳解】，由，得或，由，得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以極大值為，極小值為，所以有3個零點，且無最小值.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)數(shù)列遞增和遞減的定義求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】因為數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列或嚴格遞減數(shù)列，所以.若數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列，則，即，即恒成立，故；若數(shù)列是嚴格遞減數(shù)列，則，即，即恒成立，由，故；綜上，實數(shù)a的取值范圍是故答案為：14、2x＋4y－3＝0【解析】設弦端點為，又A，B在橢圓上，、即直線AB的斜率為直線AB的方程為，.15、【解析】求出圓心關于直線對稱點，從而求出對稱圓的方程.【詳解】圓心為，半徑為1，設關于對稱點為，則，解得：，故對稱點為，故圓關于直線對稱的圓的方程為.故答案為：16、【解析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關系即可得出【詳解】設直線的傾斜角為由直線化為，故，又，故，故答案為【點睛】一般地，如果直線方程的一般式為，那么直線的斜率為，且，其中為直線的傾斜角，注意它的范圍是三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）不需要【解析】（1）直接根據(jù)頻率和為1計算得到答案.（2）計算平均值得到得到答案.【小問1詳解】，解得.【小問2詳解】.故不需要進行調整.18、（1）（2）【解析】（1）設出橢圓方程，根據(jù)短軸長和離心率求出，，從而求出橢圓方程；（2）短軸端點與焦點相連所得的線段長即為，從而求出，得到橢圓方程.【小問1詳解】設橢圓方程為，則，，則，解得:，則該橢圓的方程為【小問2詳解】設橢圓方程為，由題得：，，則，則該橢圓的方程為19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設出兩點的坐標，利用點差法即可求出的值；（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫韋達；根據(jù)，求出，從而可證明原點到直線的距離為定值【小問1詳解】設，則，，兩式相減，得，即，所以，即，又因為線段的中點為，所以，即；【小問2詳解】設斜率為的直線為，，由，得，所以，，因為，所以，即，所以，所以，即，所以，原點到直線的距離為.所以原點到直線的距離為定值.20、（1）；（2）.【解析】（1），，寫出的展開式通項，由可得出關于的方程，解出的值，再利用賦值法可求得所求代數(shù)式的值；（2）寫出的展開式，求出、的值，即可求得的值.【小問1詳解】解：設，，的展開式通項為，所以，，即，，解得，所以，.【小問2詳解】解：，，，因此，21、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）利用平面與平面垂直的性質得出直線與平面垂直，進而得出平面；（2）建立空間直角坐標系即可求解.【小問1詳解】證明：因為平面平面，交線為且平面中，所以平面又平面所以又，且所以平面【小問2詳解】解：由（1）知，平面且所以、、兩兩垂直因此以原點，建立如圖所示的空間直角坐標系因為，，，設所以，，，，由（1）知，平面所以為平面的法向量且因為直線與平面所成角的正弦值為所以解得：所以，又，，所以，，，設平面與平面的法向量分別為：，所以，令，則令，則，，即設平面與平面夾角為則所以平面與平面夾角的余弦值為.22、（1），（2）在單減，也單減，無增區(qū)間（3）【解析】（1）根據(jù)分母不等于0，對數(shù)的真數(shù)大于零即可求得函數(shù)的定義域，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式及商的導數(shù)公式即可求出函數(shù)的導函數(shù)；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可得出答案；（3）若對，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求出的范圍，，，求出函數(shù)的值域，根據(jù)存在，使成立，則0在函數(shù)的值域中，從而可得出的范圍，即可得解.【小問1詳解】解：的定義域為，；【小問2詳解】解：當時，，恒成立，