北師版九年級數(shù)學(xué) 第二章 一元二次方程（壓軸專練）（九大題型）

第二章一元二次方程（壓軸專練）（九大題型）題型1：公式法解一元二次方程1．將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為．2．閱讀下面的例題：分解因式：．解：令得到一個關(guān)于的一元二次方程，，．解得，；．這種因式分解的方法叫求根法，請你利用這種方法完成下面問題：(1)已知代數(shù)式對應(yīng)的方程解為和7，則代數(shù)式分解后為；(2)將代數(shù)式分解因式．題型2：換元法解一元二次方程3．閱讀下列材料：方程：是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解這個方程得：，．當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴所以原方程有四個根：，，，．在這個過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(1)利用換元法解方程得到方程的解為______．(2)若，求的值．(3)利用換元法解方程：．4．閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．材料2

已知實(shí)數(shù)m，n滿足，且，顯然m，n是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：解方程：．(2)間接應(yīng)用：已知兩個不相等實(shí)數(shù)m，n滿足：，求的值．(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，求的值．5．閱讀材料，解答問題：材料一：已知實(shí)數(shù)a，滿足，，則可將a，b看作一元二次方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根．材料二：已知實(shí)數(shù)a，滿足，，將兩邊同除以，得，即，則可將a，看作一元二次方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根．請根據(jù)上述材料，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答下列問題：(1)已知實(shí)數(shù)a，滿足，，求的值；(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，且，求的值．6．閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿足：，且，求的值．題型3：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用7．閱讀材料．材料：若一元二次方程的兩個根為，，則，．(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則，．(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)，分別滿足，，且，求的值．8．對于一元二次方程，下列說法：①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程有兩個不相等的實(shí)根，則方程無實(shí)根；③若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實(shí)根，；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④9．（1）是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，且，求的值．（2）已知：，是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，設(shè)，，…，．根據(jù)根的定義，有，，將兩式相加，得，于是，得．根據(jù)以上信息，解答下列問題：①直接寫出，的值．②經(jīng)計(jì)算可得：，，，當(dāng)時，請猜想，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．10．定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，若，且，則稱這個方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．題型4：新定義題型、材料題11．閱讀材料：材料1：法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·書達(dá)于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與系數(shù)的關(guān)系，提出一元二次方程（，）的兩根x1，x2有如下的關(guān)系（韋達(dá)定理）：，；材料2：如果實(shí)數(shù)m、n滿足、，且，則可利用根的定義構(gòu)造一元二次方程，然后將m、n看作是此方程的兩個不相等實(shí)數(shù)根去解決相關(guān)問題．請根據(jù)上述材料解決下面問題：(1)若實(shí)數(shù)a，b滿足：，則_______，_______；(2)若是方程兩個不等實(shí)數(shù)根，且滿足，求k的值；(3)已知實(shí)數(shù)m、n、t滿足：，，且，求的取值范圍．12．定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，若，且，則稱這個方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，且，所以一元二次方程為“限根方程”．關(guān)于x的一元二次方程，有下列兩個結(jié)論：①當(dāng)時，該方程是“限根方程”；②若該方程是“限根方程”，則m有且只有一個整數(shù)解．對于這兩個結(jié)論判斷正確的是（

）A．①②都正確 B．①②都錯誤 C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確13．閱讀下面材料：小元遇到這樣一個問題：如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，，連接，設(shè)，，，則把關(guān)于的一元二次方程叫做正方形的關(guān)聯(lián)方程，正方形叫做方程的關(guān)聯(lián)四邊形．探究方程是否存在常數(shù)根．小元是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法把這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題．他的方法是把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到（如圖2），此時即是．請回答：．

參考小元得到的結(jié)論和思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖1，若，，則正方形的關(guān)聯(lián)方程為；（2）正方形的關(guān)聯(lián)方程是，則正方形的面積=．題型5：存在性問題14．如圖，在矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿向點(diǎn)B以的速度移動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊向點(diǎn)C以的速度移動．當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)P，Q兩點(diǎn)移動的時間為，求：(1)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形；(2)當(dāng)x為何值時，的面積為；(3)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形．15．如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)B，當(dāng)有一點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒．(1)當(dāng)時，直接寫出P，Q兩點(diǎn)間的距離．(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．(3)是否存在，使得的面積等于，若存在，請求出的值：若不存在，請說明理由．16．如圖，在中，，厘米，厘米，點(diǎn)D在上，且厘米．現(xiàn)有兩個動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時出發(fā)，其中點(diǎn)P以4厘米/秒的速度沿向終點(diǎn)C運(yùn)動；點(diǎn)Q以5厘米/秒的速度沿向終點(diǎn)C運(yùn)動．過點(diǎn)P作交于點(diǎn)E，連接．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時間為t秒．(1)；（用t的代數(shù)式表示）(2)連接，并運(yùn)用割補(bǔ)的思想表示的面積（用t的代數(shù)式表示）；(3)是否存在某一時刻t，使四邊形是平行四邊形，如果存在，請求出t，如果不存在，請說明理由；(4)當(dāng)t為何值時，為直角三角形．題型6：一元二次方程的幾何應(yīng)用17．在凸四邊形中，，．(1)如圖1，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，畫出圖形，并寫出的度數(shù)；(2)如圖2，已知．①求證：；②若，求的面積．18．如圖1，在邊長為的正方形中，對角線、相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F是上的兩個動點(diǎn)，且，連接、．分別取、、的中點(diǎn)H、K、G，連接、．(1)如圖1，求證：①；②；(2)直接寫出的最小值；(3)如圖2，連接、，求證：四邊形是平行四邊形；(4)若以E、K、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求的長．題型7：一元二次方程與平面直角坐標(biāo)系19．如圖，分別是軸上關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，連接，，．(1)如圖1，求點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如圖2，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．（不要求寫出自變量的取值范圍）(3)如圖3，在（2）的條件下，直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線上，連接，過點(diǎn)作軸垂線，連接，當(dāng)四邊形和四邊形均為矩形時，求的面積．20．在中，，，點(diǎn)分別在長方形的邊上．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在上，且，時，則________；(2)如圖，若，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），連接，求的度數(shù)；(3)如圖，若矩形中，，，在（）的基礎(chǔ)上，當(dāng)取值最小時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．題型8：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用21．正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計(jì)劃在元宵節(jié)前用21天的時間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計(jì)劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每袋手工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應(yīng)降價多少元？22．某科研單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長30m，寬20m的矩形空地，建成一個矩形花園，要求在花園內(nèi)修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道（小道進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形），剩余的地方種植花草．(1)如圖1，要使種植花草的面積為，求小道進(jìn)出口的寬度為多少米；(2)現(xiàn)將矩形花園的四個角建成休閑活動區(qū)，如圖2所示，均為全等的直角三角形，其中，設(shè)米，豎向道路出口和橫向彎折道路出口的寬度都為2m，且豎向道路出口位于和之間，橫向彎折道路出口位于和之間．①求剩余的種植花草區(qū)域的面積（用含有a的代數(shù)式表示）；②如果種植花草區(qū)域的建造成本是100元/米2、建造花草區(qū)域的總成本為42000元，求a的值．題型9：表格素材類教育部頒布的《義務(wù)教育勞動課程標(biāo)準(zhǔn)》中，要求以豐富開放的勞動項(xiàng)目為載體，培養(yǎng)學(xué)生的勞動價值觀和良好的勞動品質(zhì)．東北育才學(xué)校生態(tài)園新一年也有了新的規(guī)劃，請你根據(jù)素材完成任務(wù)．東北育才學(xué)校生態(tài)園年春季規(guī)劃素材一市場調(diào)研，兩種型號的勞動工具價格．（1）型勞動工具的單價比型勞動工具少3元．（2）用元購買型勞動工具的數(shù)量與用元購買型勞動工具的數(shù)量相等．素材二計(jì)劃購買，兩種型號的勞動工具（1），兩種型號的勞動工具共個．（2）型勞動工具的數(shù)量不少于型勞動工具數(shù)量的一半．素材三新規(guī)劃一塊矩形苗圃（1）苗圃的一面靠墻（墻的最大可用長度為），另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成兩個區(qū)域，（2）如圖所示，在兩處各留寬的門（門不用木欄），修建所用木欄的總長為，

問題解決任務(wù)一求，兩種型號勞動工具的單價各是多少元．任務(wù)二求購買這批勞動工具的最少費(fèi)用．任務(wù)三設(shè)苗圃的一邊長為．（1）用含的代數(shù)式表示苗圃靠墻一邊的長是________；（2）若苗圃的面積為，求的值；（3）苗圃的面積能否為．________（直接回答“能或不能”．）

第二章一元二次方程（壓軸專練）（九大題型）題型1：公式法解一元二次方程1．將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為．【答案】【分析】先利用得到，代入得到化為，然后解方程得，從而得到的值．【解析】解：，,解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程：通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程，也有的通過因式分解來解，通過把一元二次方程變形為用一次式表示二次式，從而達(dá)到“降次”的目的，這是解決本題的關(guān)鍵．2．閱讀下面的例題：分解因式：．解：令得到一個關(guān)于的一元二次方程，，．解得，；．這種因式分解的方法叫求根法，請你利用這種方法完成下面問題：(1)已知代數(shù)式對應(yīng)的方程解為和7，則代數(shù)式分解后為；(2)將代數(shù)式分解因式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題中給出的求根法的定義即可得出答案；（2）先令，得到一個關(guān)于的一元二次方程，用求根公式求出它的兩根，然后代入即可．【解析】（1）解：代數(shù)式對應(yīng)的方程解為和7，代數(shù)式分解后為，故答案為：；（2）解：令，得到一個關(guān)于的一元二次方程，，，，解得，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是求根法因式分解，公式法解一元二次方程，對于二次三項(xiàng)式的因式分解有：，其中、是的兩根，理解并掌握題目中的求根法因式分解是解題的關(guān)鍵．題型2：換元法解一元二次方程3．閱讀下列材料：方程：是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解這個方程得：，．當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴所以原方程有四個根：，，，．在這個過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(1)利用換元法解方程得到方程的解為______．(2)若，求的值．(3)利用換元法解方程：．【答案】(1)，(2)(3)，【分析】（1）設(shè)，代入得到，解得，，當(dāng)時，，得到，此方程無解；當(dāng)時，，得到，；（2）設(shè)，代入得到．解得，，根據(jù)，得到；（3）設(shè)，則，代入得到，得到，解得，檢驗(yàn)后得到，得到，得到，，檢驗(yàn)后即得．【解析】（1）設(shè)，則，于是原方程可變?yōu)?，解這個方程得：，，當(dāng)時，，移項(xiàng)得：，∵，∴此方程無解，當(dāng)時，，解得，；故答案為：，；（2）設(shè)，則該方程變?yōu)椋獾茫?，．∵∴，即?）設(shè)，則，原方程變形為：，去分母，得，即解得，．

經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的根．∴即解得：，．經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的根．

∴原分式方程的解為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握換元法的一般步驟設(shè)元、換元、解元、還原幾步．解分式方程注意驗(yàn)根．4．閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．材料2

已知實(shí)數(shù)m，n滿足，且，顯然m，n是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：解方程：．(2)間接應(yīng)用：已知兩個不相等實(shí)數(shù)m，n滿足：，求的值．(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，求的值．【答案】(1)(2)(3)7【分析】（1）仿照題意利用換元法解方程即可；（2）仿照題意利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)，，則可得，進(jìn)一步得到，再證明，推出；由，可得，即．【解析】（1）解：設(shè)，則方程可化為，∴，∴或，∴或（舍去），∴；（2）解：∵實(shí)數(shù)m，n滿足：，∴實(shí)數(shù)m，n是方程的兩個實(shí)數(shù)根，∴，∴；（3）解：設(shè)，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法解方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．5．閱讀材料，解答問題：材料一：已知實(shí)數(shù)a，滿足，，則可將a，b看作一元二次方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根．材料二：已知實(shí)數(shù)a，滿足，，將兩邊同除以，得，即，則可將a，看作一元二次方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根．請根據(jù)上述材料，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答下列問題：(1)已知實(shí)數(shù)a，滿足，，求的值；(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)材料二，采用換元法解一元二次方程，即可求解．【解析】（1）解：∵實(shí)數(shù)，滿足，，∴可將，看作方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，，；（2）解：在方程的兩邊同時除以得，又∵實(shí)數(shù)滿足，且，∴可將，看作方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，換元法解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會模仿例題解決問題．6．閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿足：，且，求的值．【答案】(1)，，，(2)或或【分析】（1）利用換元法解方程，設(shè)，則原方程可化為，解關(guān)于的方程得到，，則或，然后分別解兩個元二次方程即可；（2）根據(jù)已知條件，當(dāng)時，，解關(guān)于的一元二次方程得，則；當(dāng)時，把、看作方程的兩不相等的實(shí)數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再變形得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解析】（1）解：，設(shè)，則原方程可化為，解得：，，當(dāng)時，，解得：，，當(dāng)時，，解得：，，∴原方程的解為，，，，故答案為：，，，；（2）解：∵實(shí)數(shù)，滿足：，且，當(dāng)時，，解關(guān)于的一元二次方程，得：，∴；當(dāng)時，則、是方程的兩不相等的實(shí)數(shù)根，∴，，∴；∴的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，；也考查了換元法，解一元二次方程，求代數(shù)式的值，運(yùn)用了恒等變換的思想．掌握查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型3：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用7．閱讀材料．材料：若一元二次方程的兩個根為，，則，．(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則，．(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)，分別滿足，，且，求的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)閱讀材料可得答案；（2）由題意得出，可看作方程的兩個根，據(jù)此知，，將其代入計(jì)算可得；（3）把變形為，據(jù)此可得實(shí)數(shù)和可看作方程的兩根，繼而知，，進(jìn)一步代入計(jì)算可得．【解析】（1）解：，，故答案為：；；（2）∵，，且，∴，可看作方程的兩個根，∴，，∴，∴的值為；（3）∵，分別滿足，，且，∴，∴和可看作方程的兩根，∴，，∴，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的方程及分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．8．對于一元二次方程，下列說法：①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程有兩個不相等的實(shí)根，則方程無實(shí)根；③若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實(shí)根，；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式及根的定義以及求根公式逐個判斷排除．【解析】解：①若，則是方程的解，故①正確；②方程有兩個不相等的實(shí)根，，則方程的判別式，方程必有兩個不相等的實(shí)根，故②錯誤；③∵方程兩根為，且滿足，∴，令，，∴方程有兩個實(shí)數(shù)根，令兩根分別為，∴，，∴方程，必有實(shí)根，，故③正確；④若是一元二次方程的根，則由求根公式可得：，，，故④正確．故正確的有①③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判斷，根據(jù)方程形式，判斷根的情況是求解本題的關(guān)鍵．9．（1）是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，且，求的值．（2）已知：，是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，設(shè)，，…，．根據(jù)根的定義，有，，將兩式相加，得，于是，得．根據(jù)以上信息，解答下列問題：①直接寫出，的值．②經(jīng)計(jì)算可得：，，，當(dāng)時，請猜想，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）1；（2）①，；②，證明見解析【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，．由，可得，即得出關(guān)于k的一元二次方程，解出k的值，再根據(jù)一元二次方程根的判別式驗(yàn)證，舍去不合題意的值即可；（2）①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，進(jìn)而可求出，；②由一元二次方程的解的定義可得出，兩邊都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后結(jié)合題意即可得出，即．【解析】解：（1）∵是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根，∴，，∴，整理，得：，解得：，．當(dāng)時，，∴此時原方程沒有實(shí)數(shù)根，∴不符合題意；當(dāng)時，，∴此時原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴符合題意，∴的值為1；（2）①∵，∴．∵，是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，∴，，∴，；②猜想：．證明：根據(jù)一元二次方程根的定義可得出，兩邊都乘以，得：①，同理可得：②，由①+②，得：，∵，，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當(dāng)時，該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，該方程沒有實(shí)數(shù)根．熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：和是解題關(guān)鍵．10．定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，若，且，則稱這個方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．【答案】(1)此方程為“限根方程”，理由見解析(2)k的值為2(3)m的取值范圍為或【分析】（1）解該一元二次方程，得出，再根據(jù)“限根方程”的定義判斷即可；（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，代入，即可求出，．再結(jié)合“限根方程”的定義分類討論舍去不合題意的值即可；（3）解該一元二次方程，得出或．再根據(jù)此方程為“限根方程”，即得出此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的判別式即可得出，且，可求出m的取值范圍．最后分類討論即可求解．【解析】（1）解：，，∴或，∴．∵，，∴此方程為“限根方程”；（2）∵方程的兩個根分比為，∴，．∵，∴，解得：，．分類討論：①當(dāng)時，原方程為，∴，，∴，，∴此時方程是“限根方程”，∴符合題意；②當(dāng)時，原方程為，∴，，∴，，∴此時方程不是“限根方程”，∴不符合題意．綜上可知k的值為2；（3），，∴或，∴或．∵此方程為“限根方程”，∴此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，且，∴，即，∴且．分類討論：①當(dāng)時，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)時，∴，∵，∴，解得：．綜上所述，m的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式．讀懂題意，理解“限根方程”的定義是解題關(guān)鍵．題型4：新定義題、材料題11．閱讀材料：材料1：法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·書達(dá)于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與系數(shù)的關(guān)系，提出一元二次方程（，）的兩根x1，x2有如下的關(guān)系（韋達(dá)定理）：，；材料2：如果實(shí)數(shù)m、n滿足、，且，則可利用根的定義構(gòu)造一元二次方程，然后將m、n看作是此方程的兩個不相等實(shí)數(shù)根去解決相關(guān)問題．請根據(jù)上述材料解決下面問題：(1)若實(shí)數(shù)a，b滿足：，則_______，_______；(2)若是方程兩個不等實(shí)數(shù)根，且滿足，求k的值；(3)已知實(shí)數(shù)m、n、t滿足：，，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)題意，得到實(shí)數(shù)a，b是方程的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到，進(jìn)而得到，代入，求出的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行求解即可；（3）構(gòu)造一元二次方程，得到是它的兩個實(shí)數(shù)根，得到，將進(jìn)行配方，求解即可．【解析】（1）解：由題意，得a，b是方程的兩個根，∴；故答案為：；（2）由題意，得：，，∴，∴，當(dāng)時，，解得：，∴，∴，∴；當(dāng)時，，解得：，∴，∴，∴；綜上：或；（3）∵，∴，又∵，∴是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，，∴，∴；∵，∴，∴，∴；∴．12．定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，若，且，則稱這個方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，且，所以一元二次方程為“限根方程”．關(guān)于x的一元二次方程，有下列兩個結(jié)論：①當(dāng)時，該方程是“限根方程”；②若該方程是“限根方程”，則m有且只有一個整數(shù)解．對于這兩個結(jié)論判斷正確的是（

）A．①②都正確 B．①②都錯誤 C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確【答案】C【分析】本題主要考查了新定義——“限根方程”．熟練掌握新定義，解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，分類討論，是解題關(guān)鍵．①當(dāng)時，該方程是；得到方程的根為，，得到，該方程是“限根方程”，①正確；②解該一元二次方程，得出，，或，．再根據(jù)此方程為“限根方程”，即此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的判別式即可得出，當(dāng)，時，根據(jù)，得到，整數(shù)m不存在；當(dāng)，時，得到，整數(shù)m不存在．②錯誤．【解析】解：①當(dāng)時，原方程為：，解得，，∴，∵，∴該方程是“限根方程”；∴①正確；②∵，∴，∴或，∴，，或，．∵此方程為“限根方程”，∴此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴．當(dāng)，時，∵，∴，解得：，∵m只是一個整數(shù)，∴m值不存在；當(dāng)，時，，解得：，∴m值不存在．綜上所述，m的值不存在．∴②錯誤．∴①正確，②錯誤．故選：C．13．閱讀下面材料：小元遇到這樣一個問題：如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，，連接，設(shè)，，，則把關(guān)于的一元二次方程叫做正方形的關(guān)聯(lián)方程，正方形叫做方程的關(guān)聯(lián)四邊形．探究方程是否存在常數(shù)根．小元是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法把這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題．他的方法是把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到（如圖2），此時即是．請回答：．

參考小元得到的結(jié)論和思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖1，若，，則正方形的關(guān)聯(lián)方程為；（2）正方形的關(guān)聯(lián)方程是，則正方形的面積=．【答案】閱讀下面材料：1（1）（2）36【分析】由四邊形是正方形，把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，可證明，從而，即，有，即，故關(guān)于的一元二次方程有一個根是，即；（1）在中，，可得，從而可解得正方形的關(guān)聯(lián)方程為；（2）由閱讀材料知，正方形的關(guān)聯(lián)方程存在常數(shù)根，可得，即得，，，設(shè)正方形的邊長為，有，解得正方形的邊長為6，正方形的面積為36．【解析】解：閱讀下面材料：如圖：

∵四邊形是正方形，∴，∵把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，∴，，∴共線，，∵，∴，在和中，，∴，∴，即，∵，，，∴，即，∴關(guān)于的一元二次方程有一個根是，∴．故答案為：1；（1）如圖：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，由閱讀材料知，，∴，，在中，，∴，解得，∴，而，∴正方形的關(guān)聯(lián)方程為，化簡整理，可得．故答案為：；（2）如圖：

由閱讀材料知，正方形的關(guān)聯(lián)方程存在常數(shù)根，∴，解得，∴正方形的關(guān)聯(lián)方程是，∴，，，設(shè)正方形的邊長為，在中，，∴，解得或（舍去），∴正方形的邊長為6，∴正方形的面積為36．故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及內(nèi)容包括旋轉(zhuǎn)變換、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、一元二次方程、新定義、勾股定理等知識，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是證明．題型5：存在性問題14．如圖，在矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿向點(diǎn)B以的速度移動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊向點(diǎn)C以的速度移動．當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)P，Q兩點(diǎn)移動的時間為，求：(1)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形；(2)當(dāng)x為何值時，的面積為；(3)當(dāng)x為何值時，為等腰三角形．【答案】(1)當(dāng)時，是等腰三角形(2)x為1或5時，的面積為(3)x為或時，是等腰三角形【分析】（1）由題意得，得，當(dāng)為等腰三角形時，，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面積公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當(dāng)時，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，根據(jù)題意得：，∴，當(dāng)為等腰三角形時，，∴，解得：，即當(dāng)時，是等腰三角形；（2）解：由題意得：，整理得：，解得：，答：當(dāng)x為1或5時，的面積為；（3）解：根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時，如圖1所示：在和中，由勾股定理得：，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴；②當(dāng)時，如圖2所示：在和中，，，∴，解得：或（不合題意舍去），∴．綜上所述，當(dāng)x為或時，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形面積公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分類討論等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)B，當(dāng)有一點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒．(1)當(dāng)時，直接寫出P，Q兩點(diǎn)間的距離．(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．(3)是否存在，使得的面積等于，若存在，請求出的值：若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)或．【分析】（1）求出，，再利用勾股定理即可求出；（2）因?yàn)?，所以?dāng)是等腰三角形時，只有，表示出，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；利用，即可求出t的值；（3）由（2）可知：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；利用，解關(guān)于t的方程即可．【解析】（1）解：當(dāng)時，由題意可知：，，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴是等腰三角形時，只有，由題意可知：，∵Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)B，當(dāng)有一點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；∵∴，解得：，故不符合題意；，解得：，符合題意；，解得：，符合題意；綜上所述：或；（3）解：假設(shè)存在t使得的面積等于，由（2）可知：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴當(dāng)時，；解得：或（舍去）當(dāng)時，，解得：或（舍去）；當(dāng)時，，因?yàn)?，故無解，綜上所述，當(dāng)或時的面積等于．【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)問題，等腰三角形的定義，勾股定理，一元二次方程的幾何應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，結(jié)合圖形表示出的值．16．如圖，在中，，厘米，厘米，點(diǎn)D在上，且厘米．現(xiàn)有兩個動點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時出發(fā)，其中點(diǎn)P以4厘米/秒的速度沿向終點(diǎn)C運(yùn)動；點(diǎn)Q以5厘米/秒的速度沿向終點(diǎn)C運(yùn)動．過點(diǎn)P作交于點(diǎn)E，連接．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時間為t秒．(1)；（用t的代數(shù)式表示）(2)連接，并運(yùn)用割補(bǔ)的思想表示的面積（用t的代數(shù)式表示）；(3)是否存在某一時刻t，使四邊形是平行四邊形，如果存在，請求出t，如果不存在，請說明理由；(4)當(dāng)t為何值時，為直角三角形．【答案】(1)(2)(3)存在，(4)或【分析】（1）用減去的長即可；（2）連接，由平行線的性質(zhì)可得，由，可求出，再利用三角形面積公式計(jì)算即可；（3）由平行四邊形的性質(zhì)可得，可得，可求的值；（4）分兩種情況討論，利用直角三角形的性質(zhì)和面積和差關(guān)系可求解．【解析】（1）解：由題意可得：；（2）如圖1，連接，，，cm，，，，，∴；（3）四邊形是平行四邊形，，，，∴當(dāng)時，使四邊形是平行四邊形；（4）如圖2，當(dāng)時，，，又，四邊形是平行四邊形，，，；當(dāng)時，，，，，，，，，，，，（不合題意舍去），綜上所述：或時，為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．題型6：一元二次方程的幾何應(yīng)用17．在凸四邊形中，，．(1)如圖1，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，畫出圖形，并寫出的度數(shù)；(2)如圖2，已知．①求證：；②若，求的面積．【答案】(1)圖見解析，；(2)①見解析；②．【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖形，設(shè)為延長線上的一點(diǎn)，利用三角形外角的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求解即可；（2）①作出，連接，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到為等邊三角形，再利用勾股定理即可求證；②利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得分別求得對應(yīng)三角形的面積，即可求解．【解析】（1）解：圖形如下，設(shè)為延長線上的一點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，由三角形外角的性質(zhì)可得：，，∴；（2）①證明：作出，連接，如下圖：由（1）可得，即，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴，∴為等邊三角形，即∴；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∵∴，，，，過點(diǎn)作，如下圖：設(shè)，由①可得，在中，，，∴，，在，∵∴，解得或，負(fù)值舍去即或，則或，，【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．18．如圖1，在邊長為的正方形中，對角線、相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F是上的兩個動點(diǎn)，且，連接、．分別取、、的中點(diǎn)H、K、G，連接、．(1)如圖1，求證：①；②；(2)直接寫出的最小值；(3)如圖2，連接、，求證：四邊形是平行四邊形；(4)若以E、K、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求的長．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)(3)見解析(4)或2【分析】（1）①利用正方形，得出，，利用中點(diǎn)定義可得出，利用中位線定理可得出，，利用平行線的性質(zhì)可得出，結(jié)合，即可得出結(jié)論；②利用①中的結(jié)論直接證明即可；（2）利用（1）中，得出，則可求，則當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時，取最小值，最小值為，在中，利用勾股定理求出即可；（3）利用（1）中，得出，利用平行線的性質(zhì)得出，利用補(bǔ)角的性質(zhì)得出，利用平行線的判定得出，結(jié)合，利用平行線四邊形的判定即可得證；（4）分點(diǎn)E在線段和線段上討論，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）證明∶①∵四邊形是正方形，∴，，，∵是的中點(diǎn)，G是的中點(diǎn)，∴，又K是的中點(diǎn)，∴，，∴，又，∴，②由①知，，，∴；（2）解：連接，∵∴，又，∴，∴，當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時，取最小值，最小值為，在中，，，，∴，即取最小值為；（3）證明：∵∴，∵，∴，又，，∴，∴，又，∴四邊形是平行四邊形；（4）解：∵正方形的邊長為，∴，當(dāng)E在線段上時，如圖，過點(diǎn)F作于M，∵四邊形是矩形，∴，又K是中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，∴，∵，，∴，∴，又，∴，∴，在中，，∴，解得，（舍去）當(dāng)E在線段上時，如圖，過點(diǎn)F作于M，設(shè)，同理可求，，，，在中，，∴，解得（舍去），；∴若以E、K、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，則的長為或2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，三角形中位線定理，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．題型7：一元二次方程與平面直角坐標(biāo)系19．如圖，分別是軸上關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，連接，，．(1)如圖1，求點(diǎn)坐標(biāo)．(2)如圖2，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．（不要求寫出自變量的取值范圍）(3)如圖3，在（2）的條件下，直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線上，連接，過點(diǎn)作軸垂線，連接，當(dāng)四邊形和四邊形均為矩形時，求的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，求出，結(jié)合點(diǎn)在軸負(fù)半軸，即可得出答案；（2）由題意得出，從而得出，待定系數(shù)法求出直線直線的解析式為，從而得出，再根據(jù)計(jì)算即可得出答案；（3）由四邊形為矩形，得出，，待定系數(shù)法求出直線的解析式為：，設(shè)，，由四邊形是矩形，求出，，得到，再利用勾股定理求出的值即可得解．【解析】（1）解：由題意得：，∵點(diǎn)坐標(biāo)，∴，解得：，∵點(diǎn)在軸負(fù)半軸，∴點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：∵分別是軸上關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將，代入直線解析式為，解得：，∴直線的解析式為，∵點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，∴；（3）解：∵四邊形為矩形，∴，，設(shè)直線的解析式為：，將代入解析式得：，解得：，∴直線的解析式為：，∵過點(diǎn)作軸垂線，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，設(shè)，，∵四邊形是矩形，∴，解得：，，∴，，∴，∴，，∵，∴，解得：或，∵點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形、一次函數(shù)的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．20．在中，，，點(diǎn)分別在長方形的邊上．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在上，且，時，則________；(2)如圖，若，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），連接，求的度數(shù)；(3)如圖，若矩形中，，，在（）的基礎(chǔ)上，當(dāng)取值最小時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】（）證明，得到，，進(jìn)而由勾股定理得到，再由勾股定理即可求出；（）過點(diǎn)作軸于，與同理得到，得到，，進(jìn)而得到，即可得到；（）過點(diǎn)分別作軸，軸，由（）可得，，設(shè)，即可得到，，，在中，由勾股定理可得，由取最小值可求出，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）解：∵，∴，∵四邊形是長方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：如圖，過點(diǎn)作軸于，則，同理（）可得，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，過點(diǎn)分別作軸，軸，垂足分別為點(diǎn)，則，，，由（），，∵，∴設(shè)，則，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴當(dāng)時，取最小值，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型8：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用21．正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計(jì)劃在元宵節(jié)前用21天的時間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計(jì)劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每袋手工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應(yīng)降價多少元？【答案】(1)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓(2)促銷時每袋應(yīng)降價3元【分析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，利用這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關(guān)系列出方程即可；（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價元，利用最終獲利40500元做等量關(guān)系列出方程即可．【解析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，依題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，答：總共生產(chǎn)了袋手工湯圓（2）設(shè)促銷時每袋應(yīng)降價元，當(dāng)剛好10天全部賣完時，依題意得，整理得：，∴方程無解∴10天不能全部賣完∴第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店的利潤為∴依題意得，解得∵要促銷∴即促銷時每袋應(yīng)降價3元．【點(diǎn)睛】本題考查了一