專題932三角形的中位線（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題9.32三角形的中位線（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】三角形的中位線的定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.特別提醒：三角形有三條中位線.不要把三角形的中位線與三角形的中線混淆，應(yīng)從它們的定義加以區(qū)別.【知識(shí)點(diǎn)二】三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.特別提醒：三角形的三條中位線把原三角形分成四個(gè)全等的小三角形，每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的四分之一.【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】三角形中位線的理解；【考點(diǎn)2】利用三角形的中位線定理證明與求值；【考點(diǎn)3】利用三角形的中位線與直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求值或證明；【考點(diǎn)4】三角形的中位線定理綜合應(yīng)用；【考點(diǎn)5】三角形的中位線定理拓展與應(yīng)用；【考點(diǎn)1】三角形的中位線定理實(shí)際應(yīng)用.【例1】如圖，在四邊形中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)．若，求MN長(zhǎng)度的取值范圍．【答案】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接PM，PN．是的中點(diǎn)，是的中位線，．同理可得．在中，，．【變式1】如圖，已知是的中線，、分別是、邊上的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③和互相平分；④連接，則四邊形是平行四邊形；⑤．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，根據(jù)由三角形中位線定理逐一判斷①②⑤；由，，易得四邊形是平行四邊形，可判斷③④．解：如圖，連接，是的中線，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，、分別是、邊上的中點(diǎn)，，故①②⑤正確；，，四邊形是平行四邊形，和互相平分；故③④正確；則正確的有5個(gè)，故選：D．【變式2】如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，為半徑作圓弧交于點(diǎn)F．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】3【分析】本題考查三角形的中位線性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．利用三角形的中位線得到，進(jìn)而求得即可求解．解：∵在中，點(diǎn)D、E分別是、的中點(diǎn)，，∴，即，∵以A為圓心，為半徑作圓弧交于點(diǎn)F，，∴，∴，故答案為：3．【考點(diǎn)2】利用三角形的中位線定理求值或證明；【例2】如圖，直角中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），交于點(diǎn)F，設(shè)，．（1）求證：；（2）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）寫出x為何值時(shí)，？【答案】（1）見(jiàn)詳解;（2），;（3）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，正確證明是關(guān)鍵．（1）取的中點(diǎn)記為，取的中點(diǎn)記為．根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，根據(jù)余角的性質(zhì)可得，根據(jù)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，以及x的定義域；（3）連接，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得x為1時(shí)，．（1）解：取的中點(diǎn)記為H，取的中點(diǎn)記為N．連接∵，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴都是三角形中位線∴，∵，∴，∴，∵，∴在與中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴即∵E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），∴；（3）解：連接，當(dāng)E與H重合時(shí)，，∵此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，．【變式1】如圖，、分別是的中線和角平分線，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形中位線定理，三線合一性質(zhì)，勾股定理，取的中點(diǎn)F，連結(jié)，計(jì)算即可．解：如圖，取的中點(diǎn)F，連結(jié)，∵是的中線，∴，∴是的中位線，∴，∵，，∴，．由勾股定理，得．∵BE平分，，∴，∴，∴．根據(jù)等腰三角形“三線合一”，得．∵，∴∴E是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵的中點(diǎn)F，∴，∴．故選D．【變式2】如圖，矩形中，，.F是上一點(diǎn)，將沿所在的直線折疊，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)E處，連接交于點(diǎn)G，取的中點(diǎn)H，連接，則.【答案】【分析】本題考查圖形的折疊，熟練掌握翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由折疊可知，垂直平分，連接，可得是的中位線，求出即可求．解：由折疊可知，垂直平分，連接，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，，，，故答案為：．【考點(diǎn)3】利用三角形的中位線與直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求值或證明【例3】如圖，在中，D為斜邊的中點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)，若，．

（1）求證：為的角平分線；（2）求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）4【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形中位線定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)三角形中位線定理得到，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：（1）證明：，，為斜邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)，是的中位線，，，，為的角平分線．（2）解：為斜邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)，，，，，在中，D為斜邊的中點(diǎn)，．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)及直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)．【變式1】如圖，在中，D是斜邊的中點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)是（

）

A．8 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出，進(jìn)而求出，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)解答即可．解：∵D是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，，∴是的中位線，∴，∵，∴，在中，D是斜邊的中點(diǎn)，則，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知中，點(diǎn)D為斜邊的中點(diǎn)，連接，將沿翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E的位置，交于F，連接．若，，則AE的長(zhǎng)為．【答案】【分析】利用直角三角形的勾股定理和斜邊中線等于斜邊一半可以得到等腰三角形的邊長(zhǎng)，通過(guò)作輔助線，可將所求的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化到求，由折疊得是的中垂線，借助三角形的面積公式，可以求出，進(jìn)而求出，由等腰三角形的性質(zhì)，可得是三角形的中位線，得，求出，再根據(jù)勾股定理，求出，進(jìn)而解得．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作，，垂足為，連接交于點(diǎn)G，在中，，，得，∵點(diǎn)D為斜邊的中點(diǎn)，∴，在中，，得，那么，在中，，∴，∴為的中位線，∴，，由折疊得，垂直平分，在中，由三角形面積公式得，即，在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考圖形的查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理及等面積法，能夠構(gòu)造出并證明三角形中位線是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4】三角形的中位線的綜合應(yīng)用【例4】如圖，四邊形為平行四邊形，為上的一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，使，連結(jié)并延長(zhǎng)，使，連結(jié)．為的中點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）證明為的中位線，得出，，由為的中點(diǎn)，得到，由四邊形為平行四邊形，得到，從而得到，即可得證；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得到，由等腰三角形的性質(zhì)得出，由三角形內(nèi)角和定理得出，最后由，即可得出答案．解：（1）證明：，，為的中位線，，，為的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：四邊形為平行四邊形，，，，，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，矩形對(duì)角線、相交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（）?A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由角平分線的定義可得，則為等腰直角三角形，，根據(jù)等腰直角三角形三線合一的性質(zhì)得，，進(jìn)而易求得，于是，由三角形中位線定理易知為的中位線，則．解：∵四邊形為矩形，，∴，，，∵平分，∴，∴為等腰直角三角形，，∵，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，，即點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定與性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的三線合一性質(zhì)得到，進(jìn)而得出為的中位線是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，，，、分別在、上，，，的中點(diǎn)分別是，，直線分別交，于，，若，則．

【答案】2【分析】如圖，記的中點(diǎn)為，連接，，則是的中位線，是的中位線，，，，，由平行線的性質(zhì)以及題意可得，，，則，，，設(shè)，則，，由，可得，計(jì)算求解即可．解：如圖，記的中點(diǎn)為，連接，，

∵，的中點(diǎn)分別是，，的中點(diǎn)為，∴是的中位線，是的中位線，∴，，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∵，∴，解得，，故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查中位線的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【考點(diǎn)5】三角形的中位線的拓展應(yīng)用【例5】如圖所示，菱形中，，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），線段的垂直平分線分別交于點(diǎn)F，G；的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N．（1）求證：；（2）求的最小值；（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否變化?若沒(méi)有變化，請(qǐng)求出的度數(shù)；若有變化，請(qǐng)說(shuō)明變化情況．【答案】（1）證明見(jiàn)分析；（2）；（3）不變，的度數(shù)為【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)可得，由菱形的性質(zhì)可得，，證明，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）由，是線段的中點(diǎn)，可知是的中位線，是的中位線，則，，，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，是等邊三角形，可得，進(jìn)而可得的最小值；（3）如圖，延長(zhǎng)交于，由三角形外角的性質(zhì)得，，則，由，可得，則，由，可得，，則，由三角形外角的性質(zhì)得，進(jìn)而可得，進(jìn)而結(jié)論得證．解：（1）證明：∵是線段的垂直平分線，∴，∵四邊形是菱形，∴，，在和中，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，是線段的中點(diǎn)，∴是的中位線，是的中位線，∴，，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴的最小值為；（3）解：不變，為；如圖，延長(zhǎng)交于，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴是定值，為．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式1】如圖，已知，，，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，兩邊，分別交，于點(diǎn)，．給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③是等腰直角三角形；④上述結(jié)論始終正確的有（

）

A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證即可．解：如圖，連接．

是等腰直角三角形∵點(diǎn)是的中點(diǎn)同理可得：，結(jié)合（已證），故①正確．是等腰三角形，又是直角，是等腰直角三角形，故③正確過(guò)點(diǎn)P分別作，垂足為點(diǎn)M、N．如下圖．

，點(diǎn)是的中點(diǎn)是三角形的兩條中位線，故④正確．連接．

假定點(diǎn)E與點(diǎn)N不重合．由，為直角知，四邊形是矩形．又（前面已證）知，四邊形是正方形．則為等腰直角三角形．由前面已證可知，也是等腰直角三角形．∴．在直角中，總有：．∴．∴即：．由四邊形是正方形知，，∴．只有當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí)，．故②不正確．綜上，正確的有①③④．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的判定定理與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖是一張面積為的紙片，其中，，是三角形的中位線，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)．沿著虛線將紙片裁開(kāi)，并將兩側(cè)的紙片按箭頭所示的方向分別繞點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)在同一平面內(nèi)拼圖，使得與重合，與重合．則拼成的四邊形紙片周長(zhǎng)的最大值與最小值之差為．【答案】【分析】首先說(shuō)明拼成的四邊形是平行四邊形，周長(zhǎng)=2MN+10，求出MN的最小值，最大值，可得結(jié)論．解：如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC=N′N″，M′M″=2DE，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，BC=2DE，∴M′M″∥N′N″，M′M″=N′N″，∴四邊形M′M″N″N′是平行四邊形，∴四邊形M′M″N″N′的周長(zhǎng)=2MN+10，如圖，連接BE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，EJ⊥BC于J．∵S△ABC=?BC?AH=10，BC=5，∴AH=4，∵∠ABC=