圓的有關(guān)性質(zhì)課件

圓圓的有關(guān)性質(zhì)知識體系圖圓的有關(guān)性質(zhì)弧、弦的定義——圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓的對稱性：軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱、中心對稱與圓有關(guān)的角及性質(zhì)垂徑定理及其推論四者關(guān)系定理要點(diǎn)梳理7.1.1圓的有關(guān)概念（1）圓的定義有兩種方式：①在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓.固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑；②圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.（2）弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.（3）直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.要點(diǎn)梳理（4）?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧.（5）半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.（6）優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧.（7）劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.（8）同心圓：圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓.（9）弓形：由弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形.（10）等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓.（11）等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.要點(diǎn)梳理7.1.2垂徑定理及其推論（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.（2）推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.要點(diǎn)梳理7.1.3圓心角、弧、弦之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.要點(diǎn)梳理7.1.4圓周角定理及推論（1）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.（2）推論：半圓（直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.要點(diǎn)梳理7.1.5圓內(nèi)接四邊形（1）定義：如果一個四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上，那么這個四邊形叫做這個圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.要點(diǎn)梳理7.1.5圓內(nèi)接四邊形（1）定義：如果一個四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上，那么這個四邊形叫做這個圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.要點(diǎn)梳理【例1】如圖，在⊙O中，A，B是圓上的兩點(diǎn)，已知∠AOB=40°，直徑CD∥AB，連接AC，則∠BAC=

35

度.【解析】∵OA=OB=OC，∴∠OAB=∠B，∠C=∠OAC.∵∠AOB=40°，∴∠B=∠OAB=70°.∵CD∥AB，∴∠BAC=∠C，∴∠OAC=∠BAC=0.5∠OAB=35°.要點(diǎn)梳理【例2如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是

的中點(diǎn)，∠A=50°，則∠BOC=（A）A.40°B.45°C.50°D.60°【解析】(1)∵OA=OB，∠A=50°，∴∠B=50°，∴∠AOB=180°-∠A-∠B=180°-50°-50°=80°.∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴∠BOC=∠AOC=0.5∠AOB=40°.要點(diǎn)梳理【例3】如圖1，小敏利用課余時間制作了一個臉盆架，圖2是它的截面圖，垂直放置的臉盆與架子的交點(diǎn)為A，B，AB=40cm，臉盆的最低點(diǎn)C到AB的距離為10cm，則該臉盆的半徑為

cm.【解析】如圖，設(shè)圓的圓心為O，連接OA，OC，OC與AB交于點(diǎn)D，設(shè)⊙O半徑為R，∵OC⊥AB，∴AD=DB=0.5AB=20，∠ADO=90°，在Rt△AOD中，∵OA2=OD2+AD2，∴R2=202+(R﹣10)2，∴R=25．故答案為25．要點(diǎn)梳理【例4】如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，CO的延長線交AB于點(diǎn)D，∠A=50°,∠B=30°，則∠ADC的度數(shù)為

110°.【解析】∵∠A=50°，根據(jù)圓周角定理得∠BOC=2∠A=100°，而∠BOC是△BOD的一個外角，∴∠BDC=∠BOC-∠B=100°-30°=70°，∴∠ADC=180°-∠BDC=180°-70°=110°.要點(diǎn)梳理【例5】（2016年南京）如圖，扇形OAB的圓心角為122°，C是弧AB上一點(diǎn)，則∠ACB=

119

°.【解析】由同弧所對的圓心角等于它所對的圓周角的一半，所以，與∠AOB所對同弧的圓周角度數(shù)為0.5∠AOB＝61°，由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，得：∠ACB＝180°－61°＝119°。要點(diǎn)梳理圓與圓有關(guān)的位置關(guān)系知識體系圖與圓有關(guān)的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離切線的性質(zhì)、判定切線長及性質(zhì)要點(diǎn)梳理7.2.1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如果圓的半徑是r，點(diǎn)到圓心的距離為d，那么：（1）點(diǎn)在圓外d>r；（2）點(diǎn)在圓上d=r；（3）點(diǎn)在圓內(nèi)d<r.要點(diǎn)梳理7.2.2直線與圓的位置關(guān)系（1）定義：如果直線和圓沒有公共點(diǎn)，直線和圓相離；直線和圓只有一個公共點(diǎn)，直線和圓相切；直線和圓有兩個公共點(diǎn)，直線和圓相交.（2）等價條件：設(shè)圓半徑為r，圓心到直線距離為d，則：①直線和圓相離d>r；②直線和圓相切d=r；③直線和圓相交d<r.要點(diǎn)梳理7.2.3圓的切線（1）切線的判定方法：①用定義判斷；②用等價條件判斷；③用定理判斷：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（2）切線的性質(zhì)：定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；推論：①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；②經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.（3）切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.要點(diǎn)梳理【例1】在公園的O處附近有E、F、G、H四棵樹，位置如圖所示（圖中小正方形的邊長均相等），現(xiàn)計(jì)劃修建一座以為圓心，OA為半徑的圓形水池，要求池中不留樹木，則E、F、G、H四棵樹中需要被移除的為（）A.E、F、GB.F、G、HC.G、H、ED.H、E、F經(jīng)典考題【解析】設(shè)小正方形的邊長為1.由點(diǎn)在圖形中的位置和勾股定理可知，OG=1，OE=OF=2，OA=12+22=5，OH=，∴OG<OE=OF<OA<OH，∴需要被移除的樹是E、F、G.經(jīng)典考題【例2】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是弦AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，射線EP交

于點(diǎn)F，交過點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D.（1）求證：DC=DP；（2）若∠CAB=30°，當(dāng)F是

的中點(diǎn)時，判斷以A，O，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由.經(jīng)典考題【解析】(1)如圖1，連接OC,∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD∴∠OCD=90o，∴∠DCA=90o－∠OCA.又PE⊥AB，點(diǎn)D在EP的延長線上，∴∠DEA=90o，∴∠DPC=∠APE=90o－∠OAC.∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC.∴∠DCA=∠DPC，∴DC=DP.圖1經(jīng)典考題（2）如圖2，四邊形AOCF是菱形.連接CF、AF，∵F是的中點(diǎn)，∴

=，∴AF=FC.∵∠BAC=30o，∴=60°，又AB是⊙O的直徑，∴=120°，∴==60°，∴∠ACF=∠FAC=30o.∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC=30o，∴△OAC≌△FAC(ASA),∴AF=OA，∴AF=FC=OC=OA,∴四邊形AOCF是菱形.圖2經(jīng)典考題【例3】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DF.（1）求∠CDE的度數(shù)；（2）求證：DF是⊙O的切線；（3）若AC=DE，求tan∠ABD的值.經(jīng)典考題【解析】（1）∵對角線AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）證明：連接DO，∵∠EDC=90°，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切線.經(jīng)典考題（3）如圖所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴DC2=AD?DE，∵AC=DE，∴設(shè)DE=x，則AC=x，則AC2﹣AD2=AD?DE，即，解得AD=4x或AD=-5x（舍去）.故tan∠ABD=tan∠ACD=經(jīng)典考題圓與圓有關(guān)的計(jì)算知識體系圖與圓有關(guān)的計(jì)算正多邊形和圓弧長、扇形面積的計(jì)算圓錐的側(cè)面積、全面積的計(jì)算圓的內(nèi)接正多邊形圓的外切正多邊形要點(diǎn)梳理7.3.1正多邊形和圓（1）正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.注意：正多邊形是軸對稱圖形，n邊形有n條對稱軸；邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，其對稱中心是正多邊形的中心.（2）正多邊形和圓有關(guān)的概念一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.要點(diǎn)梳理（3）正多邊形的有關(guān)計(jì)算：①邊長：an=2Rn·sin180°/n②周長：Pn=n·an③邊心距：rn=Rn·cos180°/n④面積：Sn=

an·rn·n⑤內(nèi)角：⑥外角：⑦中心角：（Rn為正多邊形的半徑，rn為邊心距，an為邊長）要點(diǎn)梳理7.3.2圓的周長與弧長公式圓的周長：若圓的半徑是R，則圓的周長C=2πR.弧長公式：若一條弧所對的圓心角是n°，半徑是R，則弧長要點(diǎn)梳理7.3.3扇形的面積公式對于半徑是R，圓心角是n°的扇形的面積是對于弧長是l，半徑是R的扇形的面積是要點(diǎn)梳理7.3.4圓錐的側(cè)面積和全面積沿著圓錐的母線，把圓錐的側(cè)面展開，得到一個扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，而扇形的半徑等于圓錐的母線長.如圖，若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則它的側(cè)面積S側(cè)=πrl.全面積S全=πr（a+r）.要點(diǎn)梳理【例1】（2016年威海）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，其邊長為4，則⊙O的內(nèi)接正三角形EFG的邊長為

.經(jīng)典考題【解析】連接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=90°，∴AC是直徑，AC=4，∴OE=OF=2，∵OM⊥EF，∴EM=MF，∵△EFG是等邊三角形，∴∠GEF=60°，在RT△OME中，∵OE=2，∠OEM=0.5∠CEF=30°，∴OM=，EM=，∴EF=.故答案為.經(jīng)典考題【例2】如圖，□在ABCD中，AB為⊙O的直徑，⊙O與DC相切于點(diǎn)E，與AD相交于點(diǎn)F，已知AB=12，∠C=60°，則FE的長為（

）A.B.C.D.經(jīng)典考題【解析】連接OE、OF，由切線和平行線的性質(zhì)可知∠AOE=90°.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C=60°，∴△AOF是等邊三角形，∴∠EOF=90°-60°=30°，OF=OA=0.5AB=6.由弧長公式，得lFE==π.經(jīng)典考題【例3】（2016年寧波）如圖，圓錐的底面半徑r為6cm，高h(yuǎn)為8cm，則圓錐的側(cè)面積為（

）A.30πcm2B.48πcm2

C.60πcm2D.80πcm2【解析】圓錐的母線長為：=10(cm)，圓錐的底面圓周長為2×π×r=12π(cm).圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，根據(jù)扇形面積公式可得S=0.5×12π×10=60π(cm2).經(jīng)典考題Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounder