北師版九年級數(shù)學(xué) 第一章 特殊平行四邊形（單元綜合測試卷）

第一章特殊平行四邊形（單元重點(diǎn)綜合測試）班級___________姓名___________學(xué)號____________分?jǐn)?shù)____________考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時(shí)間：120分鐘；總分：120分一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角線互相平分 B．對邊平行且相等C．對角線相等 D．對角相等2．如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)O，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．已知矩形的較短邊長為6，對角線相交成60°角，則這個(gè)矩形的較長邊的長是（

）A． B． C．9 D．124．如圖，在菱形中，對角線，相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．下面說法正確的是（

）A．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．矩形的對角線相等 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形6．如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE的長是(

)A．5cm B．6cm C．cm D．cm；7．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，對角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接CE，則△DCE的面積為（）A． B． C．2 D．18．如圖，點(diǎn)B、C分別在兩條直線和上，點(diǎn)A、D是x軸上兩點(diǎn)，若四邊形是正方形，則k的值為（

）

A．6 B．5 C． D．9．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E、F分別為AD、DC上的動點(diǎn)，∠EBF＝60°，點(diǎn)E從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，AE+CF的長度（）．A．逐漸增加 B．逐漸減小C．保持不變且與EF的長度相等 D．保持不變且與AB的長度相等10．如圖，在正方形中，是對角線與的交點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），過點(diǎn)作垂直交于點(diǎn)，連結(jié)、、．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的有（

）個(gè)A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11．菱形的邊長為5，對角線，則菱形的面積是．12．要使矩形ABCD成為正方形，可添加的條件是（寫一個(gè)即可）．13．如圖，E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，且CE=AC，AE交CD于點(diǎn)F，則∠E=14．如圖，一張長，寬的矩形紙片，將它沿某直線折疊使得A、C重合，則折痕的長為．

15．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點(diǎn)P為邊AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE+PF=．16．已知，矩形，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接、交于點(diǎn)．若，，，．則．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是邊長為1的正方形，頂點(diǎn)分別在軸的正半軸上．點(diǎn)Q在對角線上，且，連接并延長交邊于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．18．如圖，矩形中，，點(diǎn)H在邊上，，E為邊上一個(gè)動點(diǎn)，連．以為一邊在的右上方作菱形，使點(diǎn)G落在邊上，連結(jié)．（1）當(dāng)菱形為正方形時(shí)，的長為；（2）在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，的面積S的取值范圍為．三、解答題（本大題共9小題，共66分）19．如圖，在正方形中，是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接、．求證：．20．如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．求：（1）∠BAD，∠ABC的度數(shù)；（2）AB，AC的長．21．如圖，在6×6的方格紙中，請按要求作圖．（1）圖1中，A，B是方格紙中的格點(diǎn)，以AB為一邊作一個(gè)矩形ABCD，要求C，D兩點(diǎn)也在格點(diǎn)上；（2）圖2中，E，F(xiàn)是方格紙中的格點(diǎn)，以EF為一邊作一個(gè)菱形EFGH，要求G，H兩點(diǎn)也在格點(diǎn)上．22．如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點(diǎn)，且DE＝BF，連接AE，AF，EF．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的長．23．如圖，菱形的對角線交于點(diǎn)O，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．24．如圖，在矩形中，，．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)A即停止；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、Q的速度都是．連接、、．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間為ts．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是矩形，請說明理由；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是菱形，請說明理由；(3)直接寫出（2）中菱形的周長和面積，周長是______cm，面積是______．25．如圖，在菱形中，E為對角線上一點(diǎn)，F(xiàn)是延長線上一點(diǎn)，連接，，，，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接，求證：．26．如圖，在矩形中，，E為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，且滿足，延長交邊于點(diǎn)M．(1)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，線段的長為________（用含a的代數(shù)式表示）；(2)連接，若，求證；(3)當(dāng)，時(shí)，求的最小值．27．如圖1，四邊形為菱形，．，，．(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為，四邊形的面積為；(2)如圖2，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動，為等邊三角形．①求證：，并求的最小值；②點(diǎn)E在線段上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)是否發(fā)生變化？若不變，請求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)．若變化，請說明理由．28．已知正方形，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動點(diǎn)（不與重合），將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)如圖，點(diǎn)在上運(yùn)動的過程中，線段與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請證明你的發(fā)現(xiàn)；若，求此時(shí)的度數(shù)．(3)如圖，連接，則的最小值是____________（直接寫出答案）；

第一章特殊平行四邊形（單元重點(diǎn)綜合測試）班級___________姓名___________學(xué)號____________分?jǐn)?shù)____________考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時(shí)間：120分鐘；總分：120分一、單選題1．矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角線互相平分 B．對邊平行且相等C．對角線相等 D．對角相等【答案】C【分析】根據(jù)矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，所以平行四邊形所具有的性質(zhì)，矩形和菱形都具有即可解答．【解析】解：矩形和菱形是平行四邊形，∵A、B、D是二者都具有的性質(zhì)，對角線相等是矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形、菱形的性質(zhì)，掌握矩形、菱形與平行四邊形的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)O，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用正方形的性質(zhì)求解即可．【解析】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．已知矩形的較短邊長為6，對角線相交成60°角，則這個(gè)矩形的較長邊的長是（

）A． B． C．9 D．12【答案】B【分析】根據(jù)矩形對角線相等且互相平分的性質(zhì)和題中的條件易得△AOB為等邊三角形，即可得到矩形對角線的長，進(jìn)而求解即可．【解析】如圖：AB=6，∠AOB=60°，∵四邊形是矩形，AC，BD是對角線，∴OA=OB=OC=OD=BD=AC，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，∴OA=OB=AB=6，BD=2OB=12，∴BC=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟悉性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在菱形中，對角線，相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，再進(jìn)一步求解即可．【解析】解：四邊形是菱形，，，，，，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，熟知菱形的對角線平分一組對角是解題的關(guān)鍵．5．下面說法正確的是（

）A．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．矩形的對角線相等 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】C【分析】根據(jù)菱形，矩形，正方形的性質(zhì)和判定定理，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A不正確，不符合題意；B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B不正確，不符合題意；C、矩形的對角線相等，故C正確，符合題意；D、對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，故D不正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形、矩形、正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)．6．如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE的長是(

)A．5cm B．6cm C．cm D．cm；【答案】D【分析】首先利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出BC的長，再利用三角形面積求出答案【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°，∴BC==5（cm），∵S△ABC=AE×BC=BO×AC故5AE=24，解得：AE=（cm）.故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，正確得利用三角形面積求出AE的長是解題關(guān)鍵．7．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，對角線AC的垂直平分線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接CE，則△DCE的面積為（）A． B． C．2 D．1【答案】B【分析】由EF垂直平分AC可得AE=CE，設(shè)CE＝x，則ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出x的長，繼而根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°，∵EO是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，設(shè)CE＝x，則ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，即x2＝22+(4﹣x)2，解得：x＝，即CE的長為，DE＝4﹣＝，所以△DCE的面積＝××2＝，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.8．如圖，點(diǎn)B、C分別在兩條直線和上，點(diǎn)A、D是x軸上兩點(diǎn)，若四邊形是正方形，則k的值為（

）

A．6 B．5 C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再代入求得，再根據(jù)，，列方程求解即可．【解析】解：∵點(diǎn)B、C分別在兩條直線和上，設(shè)點(diǎn)，∵四邊形是正方形，∴，∴把代入得，，∴，∴，，∴，∴，故選：D．9．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E、F分別為AD、DC上的動點(diǎn)，∠EBF＝60°，點(diǎn)E從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，AE+CF的長度（）．A．逐漸增加 B．逐漸減小C．保持不變且與EF的長度相等 D．保持不變且與AB的長度相等【答案】D【分析】證明△ABE≌△DBF（AAS），可得AE＝DF；結(jié)合圖形可知：AE+CF＝AB，AB是一定值，從而完成求解．【解析】連接BD∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，∵∠A＝60°∴△ABD是等邊三角形∴AB＝BD，∠ABD＝60°∵DC∥AB∴∠CDB＝∠ABD＝60°∴∠A＝∠CDB∵∠EBF＝60°∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF∴∠ABE＝∠DBF∵∴△ABE≌△DBF（AAS）∴AE＝DF∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB故選：D．【點(diǎn)睛】本題考察了菱形、等邊三角形、全等三角形的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握菱形、等邊三角形、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解．10．如圖，在正方形中，是對角線與的交點(diǎn)，是邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），過點(diǎn)作垂直交于點(diǎn)，連結(jié)、、．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的有（

）個(gè)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理應(yīng)用，解題關(guān)鍵是全等三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)正方形的性質(zhì)，依次判定，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論．【解析】解：①正方形中，，，，又，，，，；故①正確；②③根據(jù)，可得，，，，，，，即，；故②和③正確；④，，，中，，，故④正確；本題正確的結(jié)論有：①②③④；故選：D．二、填空題11．菱形的邊長為5，對角線，則菱形的面積是．【答案】24【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直，再利用勾股定理求出另一條對角線的長度，根據(jù)菱形的面積計(jì)算方法求解即可．【解析】如圖所示，∵菱形的邊長為5，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴菱形的面積．故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．要使矩形ABCD成為正方形，可添加的條件是（寫一個(gè)即可）．【答案】AB=BC；BC=CD；CD=AD；AD=AB；AC⊥BD（挑選一個(gè)即可）【分析】根據(jù)正方形的判定定理進(jìn)行添加即可．【解析】從邊上添加：有AB=BC，BC=CD，CD=DA，DA=AB（有一組領(lǐng)邊相等的矩形為正方形）從對角線上添加：有AC⊥BD（對角線互相垂直的矩形為正方形）．故答案為：AB=BC；BC=CD；CD=AD；AD=AB；AC⊥BD（挑選一個(gè)即可）【點(diǎn)睛】本題考查了由矩形得到正方形的判定，熟知其判定定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，且CE=AC，AE交CD于點(diǎn)F，則∠E=【答案】22.5°【分析】由于正方形的對角線平分一組對角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了頂角的度數(shù)，即可由三角形內(nèi)角和定理求得∠E的度數(shù)．【解析】解：正方形對角線平分直角，故∠ACD=45°，已知DC⊥CE，則∠ACE=∠135°，又∵CE=AC，∴∠E==22.5°．故答案為：22.5°．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形兩底角相等的應(yīng)用，以及正方形中邊角性質(zhì)的應(yīng)用．14．如圖，一張長，寬的矩形紙片，將它沿某直線折疊使得A、C重合，則折痕的長為．

【答案】【分析】由題意可知，連接，利用翻折的性質(zhì)可知，，，進(jìn)而可得，則，設(shè)，則，在中由勾股定理可得，列出方程即可求得，在中由勾股定理可得，進(jìn)而可求得折痕的長度．【解析】解：由題意可知，，，，∴，連接，

由翻折可知，，，，則，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中由勾股定理可得：，即：，解得：，即：，∴在中由勾股定理可得：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】題主要考查的是折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點(diǎn)P為邊AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE+PF=．【答案】【分析】連接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性質(zhì)得出S矩形ABCD=AB?BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．【解析】解：連接OP，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，AC==10，∴S矩形ABCD=AB?BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，∴PE+PF=；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16．已知，矩形，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接、交于點(diǎn)．若，，，．則．【答案】6【分析】過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)H，證明，得出是等腰直角三角形，進(jìn)而得出四邊形是平行四邊形，即可求解．【解析】解：如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)H，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，，，∴,∴∴,，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是邊長為1的正方形，頂點(diǎn)分別在軸的正半軸上．點(diǎn)Q在對角線上，且，連接并延長交邊于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到對角線，結(jié)合題意推出，并由正方形的性質(zhì)推出∠BPQ＝∠BQP，得到，從而得到，即可得出結(jié)論．【解析】解：∵四邊形OABC是邊長為1的正方形，∴根據(jù)勾股定理，得對角線，∵OQ＝OC，∴，∠OCQ＝∠OQC，∵OC//AB，∴∠OCQ＝∠BPQ，∵∠OQC＝∠BQP（對頂角相等），∴∠BPQ＝∠BQP，∴，∴，又∵OA＝1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形，理解正方形的基本性質(zhì)，以及平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的基本特征是解題關(guān)鍵．18．如圖，矩形中，，點(diǎn)H在邊上，，E為邊上一個(gè)動點(diǎn)，連．以為一邊在的右上方作菱形，使點(diǎn)G落在邊上，連結(jié)．（1）當(dāng)菱形為正方形時(shí)，的長為；（2）在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，的面積S的取值范圍為．【答案】1【分析】（1）由于四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=90°，HG=HE，易證△GDH≌△HAE，得DG=AH=1；（2）過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性質(zhì)有∠AEH=∠MGF，再結(jié)合∠A=∠M=90°，HE=FG，可證△AHE≌△MFG，從而有FM=HA=1，進(jìn)而可求△FCG的面積S的最大值和最小值，從而確定S的取值范圍．【解析】解：（1）如圖1，當(dāng)菱形為正方形時(shí)，，，四邊形為矩形，，，，在和中，，，；故答案為：1；（2）如圖2，過作，交延長線于，連接，，，，，，在和中，，，即無論菱形如何變化，點(diǎn)到直線的距離始終為定值1，因此，設(shè)，則，在中，，，，，，的最小值為，此時(shí)，的最大值為，此時(shí)，在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，的面積的取值范圍為：；故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積．解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．三、解答題19．如圖，在正方形中，是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接、．求證：．【答案】見詳解【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．欲證明，只要證明即可．【解析】證明：是正方形，，，又、分別是、的中點(diǎn)，，在和中，，，．20．如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．求：（1）∠BAD，∠ABC的度數(shù)；（2）AB，AC的長．【答案】(1)∠BAD=60°，∠ABC=120°;(2)AB＝6cm，AC=6【分析】（1）根據(jù)∠ACD=30°和菱形的性質(zhì)求出AD//BC，即可得出答案；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠DBC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出CD即可得到AB，進(jìn)而求出AC．【解析】解：（1）∵∠ACD=30°∴∠BCD=60°（菱形對角線平分對角）∴∠BAD=60°（菱形對角相等）∴AD//BC（菱形對邊平行）∴∠ABC=120°（，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）（2）∵∠ABC=120°∴∠DBC=60°（菱形對角線平分對角）∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°（三角形內(nèi)角和為180°）∴∠DBC=∠BCD=∠BDC=60°∴BD=BC=CD=6cm∴AB=CD=6cm（菱形對邊相等）∵AC⊥BD且AO=CO（菱形對角線互相垂直平分）∴AO=3（直角三角形30°角定理）∴AC=6【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和30°直角三角形等知識點(diǎn)，能靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．21．如圖，在6×6的方格紙中，請按要求作圖．（1）圖1中，A，B是方格紙中的格點(diǎn)，以AB為一邊作一個(gè)矩形ABCD，要求C，D兩點(diǎn)也在格點(diǎn)上；（2）圖2中，E，F(xiàn)是方格紙中的格點(diǎn)，以EF為一邊作一個(gè)菱形EFGH，要求G，H兩點(diǎn)也在格點(diǎn)上．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格，以AB為邊在圖1中即可畫一個(gè)以A，B，C，D為頂點(diǎn)的矩形；（2）根據(jù)網(wǎng)格，分別以E，F(xiàn)為頂點(diǎn)，畫1×2格對角線即可在圖2中作一個(gè)菱形EFGH．【解析】解：（1）如圖1，四邊形ABCD即為所求作的矩形；（2）如圖2，四邊形EFGH即為所求作的菱形；．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，矩形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．22．如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點(diǎn)，且DE＝BF，連接AE，AF，EF．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案；（2）首先利用去等三角形的性質(zhì)得出CE，CF的長，再利用勾股定理得出答案．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，AD=AB在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，∴BF＝DE＝6，∵BC＝DC＝8，∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，正確應(yīng)用正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．如圖，菱形的對角線交于點(diǎn)O，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)3【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得，則，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得，結(jié)合矩形的性質(zhì)得，再由勾股定理得，即可求解．本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【解析】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，平行四邊形是矩形．（2）解：如圖，連接四邊形是菱形，，∵四邊形是矩形∴∴在中，由勾股定理得：．24．如圖，在矩形中，，．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)A即停止；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、Q的速度都是．連接、、．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間為ts．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是矩形，請說明理由；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是菱形，請說明理由；(3)直接寫出（2）中菱形的周長和面積，周長是______cm，面積是______．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形(2)當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形(3)15；【分析】（1）根據(jù)題意用表示出、、，根據(jù)矩形的判定定理列出方程，解方程得到答案；（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形、勾股定理列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)（2）中求出的的值，求出，根據(jù)菱形的周長公式、面積公式計(jì)算即可．【解析】（1）解：由題意得，，則，四邊形是矩形，，，當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，，解得，，故當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形；（2）解：由（1）可知，四邊形為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，即時(shí)，四邊形為菱形，解得，，故當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形；（3）解：當(dāng)時(shí)，，菱形的周長為：，菱形的面積為：，故答案為：15；．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定、菱形的判定以及平行四邊形的判定，掌握它們的判定定理是解題的關(guān)鍵．25．如圖，在菱形中，E為對角線上一點(diǎn)，F(xiàn)是延長線上一點(diǎn)，連接，，，，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到AD=CD，∠ABC=∠ADC=∠ACD=∠CAD=60°，然后根據(jù)等式的性質(zhì)求得∠ADE=∠CDF，從而利用ASA定理判定三角形全等，問題得解；（2）過點(diǎn)B作BH∥AC，交AG的延長線于點(diǎn)H，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合（1）中的結(jié)論判定△ABE≌△ADE≌△CDF，利用ASA定理判定△BHG≌△EAG，利用SAS定理判定△ABH≌△ACF，從而得到AH=AF，使問題得解．【解析】解：在菱形ABCD中，∵∴AD=CD，∠ABC=∠ADC=∠ACD=∠CAD=∠ACB=60°∴∠DCF=60°又∵∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=60°∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF∴；（2）過點(diǎn)B作BH∥AC，交AG的延長線于點(diǎn)H在菱形ABCD中，∠ABE=∠ADE，AB=AD，AE=AE又由（1）可知△ADE≌△CDF∴△ABE≌△ADE≌△CDF∴AE=CF∵BH∥AC，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)∴∠H=∠GAE，BG=EG，∠HBG=∠ACB=60°∴∠ABH=∠ACF=120°又∵∠AGE=∠HGB∴△BHG≌△EAG∴BH=AE=CF，AG=GH又∵AB=AC∴△ABH≌△ACF∴AH=AF=AG+GH=2AG即．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)及三角形全等的判定，正確添加輔助線證明三角形全等是本題的解題關(guān)鍵．26．如圖，在矩形中，，E為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，且滿足，延長交邊于點(diǎn)M．(1)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，線段的長為________（用含a的代數(shù)式表示）；(2)連接，若，求證；(3)當(dāng)，時(shí)，求的最小值．【答案】(1)(2)證明過程見解析(3)【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）延長、交于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，利用等量代換可得，由等腰三角形的判定可得，再根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，，由對頂角相等得，從而證得，即可得證；（3）取的中點(diǎn)H，連接、，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理求得，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，從而可得當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即可求解．【解析】（1）解：∵，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，故答案為：；（2）解：如圖，延長、交于點(diǎn)F，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，，又∵，∴，∴；（3）解：如圖，取的中點(diǎn)H，連接、，∴，∴，∴，又∵，當(dāng)B、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，∴．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、對頂角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的三邊關(guān)系、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．27．如圖1，四邊形為菱形，．，，．(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為，四邊形的面積為；(2)如圖2，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動，為