勒貝格積分知識點

勒貝格積分知識點一、勒貝格積分的定義勒貝格積分是一種廣義上廣泛使用的積分，是對實數(shù)軸或者某個實數(shù)區(qū)間上的函數(shù)進行積分，常用于測度論，函數(shù)分析，微積分等方面。它是由法國數(shù)學家勒貝格所提出的，其最初的形式是為了解決Riemann積分的不足，將區(qū)間分割數(shù)的概念替換為測度的概念，從而克服了Riemann積分極限不存在等問題。二、勒貝格積分的定義方式勒貝格積分有兩種定義方式：逐步逼近及測度極限。這里我們介紹逐步逼近的定義方式。1.逐步逼近①令$f$為定義在區(qū)間$[a,b]$上的有界函數(shù)，則$f$的下積分$\underline{\int_{a}^}f(x)d\alpha$的定義為：$\underline{\int_{a}^}f(x)d\alpha\equiv\sup\left\{\left.\int_{a}^g(x)d\alpha\\right|g(x)\leqf(x);g(x)\text{為下半連續(xù)函數(shù)}\right\},$其中$\alpha$表示一個帶有測度的函數(shù)，對于區(qū)間$[a,b]$來說，它可以看作是流形上的長度測度。②令$f$為定義在區(qū)間$[a,b]$上的有界函數(shù)，則$f$的上積分$\overline{\int_{a}^}f(x)d\alpha$的定義為：$\overline{\int_{a}^}f(x)d\alpha\equiv\inf\left\{\left.\int_{a}^h(x)d\alpha\\right|f(x)\leqh(x);h(x)\text{為上半連續(xù)函數(shù)}\right\}$。③當$\underline{\int_{a}^}f(x)d\alpha=\overline{\int_{a}^}f(x)d\alpha$時，此時$f$在$[a,b]$上是勒貝格可積的，并記成$\int_{a}^f(x)d\alpha$。三、勒貝格積分的主要性質(zhì):1.可積性的充要條件對于定義在區(qū)間$[a,b]$上的函數(shù)$f$，如果$\underline{\int_{a}^}f(x)d\alpha=\overline{\int_{a}^}f(x)d\alpha$，則$f$在$[a,b]$上是一個勒貝格可積的函數(shù)。2.線性性勒貝格積分具有線性性，即對于任意實數(shù)$\lambda,\mu$及在$[a,b]$上的函數(shù)$f,g$，有：$\int_{a}^(\lambdaf+\mug)d\alpha=\lambda\int_{a}^fd\alpha+\mu\int_{a}^gd\alpha$.3.單調(diào)性如果定義在$[a,b]$上的兩個函數(shù)$f$和$g$滿足$f(x)\leg(x)$，則有：$\underline{\int_a^b}f(x)d\alpha\leq\underline{\int_a^b}g(x)d\alpha$和$\overline{\int_a^b}f(x)d\alpha\leq\overline{\int_a^b}g(x)d\alpha$，當$f(x)=g(x)$時，這兩個式子是取等的。4.絕對值不等式對于任意定義在區(qū)間$[a,b]$上的函數(shù)$f$和$g$，有$\left|\int_{a}^f(x)d\alpha\right|\leq\int_{a}^\left|f(x)\right|d\alpha$。5.積分與極限的關(guān)系若$f$為定義在$[a,b]$上的函數(shù)，$f\inR[a,b]$，$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)d\alpha$，則$F(x)$在$[a,b]$上也是勒貝格可積的，且有：$\int_{a}^fd\alpha=F(b)-F(a)$。6.積分比較設(shè)$f,g$為兩個定義在$[a,b]$上的函數(shù)，如果有$f(x)\leg(x)$以及$f,g$均非負，則有：$\int_{a}^f(x)d\alpha\leq\int_{a}^g(x)d\alpha$.7.換元設(shè)$y=h(x)$是$[a,b]$上的一次單調(diào)可微函數(shù)，$f$為定義在區(qū)間$[c,d]$上的函數(shù)，則有：$\int_a^bf(y)d\alpha=\int_c^df(h(x))h'(x)d\alpha$.8.分部積分如果$f,g$在$[a,b]$上是可積的，則有：$\int_{a}^f(x)g'(x)d\alpha=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_{a}^f'(x)g(x)d\alpha$.四、勒貝格積分與Riemann積分的比較勒貝格積分和Riemann積分是兩個非常重要的積分方法。有時候，它們會有不同的結(jié)果，但在某些條件下，它們可以看成相同的。與Riemann積分相比，勒貝格積分有以下幾個比較突出的性質(zhì)：1.勒貝格積分能夠處理極限不存在、間斷點處積分等問題。2.勒貝格積分允許對無界函數(shù)進行積分處理。3.勒貝格積分的逐步逼近定義方式更加簡單易懂。4.勒貝格積分更符合一般測度的獨立性原則?？傮w來說，勒貝格積分比Riemann積分更為強大，使用起來更加靈活，能夠解決更多的數(shù)學問題。五、總結(jié)勒貝格積分是一種廣義的積分形式，具有許多重要的數(shù)學性質(zhì)。它是由法國