2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章概率與統(tǒng)計(jì)4.1條件概率與事件的獨(dú)立性4.1.2第2課時(shí)全概率公式貝葉斯公式課后素養(yǎng)落實(shí)含解析新人教B版選擇性必修第二冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(十一)全概率公式、貝葉斯公式(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．設(shè)甲乘汽車、火車前往某目的地的概率分別為0.6,0.4，汽車和火車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.9,0.8．則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為()A．0.72B．0.96C．0.86D．0.84C[設(shè)事務(wù)A表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事務(wù)B表示甲乘火車到達(dá)目的地，事務(wù)C表示甲乘汽車到達(dá)目的地，由題意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9．由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86．故選C．]2．播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子．用一、二、三、四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1,0.05，則這批種子所結(jié)的穗含50顆以上麥粒的概率為()A．0.8B．0.8325C．0.5325D．0.4825D[設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事務(wù)分別是A1，A2，A3，A4，則它們構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分．設(shè)B＝“從這批種子中任選一顆，所結(jié)的穗含50顆以上麥?！保瑒t：P(B)＝eq\o(∑,\s\up7(4),\s\do6(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825．故選D．]3．設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的．且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為eq\f(1,10)，eq\f(1,15)，eq\f(1,20)，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為()A．0.08B．0.1C．0.15D．0.2A[以A1，A2，A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，B表示取得的X光片為次品，P(A1)＝eq\f(5,10)，P(A2)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(2,10)，P(B|A1)＝eq\f(1,10)，P(B|A2)＝eq\f(1,15)，P(B|A3)＝eq\f(1,20)；則由全概率公式，所求概率為P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(5,10)×eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(1,15)＋eq\f(2,10)×eq\f(1,20)＝0.08．]4．一道考題有4個(gè)答案，要求學(xué)生將其中的一個(gè)正確答案選擇出來．某考生知道正確答案的概率為eq\f(1,3)，而亂猜正確的概率為eq\f(2,3)．在亂猜時(shí)，4個(gè)答案都有機(jī)會被他選擇，假如他答對了，則他的確知道正確答案的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4)D．eq\f(1,4)B[設(shè)A＝“考生答對”，B＝“考生知道正確答案”，由全概率公式：P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(eq\o(B,\s\up7(－)))P(A|eq\o(B,\s\up7(－)))＝eq\f(1,3)×1＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)．又由貝葉斯公式：P(B|A)＝eq\f(PBPA|B,PA)＝eq\f(\f(1,3),\f(1,2))＝eq\f(2,3)．故選B．]5．某卡車為鄉(xiāng)村小學(xué)運(yùn)輸書籍，共裝有10個(gè)紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學(xué)書、3箱語文書．到目的地時(shí)發(fā)覺丟失一箱，但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下9箱中隨意打開兩箱，結(jié)果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為()A．eq\f(2,9)B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,12)D．eq\f(5,8)B[用A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用Bk表示丟失的一箱為k，k＝1,2,3分別表示英語書、數(shù)學(xué)書、語文書．由全概率公式得P(A)＝eq\o(∑,\s\up7(3),\s\do6(k＝1))P(Bk)P(A|Bk)＝eq\f(1,2)·eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,9))＋eq\f(1,5)·eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,9))＋eq\f(3,10)·eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,9))＝eq\f(8,36)．P(B1|A)＝eq\f(PB1PA|B1,PA)＝eq\f(\f(1,2)·\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,9)),PA)＝eq\f(3,36)÷eq\f(8,36)＝eq\f(3,8)．故選B．]二、填空題6．依據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)有如下的效果：若以A表示事務(wù)“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，以C表示事務(wù)“被診斷者患有癌癥”，則有P(A|C)＝0.95，P(eq\o(A,\s\up7(－))|eq\o(C,\s\up7(－)))＝0.95，現(xiàn)在對自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005,即P(C)＝0.005,則P(C|A)＝______．(精確到0.001)0.087[由題設(shè)，有P(eq\o(C,\s\up7(－)))＝1－P(C)＝0.995，P(A|eq\o(C,\s\up7(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up7(－))|eq\o(C,\s\up7(－)))＝0.05，由貝葉斯公式，得P(C|A)＝eq\f(PA|CPC,PA|CPC＋PA|\o(C,\s\up7(－))P\o(C,\s\up7(－)))≈0.087．]7．一個(gè)盒子中裝有15個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新球，在第一次競賽時(shí)隨意抽取3只，競賽后仍放回原盒中；在其次次競賽時(shí)同樣地任取3只球，則其次次取出的3個(gè)球均為新球的概率為________．eq\f(528,5915)[設(shè)A＝“其次次取出的均為新球”，Bi＝“第一次取出的3個(gè)球恰有i個(gè)新球”(i＝0,1,2,3)．由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,15))·eq\f(C\o\al(3,9),C\o\al(3,15))＋eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,6),C\o\al(3,15))·eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,15))＋eq\f(C\o\al(2,9)C\o\al(1,6),C\o\al(3,15))·eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,15))＋eq\f(C\o\al(3,9),C\o\al(3,15))·eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,15))＝eq\f(528,5915)．]8．電報(bào)放射臺發(fā)出“·”和“–”的比例為5∶3，由于干擾，傳送“·”時(shí)失真的概率為eq\f(2,5)，傳送“–”時(shí)失真的概率為eq\f(1,3)，則接受臺收到“·”時(shí)發(fā)出信號恰是“·”的概率為________．[答案]eq\f(3,4)三、解答題9．設(shè)甲盒有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，乙盒有4個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取兩球，求：(1)從乙盒取出2個(gè)紅球的概率；(2)已知從乙盒取出2個(gè)紅球，求從甲盒取出兩個(gè)紅球的概率．[解](1)設(shè)A1＝從甲盒取出2個(gè)紅球；A2＝從甲盒取出2個(gè)白球；A3＝從甲盒取出1個(gè)白球和1個(gè)紅球；B＝從乙盒取出2個(gè)紅球．則A1，A2，A3兩兩互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))×eq\f(0,C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))×eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(3,70)．(2)P(A1|B)＝eq\f(PA1B,PB)＝eq\f(PA1PB|A1,\o(∑,\s\up7(3),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai)＝eq\f(\f(1,70),\f(3,70))＝eq\f(1,3)．10．設(shè)5支槍中有2支未經(jīng)試射校正，3支已校正．一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4．(1)該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？(2)若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，求該槍未校正的概率．[解]設(shè)A表示槍已校正，B表示射擊中靶．則P(A)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝eq\f(2,5)，P(B|A)＝0.9，P(eq\o(B,\s\up7(－))|A)＝0.1，P(B|eq\o(A,\s\up7(－)))＝0.4，P(eq\o(B,\s\up7(－))|eq\o(A,\s\up7(－)))＝0.6．(1)由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up7(－)))·P(B|eq\o(A,\s\up7(－)))＝eq\f(3,5)×0.9＋eq\f(2,5)×0.4＝0.7．(2)由貝葉斯公式可得P(eq\o(A,\s\up7(－))|eq\o(B,\s\up7(－)))＝eq\f(P\o(A,\s\up7(－))P\o(B,\s\up7(－))|\o(A,\s\up7(－)),P\o(A,\s\up7(－))P\o(B,\s\up7(－))|\o(A,\s\up7(－))＋PAP\o(B,\s\up7(－))|A)＝eq\f(\f(2,5)×0.6,\f(2,5)×0.6＋\f(3,5)×0.1)＝0.8．1．(多選題)在某一季節(jié)，疾病D1的發(fā)病率為2%，病人中40%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D2的發(fā)病率為5%，其中18%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D3的發(fā)病率為0.5%，癥狀S在病人中占60%．則()A．隨意一位病人有癥狀S的概率為0.02B．病人有癥狀S時(shí)患疾病D1的概率為0.4C．病人有癥狀S時(shí)患疾病D2的概率為0.45D．病人有癥狀S時(shí)患疾病D3的概率為0.25ABC[P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6，由全概率公式得P(S)＝eq\i\su(i＝1,3,P)(Di)P(S|Di)＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02．由貝葉斯公式得：P(D1|S)＝eq\f(PD1PS|D1,PS)＝eq\f(0.02×0.4,0.02)＝0.4，P(D2|S)＝eq\f(PD2PS|D2,PS)＝eq\f(0.05×0.18,0.02)＝0.45，P(D3|S)＝eq\f(PD3PS|D3,PS)＝eq\f(0.005×0.6,0.02)＝0.15．]2．從數(shù)字1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X，再從1，…，X中任取一個(gè)整數(shù)，記為Y，則P(Y＝2)＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(7,12)C．eq\f(13,48)D．eq\f(3,4)C[由題意，知P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝eq\f(1,4)．易得P(Y＝2|X＝1)＝0，P(Y＝2|X＝2)＝eq\f(1,2)，P(Y＝2|X＝3)＝eq\f(1,3)，P(Y＝2|X＝4)＝eq\f(1,4)，由全概率公式，可得P(Y＝2)＝P(X＝1)P(Y＝2|X＝1)＋P(X＝2)P(Y＝2|X＝2)＋P(X＝3)P(Y＝2|X＝3)＋P(X＝4)P(Y＝2|X＝4)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4)))＝eq\f(13,48)．]3．人們?yōu)榱私庖恢Ч善睂砜隙〞r(shí)期內(nèi)價(jià)格的改變，往往會去分析影響股票價(jià)格的基本因素，比如利率的改變．現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為40%．依據(jù)閱歷，人們估計(jì)，在利率下調(diào)的狀況下，該支股票價(jià)格上漲的概率為80%，而在利率不變的狀況下，其價(jià)格上漲的概率為40%,則該支股票將上漲的概率為________．64%[記A為事務(wù)“利率下調(diào)”，那么eq\o(A,\s\up7(－))即為“利率不變”，記B為事務(wù)“股票價(jià)格上漲”．依題設(shè)知P(A)＝60%，P(eq\o(A,\s\up7(－)))＝40%，P(B|A)＝80%，P(B|eq\o(A,\s\up7(－)))＝40%，于是P(B)＝P(AB)＋P(eq\o(A,\s\up7(－))B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(B|eq\o(A,\s\up7(－)))＝60%×80%＋40%×40%＝64%．]4．某倉庫有同樣規(guī)格的產(chǎn)品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三個(gè)廠生產(chǎn)的，且三個(gè)廠的次品率分別為eq\f(1,10)，eq\f(1,14)，eq\f(1,18)．現(xiàn)從這12箱中任取一箱，再從取得的一箱中隨意取出一個(gè)產(chǎn)品．(1)則取得的一個(gè)產(chǎn)品是次品的概率為________．(2)若已知取得一個(gè)產(chǎn)品是次品，則這個(gè)次品是乙廠生產(chǎn)的概率是________．(精確到0.001)(1)0.083(2)0.287[(1)設(shè)A＝{取得一個(gè)產(chǎn)品是次品}，B1＝{取得一箱是甲廠的}，B2＝{取得一箱是乙廠的}，B3＝{取得一箱是丙廠的}．三個(gè)廠的次品率分別為eq\f(1,10)，eq\f(1,14)，eq\f(1,18)，∴P(A|B1)＝eq\f(1,10)，P(A|B2)＝eq\f(1,14)，P(A|B3)＝eq\f(1,18)．12箱產(chǎn)品中，甲占eq\f(6,12)，乙占eq\f(4,12)，丙占eq\f(2,12)，由全概率公式得P(A)＝eq\o(∑,\s\up7(3),\s\do6(k＝1))P(A|Bk)P(Bk)＝eq\f(6,12)×eq\f(1,10)＋eq\f(4,12)×eq\f(1,14)＋eq\f(2,12)×eq\f(1,18)≈0.083．(2)依題意，已知A發(fā)生，要求P(B2|A)，此時(shí)用貝葉斯公式：P(B2|A)＝eq\f(PB2PA|B2,PA)≈eq\f(\f(4,12)×\f(1,14),0.083)≈0.287．]某人遺忘了電話號碼的最終一位數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴枺笏麚芴柌怀^三次而接通電話的概率．若已知最終一位數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率又是多少？[解]設(shè)Ai＝“第i次接通電話”，i＝1,2,3，B＝“撥號不超過3次接通電話”，則事務(wù)B的表達(dá)式為B＝A1∪(eq\o(A,\s\up7(－))1A2)∪(e