2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.3.1等比數(shù)列課后習(xí)題含解析新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

第五章數(shù)列5.3等比數(shù)列5.3.1等比數(shù)列課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.對(duì)隨意等比數(shù)列{an},下列說法肯定正確的是()A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列解析因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中,an,a2n,a3n,…也成等比數(shù)列,所以a3,a6,a9成等比數(shù)列.答案D2.在等比數(shù)列{an}中,已知a9=-2,則此數(shù)列的前17項(xiàng)之積等于()A.216 B.-216 C.217 D.-217解析由等比數(shù)列的性質(zhì):序號(hào)和相等,則對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積相等.∵a1·a17=a2·a16=…=a9∴a1·a2·…·a17=(a9)17=(-2)17=-217.答案D3.(2024廣東新會(huì)華僑中學(xué)高三月考)設(shè)等比數(shù)列{an}滿意a1+a3=3,a1-a5=-3,則a7=()A.8 B.-8 C.6 D.-6解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,a1+a3=3,即a1(1+q2)=3,①a1-a5=-3,即a1(1-q4)=-3,②由②÷①得1-q2=-1,即q2=2,a1=1.則an=a1qn-1=qn-1,所以a7=q6=(q2)3=8.答案A4.在下面所示的表格中,每格填上一個(gè)數(shù)字后,使每一橫行成等差數(shù)列,每一縱行成等比數(shù)列,則a+b+c的值為()120.51abcA.1 B.2 C.98 D.解析依據(jù)題意填寫表格,得12340.5132113111311131所以a+b+c=12答案C5.(2024山東濟(jì)南高三三模)公比為2的等比數(shù)列{an}中存在兩項(xiàng)am,an,滿意aman=32a12,則1m+4A.97 B.53 C.43解析aman=a122m+n-2=32a12,當(dāng)m=1,n=6時(shí),1m當(dāng)m=2,n=5時(shí),1m當(dāng)m=3,n=4時(shí),1m當(dāng)m=4,n=3時(shí),1m當(dāng)m=5,n=2時(shí),1m當(dāng)m=6,n=1時(shí),1m故1m+4故選D.答案D6.在2和30之間插入兩個(gè)正數(shù),使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則插入的兩數(shù)是.

解析設(shè)兩數(shù)依次為a,b,∴a2=2b,2b=a+30.∴a2-a-30=0,∴a=6,∴b=18.答案6,187.已知a,b,c成等差數(shù)列,且a,c,b成等比數(shù)列,則a∶b∶c=.(其中a,b,c不相等)

解析由已知,得a由①,得a=2b-c,代入②得2b2-bc-c2=0,解得b=-12c(b=c舍去)∴c=-2b.∴a=2b-c=4b.∴a∶b∶c=4b∶b∶(-2b)=4∶1∶(-2).答案4∶1∶(-2)8.設(shè){an}是正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,則a3a6a9…a30=.

解析因?yàn)閿?shù)列{an}中,公比q=2,設(shè)a2a5a8…a29=x,而a1a4a7…a28,a2a5a8…a29,a3a6a9…a30成等比數(shù)列,且公比為q10=210,又a1a2a3…a30=230,即x3=230,解得x=a2a5a8…a29=210,所以a3a6a9…a30=220.答案2209.在公差不為0的等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b3.(1)求數(shù)列{an}的公差和數(shù)列{bn}的公比.(2)是否存在a,b使得對(duì)于一切自然數(shù)n都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b;若不存在,請(qǐng)說明理由.解(1)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,由已知a1=b1=1,a2=b2,得1+d=q,由a8=b3,得1+7d=q2,解得q=1,d=0((2)若存在a,b,使得an=logabn+b成立,即1+(n-1)·5=loga6n-1+b,∴5n-4=(n-1)loga6+b,∴(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.∴5-loga6=0,4+b-loga10.已知{an}是各項(xiàng)為不同的正數(shù)的等差數(shù)列,lga1,lga2,lga4成等差數(shù)列.又bn=1a2n,n=(1)證明{bn}為等比數(shù)列;(2)假如數(shù)列{bn}前3項(xiàng)的和等于724,求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1和公差d分析要證明數(shù)列為等比數(shù)列,關(guān)鍵是從定義動(dòng)身看bn+1與bn之比是否為同一常數(shù),或是否滿意等比數(shù)列通項(xiàng)公式的形式;由題設(shè)應(yīng)先求出{an}的通項(xiàng)公式.(1)證明∵lga1,lga2,lga4成等差數(shù)列,∴2lga2=lga1+lga4,即a22=a1·a設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則(a1+d)2=a1(a1+3d),這樣d2=a1d,從而d(d-a1)=0.∵d≠0,∴d=a1≠0.∴an=a1+(n-1)d=n·d.∴a2n=2n·∴bn=1a∴數(shù)列{bn}是以12d為首項(xiàng),1(2)解∵b1+b2+b3=12∴d=3.∴a1=d=3.實(shí)力提升練1.(多選)(2024蘇州外國(guó)語學(xué)校高二期中)數(shù)列{an}滿意an=qn(q>0,n∈N+),則以下結(jié)論正確的是()A.{a2n}是等比數(shù)列B.1an是等比數(shù)列C.{lgan}是等差數(shù)列D.{lgan2解析因?yàn)閍n=qn(q>0,n∈N+),所以a2n=q2n,a2na2n-21an=1qlgan=lgqn=nlgq,故lgan-lgan-1=nlgq-(n-1)lgq=lgq,故C正確;lgan2=lgq2n=2nlgq,故lgan2-lgan-12=2nlgq-2(n-1)lg故選ABCD.答案ABCD2.已知等差數(shù)列{an}的公差和等比數(shù)列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10,則a1和d的值分別為()A.32,32C.-32,-32 D.32解析由a由兩式得a1=9d-3d7d6-1,代入①式中,化簡(jiǎn)得d9-3d3+2=0,即(d3-1)(d6+d3-2)=0,∵d≠1,∴由d6+d3-2=0,得d=-32,a1=3答案D3.(2024南昌高三月考)假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的和除以與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做“和差等比數(shù)列”.已知{an}是“和差等比數(shù)列”,a1=2,a2=3,則滿意使不等式an>10的n的最小值是()A.8 B.7 C.6 D.5解析依題意,an+1+an則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為32的等比數(shù)列所以an=2·32n-1,驗(yàn)證知,當(dāng)n≥5時(shí),2·32n-1>10成立,所以n的最小值是5.故選D.答案D4.(2024遼寧遼師大附中高二月考)朱載堉(1536—1611),中國(guó)明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家,他的著作《律學(xué)新說》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個(gè)半音音程的律制,各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等,亦稱“十二等程律”.即一個(gè)八度13個(gè)音,相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等,且最終一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍.設(shè)第三個(gè)音的頻率為f1,第七個(gè)音的頻率為f2,則f2f1=A.4122 B.1116 C.82解析設(shè)第一個(gè)音的頻率為a,設(shè)相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比為q,那么an=aqn-1,依據(jù)最終一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍,得a13=2a=aq12,解得q=2112,所以f2f1=a7答案D5.已知兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn},滿意a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.若數(shù)列{an}是唯一的,則a的值為.

解析設(shè){an}的公比為q,則b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,由b1,b2,b3成等比數(shù)列,得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.(*)由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根.由{an}唯一知方程(*)必有一根為0,代入(*)得a=13答案16.設(shè)等比數(shù)列{an}滿意a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為.

答案647.設(shè)二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有兩根α和β,且滿意6α-2αβ+6β=3.(1)試用an表示an+1;(2)求證:當(dāng)a1≠23時(shí),an(3)當(dāng)a1=76時(shí),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式分析本題是有關(guān)數(shù)列、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的綜合題.依據(jù)題目條件列出等量關(guān)系,找到遞推關(guān)系即可獲解.解(1)依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,有α代入題設(shè)條件6(α+β)-2αβ=3,得6an+1∴an+1=12an+1(2)證明:∵an+1=12an+1∴an+1-23當(dāng)a1≠23時(shí),an-23≠0,故數(shù)列an-(3)當(dāng)a1=76時(shí),a1-2故數(shù)列an-23是首項(xiàng)為a1-23∴an=23+12n即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=23+12n8.推斷是否存在一個(gè)等比數(shù)列{an},使其滿意下列三個(gè)條件,使23am-1,am2,am+1+49依次成等差數(shù)列:①a1+a6=11,且a3a4=329;②an+1>an;③至少存在一個(gè)m(m∈N+,且m>4).若存在,請(qǐng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式解假設(shè)存在符合條件的等比數(shù)列{an},則a解得a又因?yàn)閍n+1>an,所以取a1=13,a6=32設(shè)公比為q,由a6=a1q5,得323=13q5所以an=13·2n-1又因?yàn)?3am-1,am2,am+1+所以2am2=23a即213整理,得22m-7·2m-8=0,即(2m-8)(2m+1)=0.因?yàn)?m+1>0,所以2m-8=0,即2m=8,所以m=3,這與條件③中的m>4沖突.所以不存在符合題意的等比數(shù)列.素養(yǎng)培優(yōu)練(2024四川成都高三二模)已知{an}是遞增的等比數(shù)列,a1=1,且2a2,32a3,a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列{an}