高等數學上冊二章ch2 -習題課

第四節(jié)一、隱函數的導數二、對數求導法三、由參數方程確定的函數的導數四、相關變化率隱函數和參數方程求導

相關變化率

第二章一、隱函數的導數若由方程可確定y是

x

的函數,由表示的函數,稱為顯函數.例如,可確定顯函數可確定y是x

的函數,但此隱函數不能顯化.函數為隱函數

.則稱此隱函數求導方法:兩邊對

x

求導(含導數的方程)例1.求由方程在x=0

處的導數解:

方程兩邊對

x

求導得因x=0時y=0,故確定的隱函數例2

求由方程y=1+xey

確定的隱函數y的二階導數。解兩邊對x求導，得:另解：直接在兩邊對x求導，得：注：

(1)隱函數求導實質是在方程F(x，y)=0兩邊對x

求導時，把y看成中間變量，利用復合函數的求導法則。(2)隱函數的高階導數，可直接在一階導數的基礎上兩邊求導，不一定要解出y

。例3.求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即二、對數求導法觀察函數方法：先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法求出導數.--------對數求導法適用范圍：一般地例3.求的導數。解:兩邊取對數,化為隱式兩邊對x

求導另一方法：

y=u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，再利用復合函數的求導法求出。例4

對x

求導兩邊取對數例5解等式兩邊取對數得例6

已知xy=yx

確立了y是x的函數，求y的導數。解

法一兩邊取對數ylnx=xlny

兩邊對x求導三、由參數方程確定的函數的導數若參數方程可確定一個

y

與

x之間的函數可導,且則時,有時,有(此時看成x

是

y的函數)關系,若上述參數方程中二階可導,且則由它確定的函數可求二階導數.利用新的參數方程,可得?例7.設,且求已知解:注意:例8.拋射體運動軌跡的參數方程為求拋射體在時刻t

的運動速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設

為切線傾角,則拋射體軌跡的參數方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時,傾角為達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向例9解

所求切線方程為：例10解

四、相關變化率為兩可導函數之間有聯系之間也有聯系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對

t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率例7.一氣球從離開觀察員500m

處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:

設氣球上升t

分后其高度為h,仰角為

,則兩邊對t求導已知

h=500m時,例8解水面上升之速率4000m內容小結1.隱函數求導法則直接對方程兩邊求導2.對數求導法:適用于冪指函數及某些用連乘,連除表示的函數3.參數方程求導法極坐標方程求導4.相關變化率問題列出依賴于

t的相關變量關系式對t求導相關變化率之間的關系式轉化求高階導數時,從低到高每次都用參數方程求導公式思考與練習1.

求螺線在對應于的點處的切線方程.解:

化為參數方程當時對應點斜率∴切線方程為2.設由方程確定,解:方程兩邊對x

求導,得再求導,得②當時,故由①得再代入②得

求①求其反函數的導數.解:方法1方法2等式兩邊同時對y求導思考題1.

設,求解：2.設方程組兩邊同時對t求導,得練習題練習題答案二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應用四、微分在估計誤差中的應用第五節(jié)一、微分的概念函數的微分

第二章一、微分的概念引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數在的微分當x

在取得增量時,變到邊長由其的微分,定義:若函數在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數)則稱函數而稱為記作即定理:

函數在點可微的充要條件是即在點可微,定理:函數證:

“必要性”

已知在點可微,則故在點的可導,且在點可微的充要條件是在點處可導,且即定理:函數在點可微的充要條件是在點處可導,且即“充分性”已知即在點的可導,則說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當故當微分的幾何意義當很小時,則有從而導數也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分,記作記例如,基本初等函數的微分公式(見P116表)又如,再如,二、微分運算法則設u(x),v(x)均可微,則(C

為常數)分別可微,的微分為微分形式不變性5.復合函數的微分則復合函數例1.求解:例2.設求解:利用一階微分形式不變性,有例3.

在下列括號中填入適當的函數使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內容.三、微分在近似計算中的應用當很小時,使用原則:得近似等式:特別當很小時,常用近似公式:很小)證明:令得的近似值.解:

設取則例4.求的近似值.解:例5.計算例6.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,四、微分在估計誤差中的應用某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量

A

的絕對誤差限稱為測量

A

的相對誤差限誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算

y

值時的誤差故y

的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,例7.設測得圓鋼截面的直徑

測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解:計算A

的絕對誤差限約為

A

的相對誤差限約為試估計面積的誤差.計算(mm)五、小結微分學所要解決的兩類問題:函數的變化率問題函數的增量問題微分的概念導數的概念求導數與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導數理論及其應用的科學,叫做微分學.導數與微分的聯系:★★導數與微分的區(qū)別:★思考題思考題解答說法不對.

從概念上講，微分是從求函數增量引出線性主部而得到的，導數是從函數變化率問題歸納出函數增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.補充題1.設函數的圖形如下,試在圖中標出的點處的及并說明其正負.2.5.設由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當時由上式得求6.設且則7.已知求解：因為所以方程兩邊求微分,得已知求解：8.練習題練習題答案習題課一、導數和微分的概念及應用二、導數和微分的求法導數與微分

第二章求導法則基本公式導數聯系高階導數一、主要內容微分例1.設存在,求解:

原式=例2.若且存在,求解:原式=且聯想到湊導數的定義式例3.設在處連續(xù),且求解:例4.設試確定常數a,b

使f(x)

處處可導,并求解:得即是否為連續(xù)函數?判別:設例5.解:(1)由于因此當a>0有(2)欲使存在，只要a-1>0，即a>1，且此時(3)當a>1時，由（1）知：只須從而知a>2。例6.設由方程確定函數求解:方程組兩邊對t

求導,