浙江省北斗聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2021學(xué)年第一學(xué)期北斗聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出斜率，即可求出傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，，則.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，利用復(fù)數(shù)除法法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】，則故選：A3.已知向量，分別是直線、的方向向量，若，則下列幾組解中可能正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由方向向量的數(shù)量積為0可得．【詳解】由題意，即，代入各選項(xiàng)中的值計(jì)算，只有A滿足．故選：A．4.已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則|MP|的最小值是（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】MP|的最小值即到直線的距離，代入即可求出答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以|MP|的最小值是點(diǎn)到直線的距離，即：.故選：C.5.如圖，已知電路中4個(gè)開關(guān)閉合的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由題意，燈泡不亮包括四個(gè)開關(guān)都開，后下邊的2個(gè)都開，上邊的2個(gè)中有一個(gè)開，這三種情況是互斥的，每一種情況的事件都是相互獨(dú)立的，所以燈泡不亮的概率為，所以燈泡亮的概率為，故選D．6.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先可求出，再由得，由得，將其轉(zhuǎn)化為、與的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、的圖象，由圖象知，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)方程思想，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用，屬于中檔題.7.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面的法向量，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.又，點(diǎn)到平面的距離，故選：.【點(diǎn)睛】本題用向量法求點(diǎn)到平面的距離，我們也可以用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然也可以找到這個(gè)垂線段，然后放在直角三角形中去求.8.在如圖所示的平行六面體中，已知，，，N為上一點(diǎn)，且，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將作為基底，用基底把表示出來，再由，可得，從而可求出【詳解】令，因?yàn)?，所以，令，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以因?yàn)?，，所以，所以，解得，故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，和一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，如果，，…，，其中為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】BD【解析】【分析】A、B利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷C、D的正誤.【詳解】選項(xiàng)A中，且，故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，，故方差相同，正確；選項(xiàng)C中，若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，由極差的定義知，若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：BD.10.一箱產(chǎn)品有正品10件，次品2件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（）A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B.C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D.“至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【解析】【分析】判斷各選項(xiàng)中的事件是否有同時(shí)發(fā)生的可能，即可確定答案.【詳解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件；B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；C：“至少有1件正品”的基本事件為{“有1件正品和1件次品”，“有2件正品”}，“至少有1件次品”的基本事件為{“有1件正品和1件次品”，“有2件次品”}，它們有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”，不是互斥事件；D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件；故選：AD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的周期為 B.函數(shù)圖象的一條對稱軸為直線C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對函數(shù)進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，進(jìn)而利用性質(zhì)判斷出結(jié)果即可.【詳解】解：函數(shù).所以函數(shù)的周期為，故A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B選項(xiàng)正確；當(dāng)，則，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，此時(shí)單調(diào)遞減，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.12.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，的周長為定值B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【解析】【分析】對于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長不是定值，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．

非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某校采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行關(guān)于線上教學(xué)實(shí)施情況的問卷調(diào)查，已知該校高一年級(jí)共有學(xué)生人，高三年級(jí)共有人.抽取的樣本中高二年級(jí)有人，則該校高二學(xué)生總數(shù)是_________人.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)直接計(jì)算即可.【詳解】由分層抽樣可得高二年級(jí)學(xué)生數(shù)占總?cè)藬?shù)的，故高一與高三總?cè)藬?shù)占三個(gè)年級(jí)總?cè)藬?shù)的，故總?cè)藬?shù)為人，故高二年級(jí)總?cè)藬?shù)為，故答案為：.14.已知直線與直線垂直，且垂足為，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，可求得a，將代入直線，即可求得c，再代入直線，即可求得b，從而可得答案.詳解】解：由，可得，解得，直線的方程為．由題意，可知是兩條直線的交點(diǎn)，將代入直線得．將代入直線，得，所以．故答案為：-9.15.設(shè)的對角線和交于為空間任意一點(diǎn)，如圖所示，若，則_______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)向量線性加法運(yùn)算，由為中點(diǎn)，可得，，即可得解.【詳解】由為中點(diǎn)，可得，，所以，所以，故答案為：.16.如圖，在三棱錐中，已知，，設(shè)，則的最小值為______.【答案】【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是．考點(diǎn)：1．空間向量的數(shù)量積；2．不等式求最值．【思路點(diǎn)睛】向量的綜合題常與角度與長度結(jié)合在一起考查，在解題時(shí)運(yùn)用向量的運(yùn)算，數(shù)量積的幾何意義，同時(shí)，需注意挖掘題目中尤其是幾何圖形中的隱含條件，將問題簡化，一般會(huì)與函數(shù)，不等式等幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯，或利用向量的數(shù)量積解決其他數(shù)學(xué)問題是今后考試命題的趨勢．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線和的交點(diǎn)為P．（1）若直線l經(jīng)過點(diǎn)P且與直線平行，求直線l的方程；（2）若直線m經(jīng)過點(diǎn)P且與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求△OAB的面積．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．【答案】（1）4x－3y－3＝0（2）30【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線平行，明確斜率，由點(diǎn)斜式方程可得答案；（2）由點(diǎn)斜式方程，設(shè)出直線方程，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得斜率，根據(jù)三角形面積公式，可得答案.【小問1詳解】由，求得，可得直線和的交點(diǎn)為P（－3，－5）．由于直線的斜率為，故過點(diǎn)P且與直線平行的直線l的方程為，即4x－3y－3＝0．【小問2詳解】由題知：設(shè)直線m的斜率為k，則直線m的方程為，故，，且，且，求得，故、．故△OAB的面積為．18.20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)，中位數(shù)；（3）已知成績在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比例為，若在成績?yōu)閮?nèi)的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求恰有1名男生和1名女生的概率.【答案】（1）（2）眾位數(shù)為，中位數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)所有矩形的面積之和即頻率之和為1，求得答案；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合眾數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算方法，求得答案；（3）’根據(jù)男女生比例確定男女生人數(shù)，算出8人選2人的總選法數(shù)和恰有1名男生1名女生的選法，根據(jù)古典概型的概率公式求得答案.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得：，解得；【小問2詳解】根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為,設(shè)中位數(shù)為，則，則.【小問3詳解】成績在[80，100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)有人男生人數(shù)6人，女生人數(shù)2人，8人選2人的總選法數(shù)種，恰有1名男生1名女生的選法有種，所以概率為.19.如圖所示，在四棱錐中，，且，底面為正方形.（1）設(shè)試用表示向量；（2）求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將，代入中化簡即可得出答案.（2）利用，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算即可.【小問1詳解】∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴.∵，∴，結(jié)合，，，得.【小問2詳解】∵，∴，∵，∴，，∴.∴，即BM長等于.20.已知角，，是的內(nèi)角，向量，，.（1）求角的大小；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)向量垂直的性質(zhì)求得，求得的值,進(jìn)而根據(jù)A的范圍求得A；(2)利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理利用B的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，則，又，所以.（2）因?yàn)椋?，所以，則，所以故所求函數(shù)的值域?yàn)?21.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)，滿足異面直線與所成的角為，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直證明異面直線垂直；（2）過點(diǎn)作于，連接，可得即為平面與平面所成的角，再利用三角形的性質(zhì)求得余弦值；（3）設(shè)，根據(jù)異面直線夾角，利用坐標(biāo)法可得的值.【小問1詳解】平面，平面，，，，、平面，平面，又平面，；【小問2詳解】如圖所示，過點(diǎn)作于，連接，由（1）知，平面，，又，平面，即為平面與平面所成的角．在中，，，，，在中，，，故平面與平面夾角的余弦值為．【小問3詳解】以為原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，異面直線與所成的角為，，解得或（舍），．.22.設(shè)常數(shù)，函數(shù)．（1）若a=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)是奇函數(shù)，且關(guān)于x的不等式mx2+m>f[f(x)]對所有的x∈[-2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間為(-∞，0)，；（2）.【解析】【分析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，求得，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出