人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-2133導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用測(cè)試（教師版）

導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（檢測(cè)教師版）時(shí)間:50分鐘總分：80分班級(jí)：姓名：選擇題（共6小題，每題5分，共30分）1．某汽車(chē)運(yùn)輸公司，購(gòu)買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入客運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N＋)滿足y＝－x2＋12x－25，則每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)多少年可使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大()A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【解析】年平均利潤(rùn)f(x)＝eq\f(y,x)＝－x－eq\f(25,x)＋12(x∈N＋)，又f′(x)＝－1＋eq\f(25,x2)，令f′(x)＝0，解得x＝5.又極值唯一，故選C.2．用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四個(gè)角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四個(gè)角截去的正方形的邊長(zhǎng)為()A．6cm B．8cmC．10cm D．12cm【答案】B【解析】設(shè)截去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則做成的長(zhǎng)方體無(wú)蓋鐵盒的底面邊長(zhǎng)為(48－2x)cm，高為xcm，體積V(x)＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋482x.其中0<x<24，V′(x)＝12x2－384x＋482＝12(x2－32x＋192)令V′(x)＝0，則x2－32x＋192＝0，∴x1＝8，x2＝24(舍去)．在(0,24)中V(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以當(dāng)正方形邊長(zhǎng)為8cm時(shí)，鐵盒容積最大．故選B.3．有一長(zhǎng)為16米的籬笆，要圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則此矩形場(chǎng)地的最大面積為()A．32m2 B．14m2C．16m2 D．18m2【答案】C【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為8－x，矩形面積為S＝x(8－x)(x>0)，令S′＝8－2x＝0，得x＝4，此時(shí)S最大＝42＝16.故選C.4．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400,80000x>400))，則總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是()A．100 B．200C．250 D．300【答案】D【解析】由題意，總成本為C＝20000＋100x，所以總利潤(rùn)為P＝R－C＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－200000≤x≤400,60000－100xx>400)).P′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x0≤x≤400,－100x>400)).令P′＝0，當(dāng)0≤x≤400時(shí)，得x＝300；當(dāng)x>400時(shí)，P′<0恒成立，易知當(dāng)x＝300時(shí)，總利潤(rùn)最大．故選D.5．若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積最大為()A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D．eq\f(1,2)πr2【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，則R＝rcosθ，l＝2rsinθ.∴S側(cè)＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ，∴S′＝4πr(cos2θ－sin2θ)＝0，∴θ＝eq\f(π,4)，即當(dāng)θ＝eq\f(π,4)，R＝eq\f(\r(2)r,2)時(shí)，S側(cè)最大，且最大值為2πr2.故選A.6．某工廠要圍建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌墻所用的材料最省時(shí)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為()A．3216 B．3015C．4020 D．3618【答案】A【解析】要求材料最省，則要求新砌的墻壁總長(zhǎng)最短，設(shè)場(chǎng)地寬為xm，則長(zhǎng)為eq\f(512,x)m，因此新墻總長(zhǎng)為L(zhǎng)＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，則L′＝2－eq\f(512,x2)，令L′＝0得x＝±16，又x>0，∴x＝16，則當(dāng)x＝16時(shí)，Lmin＝64，∴長(zhǎng)為eq\f(512,16)＝32(m)．故選A.填空題（共4小題，每題5分，共20分）7．把長(zhǎng)60cm的鐵絲圍成矩形，當(dāng)長(zhǎng)為_(kāi)_______cm，寬為_(kāi)_______cm時(shí)，矩形面積最大．【答案】1515【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm，則寬為eq\f(60－2x,2)＝(30－x)cm(0<x<30)，矩形的面積S＝x·(30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝2(15－x)，令S′＝0得x＝15，當(dāng)0<x<15時(shí)S′>0，當(dāng)15<x<30時(shí)S′<0，∴當(dāng)x＝15時(shí)，S取極大值，這個(gè)極大值就是最大值，故當(dāng)矩形長(zhǎng)為15cm，寬為15cm時(shí)面積最大．8．某商品一件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣(mài)出(200－x)件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為_(kāi)_______元時(shí)，利潤(rùn)最大．【答案】115【解析】利潤(rùn)為S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，(30≤x≤200)S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，這時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大．9．貨車(chē)欲以xkm/h的速度行駛?cè)?30km遠(yuǎn)的某地，按交通法規(guī)，限制x的允許范圍是[50,100]，假設(shè)汽油的價(jià)格為2元/升，而汽車(chē)耗油的速率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))升/小時(shí)，司機(jī)的工資是14元/小時(shí)，則最經(jīng)濟(jì)的車(chē)速是________，這次行車(chē)的總費(fèi)用最低是________．【答案】18eq\r(10)km/h26eq\r(10)元【解析】行車(chē)的總費(fèi)用y＝eq\f(130,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))×2＋eq\f(130,x)×14＝eq\f(2340,x)＋eq\f(13,18)x，y′＝eq\f(13,18)－eq\f(2340,x2)令y′＝0，解得x＝18eq\r(10)∈[50,100]．∴當(dāng)x＝18eq\r(10)(km/h)時(shí)，總費(fèi)用最低，且ymin＝26eq\r(10)(元)．10．在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開(kāi)_______時(shí)它的面積最大．【答案】eq\f(3R,2)【解析】設(shè)∠OBC＝θ，則0<θ<eq\f(π,2).OD＝Rsinθ，BD＝Rcosθ，∴S△ABC＝Rcosθ(R＋Rsinθ)＝R2cosθ＋R2sinθcosθ.S′(θ)＝－R2sinθ＋R2(cos2θ－sin2θ)＝0∴cos2θ＝sinθ，∴θ＝eq\f(π,6)，即當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時(shí)，△ABC的面積最大，此時(shí)高為OA＋OD＝R＋eq\f(R,2)＝eq\f(3R,2).三、解答題（共3小題，每題10分，共30分）11．永泰某景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益，現(xiàn)對(duì)某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級(jí)，從而擴(kuò)大內(nèi)需，提高旅游增加值，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，旅游增加值y萬(wàn)元與投入x(x≥10)萬(wàn)元之間滿足：y＝f(x)＝ax2＋eq\f(101,50)x－blneq\f(x,10)，a，b為常數(shù)．當(dāng)x＝10萬(wàn)元時(shí)，y＝19.2萬(wàn)元；當(dāng)x＝30萬(wàn)元時(shí)，y＝50.5萬(wàn)元．(參考數(shù)據(jù)：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f(x)的解析式；(2)求該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游利潤(rùn)T(x)的最大值．(利潤(rùn)＝旅游增加值－投入)．【解析】(1)由條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a×102＋\f(101,50)×10－bln1＝19.2，,a×302＋\f(101,50)×30－bln3＝50.5，))解得a＝－eq\f(1,100)，b＝1，則f(x)＝－eq\f(x2,100)＋eq\f(101,50)x－lneq\f(x,10)(x≥10)．(2)T(x)＝f(x)－x＝－eq\f(x2,100)＋eq\f(51,50)x－lneq\f(x,10)(x≥10)，則T′(x)＝eq\f(－x,50)＋eq\f(51,50)－eq\f(1,x)＝－eq\f(x－1x－50,50x)，令T′(x)＝0，則x＝1(舍)或x＝50，當(dāng)x∈(10,50)時(shí)，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函數(shù)；當(dāng)x∈(50，＋∞)時(shí)，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是減函數(shù)，∴當(dāng)x＝50時(shí)，T(x)取最大值．T(50)＝－eq\f(502,100)＋eq\f(51,50)×50－lneq\f(50,10)＝24.4(萬(wàn)元)．即該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游利潤(rùn)T(x)的最大值為24.4萬(wàn)元.12．已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為f(x)＝25000＋200x＋eq\f(1,40)x2(元)．(1)要使生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？(2)若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？【解析】(1)設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本為y元，則y＝eq\f(25000＋200x＋\f(1,40)x2,x)＝eq\f(25000,x)＋200＋eq\f(1,40)x(x>0)y′＝－eq\f(25000,x2)＋eq\f(1,40)令y′＝0，得x1＝1000，x2＝－1000(舍去)當(dāng)x∈(0,1000)時(shí)，y取得極小值．由于函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，因此要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品．(2)利潤(rùn)函數(shù)L(x)＝500x－(25000＋200x＋eq\f(x2,40))＝300x－25000－eq\f(1,40)x2L′(x)＝300－eq\f(x,20)令L′(x)＝0，得x＝6000當(dāng)x∈(0,6000)時(shí)，L′(x)>0當(dāng)x∈(6000，＋∞)時(shí)，L′(x)<0，∴x＝6000時(shí)，L(x)取得極大值，即函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值，因此要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品．13．某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級(jí)污水處理池(平面圖如圖所示)．如果池四周?chē)鷫ㄔ靻蝺r(jià)為400元/m2，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/m2，池底建造單價(jià)為80元/m2，水池所有墻的厚度忽視不計(jì)．(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；(2)若由于地形限制，該地的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16m，試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)．【解析】設(shè)污水處理池的長(zhǎng)為xm，則寬為eq\f(200,x)m，再設(shè)總造價(jià)為y元，則有(1)y＝2x×400＋eq\f(200,x)×2×400＋248×2×eq\f(200,x)＋80×200＝800x＋eq\f(259200,x)＋16000≥2eq\r(800x·\f(259200,x))＋16000＝2×14400＋16000＝44800，當(dāng)且僅當(dāng)800x＝eq\f(259200,x)，即x＝18(m)時(shí)，y取得最小值．∴當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為18m，寬為eq\f(100,9)m時(shí)總造價(jià)最低，為44800元．(2)∵0<x≤16,0<eq\f(200,x)≤16，∴12.5≤x≤16，x≠18，∴不能用基本不等式．但我們可用函數(shù)單調(diào)性定義或?qū)?shù)證明上述目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間[12.5,16]上是減函數(shù)，從而利用單調(diào)性求得最小值．由(1)知，y＝φ(x)＝800(x＋eq\f(324,x))＋16000(12.5≤x≤16)．方法1：利用定義證明單調(diào)性．對(duì)任意x1，x2∈[12.5,16]，設(shè)x1<x2，則φ(x1)－φ(x2)＝800[(x1－x2)＋324·(eq\f(1,x1)－eq