吉林省白城某中學(xué)2021年高中數(shù)學(xué)多選題100含解析

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

1.已知函數(shù)（>0，則（）

A./（⑼的值域?yàn)椋ㄒ?,y）

B.當(dāng)aKO時，/（X）>/（X2+1）

C.當(dāng)〃>0時，存在非零實(shí)數(shù)%,滿足/（一毛）+/（毛）=。

D.函數(shù)g（x）=/（x）+a可能有三個零點(diǎn)

【答案】BC

【分析】

A.考慮4=2時的情況，求解出各段函數(shù)值域再進(jìn)行判斷；B.先根據(jù)條件分析了（力的單

調(diào)性,再根據(jù)/+1與X的大小關(guān)系進(jìn)行判斷：C.作出

5=%2+四4=一/+辦,'=一/+依的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的對稱性進(jìn)行分析判斷；

D.根據(jù)條件先分析出4￡（0,1）,再根據(jù)有三個零點(diǎn)確定出。滿足的不等式，由此判斷出

。是否有解，并判斷結(jié)論是否正確.

【詳解】

當(dāng)時，2

A.當(dāng)x>0時，y=2-x-l>0-l=-lxWOy=x+ax=fx+—-小

4=2,此時>=（工+1）2—1之一1,

所以此時的值域?yàn)椋?l,+oo）,故A錯誤;

B.當(dāng)aKO時，y=x2+av=（5的對稱軸為工=一］NO,所以/（x）在

（YO,0］上單調(diào)遞減，

又因?yàn)椤傲υ冢?,+8）上單調(diào)遞減，且02+0X4=2W-1，所以〃力在R上單調(diào)遞

減，

又因?yàn)閒+l—x=—+1>°，所以f+1>X，所以/（力>/（/+1）,故B正

確；

C.作出函數(shù)y=爐+ax,y=-x2+ax,y=2~x-1的圖象如下圖所示：

2x

由圖象可知：、=爐+公,,=一%2+公關(guān)于原點(diǎn)對稱，且丁=_x+or與y=2~~-1相

交于(%,%),

因?yàn)辄c(diǎn)(與,%)在函數(shù)y=-1ax的圖象上，所以點(diǎn)(一%,一%)在函數(shù)y=/?分的圖

象上，

所以/&)+/(-%)=%+(f)=0，

所以當(dāng)。>0時，存在/使得/(一/)+/(毛)=0,故C正確；

D.由題意知：/(耳=一〃有三個根，所以/(X)不是單調(diào)函數(shù)，所以〃>0,

又因?yàn)閥=2-“一1?—1,0),所以一4?—1,0),所以0￡(0』)，

■2\2

且yuf+OVE-----,+8,若方程有三個根，則有―〃>—幺，所以。>4或"<0,這

L4)4

與aw(0,l)矛盾，

所以函數(shù)g(x)=/(%)+〃不可能有三個零點(diǎn)，故D錯誤，

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：函數(shù)與方程的綜合問題，采用數(shù)形結(jié)合思想能高效解答問題，通過數(shù)與形的相

互轉(zhuǎn)化能使問題轉(zhuǎn)化為更簡單的問題，常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：

(1)確定方程根的個數(shù)：

(2)求參數(shù)范圍；

(3)求不等式解集；

(4)研究函數(shù)性質(zhì).

2.定義域和值域均為卜。,句的函數(shù)y=〃力和y=g(x)的圖象如身所示，其中

a>c>b>0,下列四個結(jié)論中正確有()

A.方程/[g(X)]=0有且僅有三個解B.方程g[/(》)]=0有且僅有三個解

C.方程/[/(切=0有且僅有八個解D.方程g[g⑴]=0有且僅有一個解

【答案】ABD

【分析】

通過利用，=/(力和，=g(x),結(jié)合函數(shù)y=和y=g(x)的圖象，分析每個選項(xiàng)中

外層函數(shù)的零點(diǎn)，再分析內(nèi)層函數(shù)的圖象，即可得出結(jié)論.

【詳解】

由圖象可知，對于方程y=/(x),當(dāng)一a<)YH或方程y=/(x)只有一

解；

當(dāng)y=±。時，方程y=/(x)只有兩解；當(dāng)一cvyvc?時，方程y=f(x)有三解；

對于方程丁=8(“，當(dāng)rzWyW。時，方程y=g(x)只有唯一解.

對于A選項(xiàng)，令r=g(x),則方程/。)=0有三個根4=-6,4=0，G=b，

方程g(x)=-b、g(x)=O、g(x)=b均只有一解，

所以，方程/[g(x)]=O有且僅有三個解，A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，令，=f(x),方程g(f)=O只有一解4=力，

方程/(/)=%只有三解，所以，方程g[f(x)]=O有且僅有三個解，B選項(xiàng)正確；

對于C選項(xiàng)，設(shè)，=〃x),方程〃/)=0有三個根"二。，匕二人，

方程/(%)=一人有三解，方程/(x)=O有三解，方程/(%)=力有三解，

所以，方程/[7(x)]=O有且僅有九個解，C選項(xiàng)錯誤；

對于D選項(xiàng)，令，=g(x),方程g(r)=O只有一解乙=〃，方程g(x)=b只有一解，

所以，方程g[g(x)]=O有且僅芍一個解，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：對于復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的零點(diǎn)個數(shù)問題，求解思路如下：

(1)確定內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)和外層函數(shù)y=f(〃)：

(2)確定外層函數(shù)y=/(〃)的零點(diǎn)〃=%(i=l,2,3,..?,〃)；

(3)確定直線〃=%(i=l,2,3,…,")與內(nèi)層函數(shù)”=g(;v)圖象的交點(diǎn)個數(shù)分別為由、

。2、。3、…、%，則函數(shù)y=/[g(x)]的零點(diǎn)個數(shù)為4+4+4+…

3.已知函數(shù)/(x)=(￡」L+4sin2'，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，且在(3,一)上不單調(diào)

B.函數(shù)y=/'(x)是奇函數(shù)，且在(YO,M)上不單調(diào)遞增

c.函數(shù)y=/(x)在(一、,0)上單調(diào)遞增

D.對任意〃ZWR,都有/(|同)=/(6)，且/(相)之0

【答案】AD

【分析】

由函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A、B、C、D.

【詳解】

解：時A,.=———+4sin2—=-——-2cosxs

定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，

/、e~2x+\、m+i

/(-x)=----2ocos(-x)=-----2cos(x)=f(x),

ee

=是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y鈾對稱，

???/(X)在(-Q0,+Q0)上不單調(diào)，故A正確；

對B,f\x)=ex------i-2sinx,

ex

f\-x)=e~x——+2sin(-x)=-(ex---+2sinx)=-f\x)，

e~xex

??.(。)是奇函數(shù)，

令g(x)=e”-----+2sinx,

ex

則g<x)=/+。+2cosx>2+2cosx>0,

.?.(*)在(3,y)上單調(diào)遞增，故B錯誤；

對C,f'(x)=ex---+2sinx,且f'(x)在(-?,+<?)上單調(diào)遞增，

e

又??"'(0)=0，

X€時，f\x)<0,

.?.y=/(x)在(一、,0)上單調(diào)遞減，故C錯誤；

對D,???y=/(x)是偶函數(shù)，且在(O,+o。)上單調(diào)遞增，

.,./(H)=/(w),且f(/n)之f(0)=0,故D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：

⑴在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；

⑵不能隨意將函數(shù)的2個獨(dú)立的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集形式；

⑶利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程

中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

4.已知函數(shù)/(%)=X+—，g(x)+二則下列結(jié)論中正確的是()

XX

A./(x)+g(x)是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)

C./(x)+g(x)的最小值為4D./(幻超。)的最小值為2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定義可得A錯B對；利用均值不等式可得C對；利用換元求導(dǎo)可得D錯.

【詳解】

???f(x)+g(x)=x+-+x2+—

XX

19

???/(_1)+g(r)=T+與+(T)

(-X)2XX2

/(X)+g(x)=f(-x)+g(-x)

???/(x)+g(x)是偶函數(shù)，A錯；

???F(x)?g(x)=%+三(/十9

/

+/V=X+|-p+2

/(-x)-g(-x)=-x+—?(-X)2

-x(-X)JHlx7

\

??f(-x)?g(T)=f(x)g(x)

?'?/(x>g(x)是偶函數(shù)，B對;

vf(x)+g(x)=x+-+X2+^>2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=1和％2=二時，等號成立,

xx~XX

即當(dāng)且僅當(dāng)d=l時等號成立，C對：

??,ra>g(x)=1+曰.卜+*

令￡=x+一(r>2),則/(x)?g[x)=/?(產(chǎn)-2)=/一2f

X

.?"。)y(切'=3/一2,令3/一2>0,得r>底或/<_巫

.?.壯2時，f(x>g(x)單調(diào)遞增

???當(dāng)，=2有最小值，最小值為4,D錯

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查奇偶性、均值不等式、利用導(dǎo)數(shù)求最值等，對學(xué)生知識的運(yùn)用能力要求較

高，難度較大.

5.對于具有相同定義域D的函數(shù)“力和g(x),若存在函數(shù)力(x)=米+〃(k,b為常

數(shù))，對任給的正數(shù)m,存在相應(yīng)的方￡。，使得當(dāng)％且時，總有

0<<m

則稱直線/：y=心;+〃為曲線y=與y=g(x)的"分漸近

0</?(x)-^(x)</n

線〃.給出定義域均為O={x|x>l}的四組函數(shù)，其中曲線y=/(力與y=g(x)存在“分

漸近線”的是()

A./(x)=x2,g(x)=G

B.〃x)=l(T+2,g(x)=^2

X

cXx2+l/\xlnx+1

C.〃力下'g(')=^^

D。=g(x)=2(x-\-e-^

【答案】BD

【分析】

根據(jù)分漸近線的定義，對四組函數(shù)逐??分析，由此確定存在“分漸近線”的函數(shù).

【詳解】

解：〃力和g(x)存在分漸近線的充要條件是Xf8時，

/(x)-(x)->0,/(x)>g(x).

對于①,f(x)=.，g(x)=4,

當(dāng)。>1時,令尸(x)=f(力_g(x)=X2-4,

由于尸'(x)=2x-士>。，所以〃(可為增函數(shù)，

不符合Xf8時，f(x)_g(x)-0,所以不存在分漸近線；

對于②，/(x)=10-A+2>2,g("=^^<2,(x>l)

Xr

二.f(x)>g(x),

，/、，、src2x-3(1\V3

fM-g(x)=\0+2------=—+—，

xx

因?yàn)楫?dāng)X>1且xf8時，〃x)-g(x)f0,所以存在分漸近線；

“工￡，、f+1xlnx+1

對于③，f(x)=----，g(x)=---------，

xInx

0,、，、x2+1xlrvc+\1111

f(x)-g(x)=-------------=x+-X---=---

xInxxinxxInx

當(dāng)1>1且X—>8時，一與;均單調(diào)遞減，但一的遞減速度比;快，

xInxxInx

所以當(dāng)Xf8時，/(力―g(力會越來越小，不會趨近于0,所以不存在分漸近線；

對于④，/(%)=—?^(x)=2(x-l-^),

X+1

當(dāng)Xf8時，

?r222

f(x)-g(x)=---2x+2+2e~x=—+——>0,且f(x)-g(x)>°，

x+1x+1ex

因此存在分漸近線.

故存在分漸近線的是BD.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查新定義概念的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.

6.若“X)滿足對任意的實(shí)數(shù)。，〃都有〃々+。)=/(。)/(。)且/(1)=2,則下列判

斷正確的有()

A.“X)是奇函數(shù)

B./(力在定義域上單調(diào)遞增

C.當(dāng)X￡(0,3)時，函數(shù)

n"2)“4)46)7(2016)7(2018)/(2020)_

./(I)/(3)/(5)/(2015)/(2017)/(2019)

【答案】BCD

【分析】

利用新定義結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.計算出f(D判斷A：先利用/(1)=2>1證明所有

有理數(shù)〃，有f(P)>L然后用任意無理數(shù)夕都可以看作是一個有理數(shù)列的極限，由極限

的性質(zhì)得了(幻>1，這樣可判斷C,由此再根據(jù)單調(diào)性定義判斷B,根據(jù)定義計算

7(2/1)

工：(及EN),然后求得D中的和，從而判斷D.

【詳解】

令4=0/=1,則/(1)=/(1+())=八1)/(0),即2=2/(0),"0)=1,f(x)不可

能是奇函數(shù)，A錯；

對于任意xeR，/(幻。0,若存在小￡/?，使得/(%)=0,則

/(0)=/(而+(-%))=與/(0)=1矛盾，故對于任意xwK,

/。)工0,

小)」(利卜佃佃十削>0,

對于任意XGR,

■:/(1)=2>1,.?.對任意正整數(shù)〃,

/里+..一…個甘n=2>一心”

、小)礫5

同理f(n)=/(1+1+--+1)=/(1)/(1)-/(1)=2〃>1，

in

對任意正有理數(shù)〃，顯然有〃-一(人"是互質(zhì)的正整數(shù))，則

n

=>1>

L

對任意正無理數(shù)g,可得看作是某個有理數(shù)列〃i，〃2,“3,…的極限，而

ieN,：.f(q)與fSJ的極限，,

綜上對所有正實(shí)數(shù)x,有C正確，

設(shè)辦</，則吃一%>0，:?/(工2一%)>1，則

/(工2)=/(?+(兀2一工1))=/(E)，/(工2一工1)>/(工1)，二/*)是增函數(shù),B正確:

由己知f(2n)=f(2n-1+1)=/(2zi-1)/(1)=2/(2〃一1),差〃)=2,

/(2〃-1)

“2）44）“6）“2016）/（2018）/（2020）

‘'''十.........十..........十???''''十''''十''''=2+2+...+2=2x1010=2020

f（l）/（3）/（5）/（2015）/（2017）/（2019）

1。10個2

,D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義函數(shù)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，邏輯思維能力，運(yùn)算求解能

力，對學(xué)生要求較高，本題屬于難題.

2*+l,xK0\\。

7.已知函數(shù)/（x）=k.，則方程尸（x）—2/（x）+a—l=0的根的個數(shù)可

|log2x|-l,x>0

能為（）

A.2B.6C.5D.4

【答案】ACD

【分析】

先畫出/*）的圖象，再討論方程/2（%）-2，（可+/-1=0的根，求得"X）的范圍，再

數(shù)形結(jié)合，得到答案.

【詳解】

畫出的圖象如圖所示：

令，=7"）,則/一2/+/一1=0，則A=4（2-

當(dāng)△=（）,即/=2時，，=1,此時/（幻=1,由圖y=l與y=/（x）的圖象有兩個交

點(diǎn)，

即方程/（力一2/（可+儲-1二（）的根的個數(shù)為2個，A正確；

當(dāng)/>0時，即"<2時，z=l二也-/，則0<，2-片<0

故lvl+j2—〃241+后1-亞工1-,2-。2<1，

當(dāng)1二1一，2—/時,即/⑺=1—e（T,l）,則工有2解，

當(dāng)t=l+h-/時，若/e（l，2]，則x有3解；若，e（2,l+&],則x有2解，

故方程尸（另一2/（同+/-1=。的根的個數(shù)為5個或4個，CD正確；

故選：ACD

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的根的個數(shù)問題，函數(shù)圖象的畫法，考查了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思

想，難度較大.

8.太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種互相轉(zhuǎn)化，相

對統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠?qū)A。的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓。的

一個“太極函數(shù)”.則下列有關(guān)說法中，正確的是()

A.對于圓0：/+,2=1的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)

B.函數(shù)/(x)=sinx+l是圓。：丁+()，-1)2=1的一個太極函數(shù)

c.存在圓。，使得/(力二鼻3是圓。的一個太極函數(shù)

D,直線(加+1)］一(26+1)丁一1=0所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓0：

的太極函數(shù)

【答案】BCD

【分析】

利用“太極函數(shù)"的定義逐個判斷函數(shù)是否滿足新定義即可.

【詳解】

對于A,如下圖所示，若太極函數(shù)為偶函數(shù)，且S.ACE=S"P8=S.POD=S.DFB，所以該函

數(shù)平分圓。的周長和面積，故A錯誤；

對于B,/a)=sinr+l也關(guān)于圓心(0,1)對稱，平分圓。的周長和面積，所以函數(shù)

，(力=40￥+1是圓0：/+(),_1)2=］的一個太極函數(shù)；故B正確;

對于C,小)=焉=寫￥=1一言一

1

-1

l-ex

e該函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

二IS=一/(4

所以存在圓0：V+y2=l使得是圓。的一個太極函數(shù)，如下圖所示，故

C正確；

對于D,對于直線（〃2+1）%一（2〃?+1）），-1=0的方程，變形為

7/7（x-2>,）+（x-y-l）=O,

/、/、

令《x-2y=，0八，得[《x=2，直線（m+l）x—（2加+l）y—1=0經(jīng)過圓0的圓心，可以平

x-y-l=0[y=1

分圓0周長和面積，故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)對稱性的判定與應(yīng)用，將新定義理解為函數(shù)的對稱性為解題的關(guān)鍵，考查推

理能力，屬于較難題.

7T

9.設(shè)函數(shù)g（x）=s/7wx（3>0）向左平移—個單位長度得到函數(shù)/（X）,已知/（x）在[0,2m上有

5。

且只有5個零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.Hx）的圖象關(guān)于直線工=三對稱

B./W在（0,2m上有旦只有3個極大值點(diǎn)，f（x）在（0,2萬）上有且只有2個極小值點(diǎn)

C./（x）在（0,京）上單調(diào)遞增

1229

D.3的取值范圍是[不，記）

【答案】CD

【分析】

利用正弦函數(shù)的對稱軸可知，A不正確；由圖可知/*）在（0,21）上還可能有3個極小值

點(diǎn)，8不正確；由/工2萬<與解得的結(jié)果可知，。正確；根據(jù)/“）在（0,主）上遞

10。

增，且￡＜二,可知C正確.

1010G

【詳解】

依題意得/(x)=g(x+￡)=sinUy(x+^)]=sin(s+K),T=—,如圖:

5co5a)5co

對于A,令tyxH—=k/t—?kwZ,得x=—-i--------，kwZ,所以/(x)的圖象關(guān)于

52CD1069

直線上二絲+三(々eZ)對稱，故A不正確；

co106w

對于B,根據(jù)圖象可知，XA<2^<XB,/*)在(0,20有3個極大值點(diǎn)，/3)在(0,2%)

有2個或3個極小值點(diǎn)，故B不正確，

“工八45T乃52萬247r

對于D，因?yàn)楣と硕?----1—T=-------1—x—=--------，

5325692695(0

7i712乃29乃也《2”也1229

XB=——+37=——+3x—=—,所以,解得一＜。＜一,

5①5(oco5co5①5co510

所以。正確;

對于C,因?yàn)橐籪+二一二+!乂生=孚，由圖可知/*)在(0,孚)上遞增，

56945(04(0\0cO1069

297C3乃7T37T

因?yàn)??！匆?lt;3,所以一——=—(1一一)<0,所以/&)在(0,一)上單調(diào)遞增，故

101010G10co10

C正確；

故選：CD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的相位變換，考查了正弦函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性和周期性，考查了極

值點(diǎn)的概念，考查了函數(shù)的零點(diǎn)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

10.高斯是德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.

高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有"數(shù)學(xué)王子”之稱.有這樣一個函數(shù)就是以

他名字命名的：設(shè)XER,用國表示不超過x的最大整數(shù)，則/(1)=國稱為高斯函

數(shù)，又稱為取整函數(shù).如：/(2.3)=2,/(-3.3)=-4.則下列正確的是()

A.函數(shù)/(x)是R上單調(diào)遞增函數(shù)

B.對于任意實(shí)數(shù)。，力，都有/(a)+fS)Wf(a+b)

C.函數(shù)g(x)=/(x)-雙(xwO)有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

(34]「43、

一,一o

(45」132)

D-對于任意實(shí)數(shù)X,y,則/(%)=/(y)是卜一丁|<1成立的充分不必要條件

【答案】BCD

【分析】

取反例可分析4選項(xiàng)，設(shè)出a,b的小數(shù)部分，根據(jù)其取值范圍可分析8選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合

可分析C選項(xiàng)，取特殊值可分析。選項(xiàng).

【詳解】

解：對于A選項(xiàng)，/(1)=/(1.2)=1,故4錯誤；

對于8選項(xiàng)，令〃=[〃]+/，b=[5|+虱二q分別為a,b的小數(shù)部分)，

可知0”r=a-同<1,0,,q=b-[b]<l,[r+q]>0,

則f(a+b)=[[a]+回+r+g]=同+回+[r+g]..pz]+回=/(a)+f(6)，故8錯

誤；

對于c選項(xiàng)，可知當(dāng)&WX<攵+1,代z時，則/(6=國=4，

可得/(%)的圖象，如圖所示：

,?,函數(shù)g(x)=/(x)-依(xwo)有3個零點(diǎn)，

?二函數(shù)/(x)的圖象和直線y=5有3個交點(diǎn)，且(o,o)為/(%)和直線)丁姓必過的

點(diǎn)，

<34「43、

由圖可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是—,-]<><[—?—I,故C正確；

對于。選項(xiàng)，當(dāng)/(力=/()，)時，即r,q分別為x,y的小數(shù)部分，可得0(廠<1,

0<<7<1>

以一乂=肛1+-[封-4=>一4〈卜°1=1；

當(dāng)上一乂<1時，取x=-0.9,y=0.09,可得兇二-1,[y]=0,此時不滿足

"x）="y），

故/（力=/（，）是|x-y|<1成立的充分不必要條件，故D正確；

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)新定義問題，解答的關(guān)鍵是理解題意，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合

思想；

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題

Inx

11.對于函數(shù)/（X）=F，下列說法正確的有（）

x

A./（x）在x處取得極大值1B./*）有兩個不同的零點(diǎn)

2e

C./（2）</（>Ar）</（V3）D.若■在（0,+oo）上有解，則

x

k<—

2

【答案】ACD

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求出函數(shù)的極值可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性和函

數(shù)值的范圍判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性比較出函數(shù)值的大小關(guān)系判斷C；利用不等式有解

問題的應(yīng)用判斷D.

【詳解】

、Inx-xx2-lnxx2x.

函數(shù)/（%）=了,所以/，*）=^——-——二上羋。,。），

人XX

令廣（x）=O,即21nx=1,解得尤=正，

當(dāng)0vx<及時，/（幻>0,故在（0,人）上為單調(diào)遞增函數(shù).

當(dāng)五時，故/（x）在（弧,+8）上為單調(diào)遞減函數(shù).

所以/（x）在x=”時取得極大值/（&）=』-,故A正確：

當(dāng)0<x<及時，r（x）>0,/（X）在（0,、/工）上為單調(diào)遞增函數(shù)，

因?yàn)?（1）=0,所以函數(shù)/"）在（0,、0）上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)及時，/0）=詈>0恒成立，即函數(shù)/（幻在[&,+<?）上沒有零點(diǎn)，

綜上，/(%)有唯一零點(diǎn)，故B錯誤.

由于當(dāng)時，r(x)vO，/(x)在(、0,+8)上為單調(diào)遞減函數(shù)，

因?yàn)?>6>G>G，所以/(2)</(6)</(、回)，故C正確;

由于“幻》一5在Q+⑹上有解'故—+3=用有解,

所以Y卡)…設(shè)g(')二手‘則g‘(")-2Inx—1

令g'(x)=O,解得了=區(qū)，

當(dāng)x>J=時，ra)<o,故/“)在(-1,+°。)上為單調(diào)遞減函數(shù).

yJe7e

當(dāng)0cx時，/fa)>0,故f(x)在(0,J)上為單調(diào)遞增函數(shù).

\le7e

所以g(x)z=g(奏)=e.

故k<3,故。正確.

2

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，這種題型綜合性較

強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因

此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的

自己已經(jīng)掌握的知識點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.

12.設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx,=,給定下列命題，其中正確的是()

(1A

A.若方程=A有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則丘—,0；

B.若方程4(X)=f恰好只有一個實(shí)數(shù)根，則欠<0；

C.若%>W>0，總有機(jī)[g(xj_g(x2)]>/(xj_/(x2)恒成立，則加2/；

(1、

D.若函數(shù)/(力=/(力一勿火(工)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃￡。,不「

X乙)

【答案】ACD

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，且將題意轉(zhuǎn)化為y=/(x)與y=%有兩個不同的交

點(diǎn)，即可判斷A選項(xiàng)；易知x=l不是該方程的根，當(dāng)xwl時，將條件等價于y=%和

Y

y=—只有一個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可推出結(jié)果，即可判斷

\nx

B選項(xiàng)；當(dāng)天時，將條件等價于加以王）一/（與）>盛（X2）一/（為2）恒成立，即函

數(shù)丁=沖（幻-/（幻在（0,+8）上為增函數(shù)，通過構(gòu)造新函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)

間，即可求出加的范圍，即可判斷C選項(xiàng)；尸（x）=Hnx-G：2（x>0）有兩個不同極值

點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號列出不等式并求解，即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

解：對于A,的定義域（0,+oo）,r（x）=lnx+l,

令f'（x）>0,有即x>L

e

可知f（x）在（0,1）單調(diào)遞減，在（L+8）單調(diào)遞增，所以極小值等于最小值，

ee

=/（-）=-->且當(dāng)XfO時/（幻一>。，又/（1）=。，

ee

從而要使得方程/W=k有兩個不同的實(shí)根，

即y=f（x）與》=%有兩個不同的交點(diǎn)，所以上￡（一乙0）,故A正確：

e

對于B,易知X=1不是該方程的根，

當(dāng)xwi時，/。）工0,方程仔（V）=/有且只有一個實(shí)數(shù)根，

X

等價于y=々和y=L只有一個交點(diǎn),

inx

,Inx-1一八

y=5x)2'又工〉0且工工1，

令y'>0,即lnx>l,有x>e,

知丁二上在（0,1）和（1,e）單減，在（e,4w）上單增,

Inx

X=1是一條漸近線，極小值為一

X

由），=—大致圖像可知％<0或攵=6,故B錯誤；

Inx

對于c,當(dāng)％>%>。時，〃心（石）一g（/）］>/a）-/（々）恒成立，

等價于〃2g（M）-/U1）>）一/（%）恒成立，

即函數(shù)》=mg（x）-/（X）在（0,4-00）上為增函數(shù)，

即y'=mg'（x）-ra）=g-ln—lNO恒成立，

即m>小擔(dān)在（0,+oo）上恒成立，

X

,/、lnx+1,,,，/、-Inx

令”x）=------,W!）r（x）=——,

x

令r'(x)>0得InxvO,有Ovxvl,

從而r(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(Lx。)上單調(diào)遞減，

則”x)1mx=r(l)=1,于是621,故C正確；

對于D,/(乃二/口工一向^*〉。)有兩個不同極值點(diǎn),

等價于k(x)=Inx+l-2ar=0有兩個不同的正根，

即方程2。=也上!■有兩個不同的正根，

x

由C可知，Ov加<1,即Ovav],則D正確.

2

故選：ACD.

【點(diǎn)睹】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)解

決函數(shù)的零點(diǎn)問題和恒成立問題從而求參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵在于將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成兩個

函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題時注意利用數(shù)形結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.

13.設(shè)函數(shù)/@)=1+奴+伏々SER),下列條件中，使得)，=/(冷有且僅有一個零點(diǎn)

的是()

A.a=\,b=2B.a=-3,b=-3c.a>0,b<2D.a<0,b>0

【答案】ABC

【分析】

求導(dǎo)/<幻=3/+〃，分。之0和avO進(jìn)行討論，當(dāng)。20時，可知函數(shù)單調(diào)遞增，有且

只有一個零點(diǎn)；當(dāng)。<0時，討論函數(shù)的單調(diào)性，要使函數(shù)有一個零點(diǎn)，則需比較函數(shù)的極

大值與極小值與。的關(guān)系，再驗(yàn)證選項(xiàng)即可得解.

【詳解】

3

Qf(x)=x+cuc+bf求導(dǎo)得r(x)=3/

當(dāng)aNO時，r(x)A0,.?./(幻單調(diào)遞增，當(dāng)XT—8時，/(x)^-oo.當(dāng)xf”

時，/(')->+8;由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)/(%)有且只有一個零點(diǎn)，故A,C滿足題

意；

當(dāng)。<0時，令/。)=0,即3/+々=0,解得％=-、但，x2=J—

D選項(xiàng)，?<0,/?>0,不一定滿足，故D不符合題意;

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間切上的圖像是連續(xù)不

斷的一條曲線，并且有〃。卜〃b)<0,那么，函數(shù)y=/O)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),

即存在C￡(4,6),使得/(C)=O,這個C也就是方程/(戈)=0的根，考查學(xué)生的邏輯推

理與運(yùn)算能力，屬于較難題.

14.對于定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X),/'")為了。)的導(dǎo)函數(shù)，若同時滿足：①/(0)=0；

②當(dāng)X￡R且"0時，都有0''")>()：③當(dāng)王<0<工2且|%|=同時，都有

/a)</(W)'則稱/(")為"偏對稱函數(shù)".下列函數(shù)是"偏對稱函數(shù)〃的是()

2xxx

A./(x)=e-e-xB.f2(x)=e+x-\

px-l,x>0f2x,x>0

&△(")={nD.=]

-x,x<0[ln(l-x),x<0

【答案】ACD

【分析】

結(jié)合“偏對稱函數(shù)”的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)的方法，分別討論四個函數(shù)是否滿足三個條件，即可

得到所求結(jié)論.

【詳解】

條件①/(。)=。；

由選項(xiàng)可得：/(0)=e°一0=0,6(0)=?！?0-1=0,人(0)=/一1=0,

/；(x)=ln(l-0)=0,即ABCD都符合；

_八[x>0fx<0

條件②礦(x)>0o《，或《；

[fM>01/3<0

即條件②等價于函數(shù)/(X)在區(qū)間(TO,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

2xx

對于ft(x)=/X_d_X,則/Q)=2e-e-l=(2/+1)(/-1),

fxx

由x>0可得，f；(x)=(2e+l)(e-l)>0f即函數(shù)工(乃單調(diào)遞增:

由x<0可得，/'(x)=(2F+l)e—1)<0,即函數(shù)/*)單調(diào)遞減：滿足條件②;

對于人(幻=，+]一1,則人'(萬=產(chǎn)+1>0顯然恒成立，所以人(工)=d+%—1在定義

域上單調(diào)遞增，不滿足條件②；

e"—1%>0

對于力(x)=〈'~，當(dāng)x<0時，/(3)=7：顯然單調(diào)遞減：當(dāng)X20時，

-x,x<0

人(幻="-1顯然單調(diào)遞增；滿足條件②；

八2x,x>0「

對于力(幻=<八、八，當(dāng)xWO時，力(x)=ln(l—x)顯然單調(diào)遞減；當(dāng)工>0

ln(l-x),x<0

時，力(冗)=2不顯然單調(diào)遞增，滿足條件②；

因此ACD滿足條件②；

條件③當(dāng)XvOv/且兇=同時，一百=々，都有/(%)</(%)，即

/(々)一〃占)=〃“2)-/(一七)>0，

對于工a)=e"-e*-x,

工(冗2)一/(%)=6%-1+%-七

=(/必一行2，_(*_廠)_2&=(*乂產(chǎn)+「)-29,

因?yàn)?0+0』N2G6』=2,當(dāng)且僅當(dāng)6必="電，即/=0時，等號成立，

又看>0,所以爐2+6一電>2，

則工(%)—工(X)>2卜電一G}-2X2=2卜々_一毛)

令g(x)="-er一無，x>0,

所以g<x)="+/一1>2〃"?！?-1=1>0在x>0上顯然恒成立,

因此g(x)=，一""一次在尤>0上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(O)=O,

即/(工2)_/(M)>2(爐2_"5_9)>0,所以工(9)>/(%)滿足條件③；

對于力(")={'~，入住)一人(%)=*一1+%=*一%-1,

-x,x<0

令/z(x)=e"-％—1,x>0，則/(x)=e'-l>0在x>0上顯然恒成立，

所以力(%)>"0)=0,則力優(yōu))一力(石)=*一/一1>0,即以(《)>后(%)滿足條

件③；

2xx>0

對于力(幻=',力(々)一力(％)=2w-ln(l-%)=2W一1"1+9)，

in(i-x)^xsu

令〃(x)=2x-ln(l+x),x>0.

則〃'(力=2-上>2-1=1>0在冗>0上顯然恒成立，所以〃(x)>〃(())=0,

則力(W)-&(%)=2/-1"1+W)>0,即力(匹)>力(%)滿足條件③;

綜上，ACD選項(xiàng)是"偏對稱函數(shù)"，

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：

求解此類函數(shù)新定義問題時，需要結(jié)合函數(shù)新定義的概念及性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)基本性質(zhì)，利

用導(dǎo)數(shù)的方法，通過研究函數(shù)單調(diào)性，值域等，逐項(xiàng)判斷，即可求解.(有時也需要構(gòu)造新

的函數(shù)，進(jìn)行求解.)

15.關(guān)于函數(shù)/⑴=e'+sinx,xw(一肛y),下列結(jié)論正確的有()

A.〃用在（0,+8）上是增函數(shù)

B./（x）存在唯一極小值點(diǎn)與

C./（用在（一4,+o。）上有一個零點(diǎn)

D.f（x）在（-肛+0。）上有兩個零點(diǎn)

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)函數(shù)/（"）求得/（幻與尸（X）,再根據(jù)/〃（X）〉。在（一乃,+8）恒成立，確定,（幻在

（一肛+OO）上單調(diào)遞增，及xw（0,+8）f'Cx）>0,且存在唯一實(shí)數(shù)/￡（-￥，一］）,使

r（Xo）=O,從而判斷A,B選項(xiàng)正確；再據(jù)此判斷函數(shù)/（1）的單調(diào)性，從而判斷零點(diǎn)個數(shù).

【詳解】

xx

由己知/（x）=e+sinx,xe（一4,+8）得f\x）=e+cosx?/"（幻=e"一sinx,

xe（一4,+oo）,f\x）>0恒成立，

/'*）在（一肛+8）上單調(diào)遞增，

又f（~）=e與一半<0,/'（-爭=/>0,/（0）=2>0

.?.x￡（o,+<x）時ra）>r（o）>o,且存在唯一實(shí)數(shù)/e（一弓使r（x°）=o,即

e"=一cos/,

所以/*）在（0,+8）上是增函數(shù)，且/（幻存在唯一極小值點(diǎn)與，故A,B選項(xiàng)正確.

且在（一肛與）單調(diào)遞減，（%+8）單調(diào)遞增，

又/(-4)=6-1+0>0,—5/2sin(x——)v0?

/(x0)=e/+sin工=sinx0-cosx0o

/（0）=l>0,所以/（x）在（—肛收）上有兩個零點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯誤.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識

點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析

幾何、微積分相聯(lián)系.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參

數(shù).（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

16.定義在（0,+8）上的函數(shù)“制的導(dǎo)函數(shù)為/（X）,且/'（X）〈號，則對任意當(dāng)、

X2e（0,+oo）,其中X工々，則下列不等式中一定成立的有（）

A./（%+W）v/（X）+/（X2）B./（^1）+/（^2）＜T'/（^1）+TL/（X2）

X\X2

C./（2r1）＜2V（DD./阮卜/⑷/⑸

【答案】ABC

【分析】

構(gòu)造g*）=J史，由r（x）＜/也有g(shù)'*）vO,即g*）在（0,+8）上單調(diào)遞減，根據(jù)各

XX

選項(xiàng)的不等式，結(jié)合g（x）的單調(diào)性即可判斷正誤.

【詳解】

由人用＜幽知：w）-/w＜0＞

XX

令g（X）=Z^,則g，（『”文。,

XX

g（M）—g*2）二//㈤一天/⑷

g。）在（0,+8）上單調(diào)遞減,即<0

中2（為一工2）

當(dāng)百一工2