2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.1.2數(shù)列的函數(shù)特性學(xué)案含解析北師大版必修5

PAGE1.2數(shù)列的函數(shù)特性內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解數(shù)列的幾種簡潔的表示方法.2.了解遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的概念.3.駕馭推斷數(shù)列增減性的方法.加強(qiáng)定義理解發(fā)展數(shù)形結(jié)合提升數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第3頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)一數(shù)列的表示方法預(yù)習(xí)教材P6－8，思索并完成以下問題以數(shù)列2，4，6，8，10，12…為例，你能用幾種方法表示這個數(shù)列？提示：對數(shù)列2，4，6，8，10，12，…可用以下幾種方法表示：(1)通項(xiàng)公式法：an＝2n.(2)遞推公式法：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＋1＝an＋2，n∈N＋.))(3)列表法：n123…k…an246…2k…(4)圖像法學(xué)問梳理數(shù)列的表示方法有通項(xiàng)公式法、遞推公式法、列表法和圖像法．學(xué)問點(diǎn)二數(shù)列的增減性思索并完成以下問題視察下列數(shù)列，發(fā)覺它們分別有什么特性？(1)1，2，3，4，…，n，…；(2)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n)…；(3)1，1，1，1，….提示：數(shù)列(1)從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)，與增函數(shù)類似；數(shù)列(2)從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)，與減函數(shù)類似；數(shù)列(3)的各項(xiàng)都相等．學(xué)問梳理數(shù)列的函數(shù)特性分類定義表達(dá)式遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)an＋1＞an遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)an＋1＜an常數(shù)列各項(xiàng)都相等an＋1＝an[自我檢測]1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)，n∈N＋，則數(shù)列{an}是()A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．搖擺數(shù)列 D．先遞增再遞減的數(shù)列答案：D2．已知an＝3n－2，則數(shù)列{an}的圖像是()A．一條直線 B．一條拋物線C．一個圓 D．一群孤立的點(diǎn)答案：D3．若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則{an}的通項(xiàng)公式可能為________(填序號)．①an＝－2n＋3；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝eq\f(1,2n)；④an＝(－1)n.答案：①③授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第4頁探究一數(shù)列的表示法[閱讀教材P8練習(xí)1]在1984年到2004年的6屆夏季奧運(yùn)會上，我國獲得的金牌數(shù)依次排成數(shù)列：15，5，16，16，28，32，試畫出該數(shù)列的圖像．解析：用橫坐標(biāo)表示年數(shù)，縱坐標(biāo)表示獲得的金牌數(shù)，得到該數(shù)列的圖像如圖．[例1]圖中的三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在四個三角形圖案中，著色的小三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項(xiàng)，請寫出這個數(shù)列的遞推公式和一個通項(xiàng)公式，并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖像．[解析]如題圖，這四個三角形圖案中著色的小三角形第(2)個是第(1)個的3倍，第(3)個是第(2)個的3倍，故有遞推公式a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋，個數(shù)依次為1，3，9，27.則所求數(shù)列的前4項(xiàng)都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號減1.所以，這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是an＝3n－1，n∈N＋.在直角坐標(biāo)系中的圖像為一些孤立的點(diǎn)(如圖所示)．方法技巧求數(shù)列的遞推公式留意視察數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系，求通項(xiàng)公式留意視察項(xiàng)與序號的關(guān)系，圖像法則一如既往地直觀．跟蹤探究1.某種練習(xí)本單價5元，小王買了n本(n∈N＋，n≤5)該練習(xí)本，記an為買n本的總價，試用三種方法來表示數(shù)列{an}．解析：通項(xiàng)公式法：an＝5n(n∈N＋，n≤5)．列表法：n12345an510152025圖像法：探究二數(shù)列的單調(diào)性[閱讀教材P7例3及解答]推斷下列無窮數(shù)列的增減性．(1)2，1，0，－1，…，3－n，…(2)eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，…，eq\f(n,n＋1)，…題型：定義法推斷數(shù)列的增減性．方法步驟：①設(shè)出數(shù)列通項(xiàng)公式an.②作差并化簡an＋1－an.③推斷符號得出結(jié)論．[例2]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1,x)，設(shè)an＝f(n)(n∈N＋)．(1)求證：an＜1.(2){an}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？[解題指南]eq\x(an＝\f(n－1,n))→eq\x(推斷an＜1)→eq\x(由an＋1－an的符號，推斷是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列)[解析](1)證明：因?yàn)閍n＝eq\f(n－1,n)＝1－eq\f(1,n)，且n∈N＋，所以an＜1.(2)an＋1－an＝eq\f(n,n＋1)－eq\f(n－1,n)＝eq\f(n2－（n2－1）,n（n＋1）)＝eq\f(1,n（n＋1）)＞0，所以an＋1＞an，因此{(lán)an}為遞增數(shù)列．方法技巧推斷數(shù)列的增減性，一般是將其轉(zhuǎn)化為比較相鄰兩項(xiàng)的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法推斷數(shù)列增減性的步驟為(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結(jié)論．作商法適用于各項(xiàng)都是同號的數(shù)列，且應(yīng)比較比值與1的大小關(guān)系．跟蹤探究2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n,n2＋9)(n∈N＋)，寫出其前5項(xiàng)，并推斷數(shù)列{an}的單調(diào)性．解析：當(dāng)n＝1，2，3，4，5時，an依次為eq\f(1,10)，eq\f(2,13)，eq\f(1,6)，eq\f(4,25)，eq\f(5,34)，an＋1－an＝eq\f(n＋1,（n＋1）2＋9)－eq\f(n,n2＋9)＝eq\f(－n2－n＋9,[（n＋1）2＋9]（n2＋9）).∵函數(shù)f(x)＝－x2－x＋9＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(37,4).在[1，＋∞)上是遞減的，又f(1)＝7＞0，f(2)＝3＞0，f(3)＝－3＜0，∴當(dāng)n＝1，2時，an＋1＞an，當(dāng)n≥3，n∈N＋時，an＋1＜an，即a1＜a2＜a3＞a4＞a5＞….∴數(shù)列{an}的前3項(xiàng)是遞增的，從第3項(xiàng)往后是遞減的．[例3]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n2＋kn(n∈N＋)，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[解析]由{an}是遞增數(shù)列，得an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)＝2n＋1＋k＞0對于隨意n∈N＋恒成立．∵f(x)＝2x＋1＋k在[1，＋∞)上為增函數(shù)，∴2n＋1＋k＞0對隨意n∈N＋恒成立等價于2×1＋1＋k＞0，∴k＞－3，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－3，＋∞)．方法技巧事實(shí)上，當(dāng)－3＜k＜－2時，函數(shù)y＝x2＋kx在[1，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)，但數(shù)列an＝n2＋kn是單調(diào)的，由此可知函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)，則數(shù)列an＝f(n)肯定單調(diào)，反之則不肯定．究其緣由，是數(shù)列與函數(shù)定義域不同造成的差別．跟蹤探究3.已知遞增數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2kn＋1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析：由于數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以an＋1－an＞0，即[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k＞0，解得k＞0.答案：(0，＋∞)[閱讀教材P7例4及解答]作出數(shù)列－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n)，…的圖像，并分析數(shù)列的增減性．題型：圖像法推斷數(shù)列的增減性．方法步驟：①作出數(shù)列的圖像；②依據(jù)圖像推斷數(shù)列的增減性．[例4]在數(shù)列{an}中，an＝n2－8n.(1)畫出{an}的圖像；(2)依據(jù)圖像寫出數(shù)列{an}的增減性．[解析](1)列表123456789…－7－12－15－16－15－12－709…描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)即得數(shù)列{an}的圖像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…，圖像如圖所示．(2)當(dāng)1≤n≤4(n∈N＋)時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；當(dāng)n＞4(n∈N＋)時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．方法技巧數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一種特別的函數(shù)，因此也可以用圖像來表示，以位置序號n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即坐標(biāo)為(n，an)描點(diǎn)畫圖，就可以得到數(shù)列的圖像．因?yàn)樗亩x域是正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其圖像是一群孤立的點(diǎn)，這些點(diǎn)的個數(shù)可以是有限的，也可以是無限的．跟蹤探究4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,2n－9)，畫出它的圖像，并推斷增、減性．解析：圖像如圖所示，該數(shù)列在{1，2，3，4}上是遞減的，在{5，6，…}上也是遞減的．探究三求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)[例5]已知數(shù)列{an}滿意an＝eq\f(2,2n－5)，此數(shù)列有無最大項(xiàng)？若有，是第幾項(xiàng)？[解題指南]eq\x(假設(shè)存在最大項(xiàng))→eq\x(作差an－an－1)→eq\x(探討差的符號)→eq\x(下結(jié)論)，或利用數(shù)列的函數(shù)特性作圖像求解．[解析]法一：假設(shè)數(shù)列{an}中存在最大項(xiàng)，因?yàn)閍n＝eq\f(2,2n－5)＝eq\f(1,n－\f(5,2))，所以an－an－1＝eq\f(1,n－\f(5,2))－eq\f(1,（n－1）－\f(5,2))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2))))＝eq\f(－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2))))(n≥2，n∈N＋)，當(dāng)n＜3時，n－eq\f(5,2)＜0，n－eq\f(7,2)＜0，所以an－an－1＜0，有an＜an－1，將n＝1，2代入an知：a2＜a1＜0；當(dāng)n＝3時，n－eq\f(5,2)＞0，n－eq\f(7,2)＜0，所以an－an－1＞0，有an＞an－1，將n＝3代入an知：0＜a3＝2；當(dāng)n＞3時，n－eq\f(5,2)＞0，n－eq\f(7,2)＞0，所以an－an－1＜0，有an＜an－1，將n＝4，5，6，…代入an知：eq\f(2,3)＝a4＞a5＞a6＞…＞0；由以上分析知，第三項(xiàng)a3＝2是數(shù)列的最大值．法二：作出函數(shù)f(x)＝eq\f(2,2x－5)的圖像．由圖像知，此數(shù)列有最大項(xiàng)，是第3項(xiàng)．延長探究本例中，條件不變，求“此數(shù)列有無最小項(xiàng)”？解析：由以上分析知，a2＜a1＜0，a3＞a4＞a5＞a6＞…＞0，所以數(shù)列的最小項(xiàng)是其次項(xiàng)a2＝－2.方法技巧求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)的方法(1)利用數(shù)列的單調(diào)性→eq\x(作差an＋1－an)→eq\x(\a\al(分析差與0的關(guān)系，,得出數(shù)列的單調(diào)性))→eq\x(求最值)(2)函數(shù)思想的應(yīng)用→eq\x(確定與數(shù)列對應(yīng)的函數(shù))→eq\x(化簡，找到基本函數(shù))→eq\x(分析函數(shù)的單調(diào)性)→eq\x(求函數(shù)最值)(3)不等式思想的應(yīng)用→eq\x(設(shè)出最大（?。╉?xiàng)為第k項(xiàng))→eq\x(列不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ak≥（≤）ak＋1,ak≥（≤）ak－1)))→eq\x(解出k的取值范圍)→eq\x(確定k的值)跟蹤探究5.在數(shù)列{an}中，an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(n)(n∈N＋)．(1)求證：數(shù)列{an}先遞增，后遞減；(2)求數(shù)列an的最大項(xiàng)．解析：(1)證明：令eq\f(an,an－1)＞1(n≥2)，即eq\f(（n＋1）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n),n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n－1))＞1，整理得eq\f(n＋1,n)＞eq\f(11,10)，解得n＜10.令eq\f(an,an＋1)＞1，即eq\f(（n＋1）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n),（n＋2）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n＋1))＞1，整理得eq\f(n＋1,n＋2)＞eq\f(10,11)，解得n＞9.所以數(shù)列{an}從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增，從第10項(xiàng)起遞減，即數(shù)列{an}先增后減．(2)由(1)知，a9＝a10＝eq\f(1010,119)最大.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第5頁[課后小結(jié)](1){an}與an是不同的兩種表示，{an}表示數(shù)列a1，a2，…，an，…，是數(shù)列的一種簡記形式．而an只表示數(shù)列{an}的第n項(xiàng)，an與{an}是“個體”與“整體”的從屬關(guān)系．(2)數(shù)列的表示方法：①圖像法；②列表法；③通項(xiàng)公式法；④遞推公式法．(3)數(shù)列的單調(diào)性是通過比較{an}中隨意相鄰兩項(xiàng)an和an＋1的大小來判定的．某些數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)問題，可以通過探討數(shù)列的單調(diào)性加以解決．(4)數(shù)列是特別函數(shù)，肯定要留意其定義域是N＋(或它的有限子集)．[素養(yǎng)培優(yōu)]忽視