弗完備解悖方案評估

弗完備解悖方案評估王文方教授最近幾年間，國際哲學界里有兩種與語意悖論有關的、非「正統(tǒng)途徑」（orthodoxapproach）的重要解悖方案；它們分別是以G.Priest（1987,2006）與JcBeall（2009）為代表的弗一致途徑（paraconsistentapproach）、以及以S.Kripke（1975）與H.Field（2003,2008）為代表的弗完備途徑（paracompleteapproach）。邏輯上，前者提倡某種弗一致邏輯〈paraconsistentlogic〉作為解決語意悖論的主要方法，后者主張放棄古典邏輯中的排中律（LawofExcludedMiddle,LEM）來作為避免悖論產生的手段。哲學上，前者主張將悖論型語句歸類為既真且假的語句，并因而主張有些矛盾為真，后者則主張所有悖論型的語句與沒有根據的語句都是缺乏真假的語句，并因而主張真值鴻溝（truth-valuegap）。基于篇幅的考慮，本論文只討論弗完備途徑的理論；在以下的說明中，我將先簡單解釋「正統(tǒng)途徑」的解悖方案及其問題，然后舉兩個例子說明弗完備途徑的解悖方案以及我所看到的、有關于該途徑的困難之處。正統(tǒng)的解悖理論所謂「正統(tǒng)的」解悖理論，我指得是那些區(qū)分真述詞階層與/或語言階層的理論。有關于語意悖論的正統(tǒng)解悖途徑始自A.Tarski。Tarski（1933,1944）認為，一個可被接受的、有關于某個對象語言L的真理理論，不僅應該在實質上是恰當的（materiallyadequate），而且應該在形式上是正確的（formallycorrect）。所謂「實質上恰當的」，塔斯基指的是，這樣的理論應該在邏輯上蘊涵所有具有下列形式的T-雙條件句：Tarski（1933）對于實質恰當性的要求其實有兩項，另一項要求該理論必須在邏輯上蘊含這樣的結果：所有可以說得上為真的事物都是語句。由于這個額外的要求對于以下的討論并非必要，因此我在這里略去它不予考慮。（T）X在L中為真，若且唯若p。其中，X是L中語句p的名稱。建立語言標準名稱的方式并不限于使用單引號或雙引號，其它的方式還包括Tarski（1933）所謂的「架構名」（structural-descriptivenames）、以及哥德爾數碼（Godelnumbering）等等。建立語言標準名稱的方式并不限于使用單引號或雙引號，其它的方式還包括Tarski（1933）所謂的「架構名」（structural-descriptivenames）、以及哥德爾數碼（Godelnumbering）等等。所謂「形式上正確的」，Tarski部分指的是：盡管表達這個理論的后設語言L*應該包含「在L中為真」（以下簡稱「L真」）這樣的述詞，但L和L*卻不可以包含自己的「真述詞」；而這也就是說：L不可以包含任何述詞”(x)”使得所有”(X)若且唯若p”這樣的語句對于L中的每個語句p來說都為真（其中，X是L中語句p的名稱），而L*也不可以包含任何述詞”(x)”使得所有”(Y)若且唯若q”這樣的語句對于L*中的每個語句q來說都為真（其中，Y是L*中語句q的名稱）；或者，以Tarski自己的話來說，L及L*都不可以是語意上封閉的（semanticallyclosed）語言。由于自然語言通常被認為包含了自己的真述詞（并因而是一個語意上封閉的語言），Tarski（1933）認為自然語言不只是封閉的，還是全般性的Tarski（1933）認為自然語言不只是封閉的，還是全般性的（universal）語言—任何在其它語言中能夠被表達的內容，在自然語言中都能夠被表達—因而不可能在這樣的語言中定義其真理概念而不導致矛盾。但讓我在此稍微說明一下這兩個問題。（a）：多豐富的語言才算是一個「夠豐富」的語言？以及（b）：為什么Tarski會認為：為一個夠豐富的封閉語言（如自然語言）提供一個一致的、滿足實質恰當性要求的真理定義是不可能的？第一個問題的答案是這樣的：一個語言L只要包含了（1）L中每一個語句的名稱、（2）「L真」這個述詞（或一個與「L真」有著相同外延的述詞”T”）、以及（3）直接或間接自我指稱（self-reference）的語言設計（如指示詞”this”或其它的設計有時候，量化的語言設計加上一些經驗的事實就足以造成自我指稱的語句。有關于這一點，詳見Kripke（1975,sec.1）。另外，透過哥德爾數碼，一個語言中的語句也可能間接地指稱它自己。），我們便說它是一個夠豐富的語言?，F(xiàn)在，讓我們假設L是一個夠豐富的語言，并且讓我們假設，我們已經為其中的述詞「L真」（或”T”）提供了一個實質上恰當的定義。由于L是一個夠豐富的語言，因此，讓我們假設它有一個能夠說它自己并不是L真的語句；讓我們稱之為「（說謊者）」。讓我們假設「（說謊者）」同時也是該語句在L有時候，量化的語言設計加上一些經驗的事實就足以造成自我指稱的語句。有關于這一點，詳見Kripke（1975,sec.1）。另外，透過哥德爾數碼，一個語言中的語句也可能間接地指稱它自己。（1）（說謊者）=「（說謊者）不是L真」。由于我們假設對「L真」的定義是一個實質上恰當的定義，因此，該定義蘊涵了所有L中語句的T-雙條件句；特別是，該定義蘊涵了（2）「（說謊者）不是L真」是L真，若且唯若（說謊者）不是L真。但（1）和（2）和萊布尼茲定律（Leibniz’sLaw）共同蘊涵了一個在Tarski及古典邏輯學家看來是自我矛盾的語句：「（說謊者）是L真，若且唯若（說謊者）不是L真」；因而，為夠豐富的語言（如自然語言）所提出的實質恰當真理定義，似乎一定會是一個不一致的定義。但為什么Tarski及古典的邏輯學家會認為「（說謊者）是L真，若且唯若（說謊者）不是L真」是一個自我矛盾的語句呢？Field（2008,p.7-8）認為，Tarski以及他的一些追隨者之所以認為該語句是一個自我矛盾的語句，似乎是因為他們接受下面這個被Field稱為「從等值到矛盾的核心論證」（thecentralargumentfromequivalencetocontradiction）的緣故：FieldField（2008,p.7-8）的論證包括四個大的步驟，以及每個步驟中的細部證明。這些步驟和證明相當于以下我所給的1-9的證明。（說謊者）是L真，若且唯若（說謊者）不是L真。Premise或者（說謊者）是L真，或者（說謊者）不是L真。LEM（說謊者）是L真。Assumption（說謊者）不是L真。1,3,Logic（說謊者）是L真而且（說謊者）不是L真。3,4,Conj.（說謊者）不是L真。Assumption（說謊者）是L真。1,6,Logic（說謊者）是L真而且（說謊者）不是L真。6,7,Conj.（說謊者）是L真而且（說謊者）不是L真。2,3,5,6,8,CD.由于Tarski和他的一些追隨者共同接受了上述的「核心論證」，因而他們很自然地結論說：替日常的語言提供一個一致的、并且滿足實質性要求的真理定義是一件不可能的事情。不過，讓我很快地在此指出：在上述的論證中，訴諸于排中律（步驟2）是一個重要的步驟。因而一個認為排中律并非邏輯定律的哲學家（如Kripke和Field）并不會輕易地被上述的「核心論證」所說服。盡管Tarski和他的一些追隨者認為他的真理理論并不適用于自然語言，但他的其他追隨者—如C.Parsons（1974）和T.Burge（1979）—卻不如此認為；后者相信，去為一個像中文（讓我們稱之為”L”）這樣的自然語言提供一個一致的真理定義，仍然是一件可能的事情，而其中的關鍵就在于：我們必需直覺上來說，一個有根據的語句是能夠在最終透過非語意事實（不涉及語意「指涉」、「滿足」、「真假」等概念的事實）去決定其真假的語句，而一個沒有根據的語句則不能在最終透過非語意的事實去決定該語句的真假。前者的例子如「『雪是白的』是真的」和「『「雪是白的」是真的』是真的」這樣的語句，后者的例子如（說謊者）和以下的（老實人）（TruthTeller）這樣的語句： （老實人）（老實人）是真的。（老實人）這個語句的特性在于：沒有任何的非語意事實足以決定該語句的真假值；或者說，不論我們假設它為真或假，這樣的假設都兼容于所有的非語意事實。Kripke（1975）的基本看法是：只有有根據的語句才是有真假可言的語句，而像（老實人）及（說謊者）這種沒有根據的語句則都沒有真假。但如果沒有根據的語句并沒有真假可言，理論上我們便應該采取一種容許真值鴻溝的三值語言去處理涉及了（說謊者）語句的語意悖論。這樣的語言通常允許既不為真也不為假的語句，而排中律在這樣的語言中也并非普遍地為真。由于排中律在許多的三值（及多值）語言中并不成立，因而這樣的三值（及多值）語言將可以有效地阻斷前一節(jié)中所提到的核心論證。Kripke（1975）的重要成就之一就在于他證明了：有一些三值的語言從現(xiàn)在起，我將像Gupta（2001）一樣將一個語言L看作是一個三位有序序列L=<L,M,v>，其中，L是L的語法，M是從現(xiàn)在起，我將像Gupta（2001）一樣將一個語言L看作是一個三位有序序列L=<L,M,v>，其中，L是L的語法，M是L的一個模型，而v則是一個賦值架構（valuationscheme），亦即對L中的連接詞的語意說明讓我們假設我們有兩個語言Ｌ和L+是這樣的：L是一個初階的語言，其中包含了””,“”,“c1”,“c2”…”cn”、以及L+中每一個語句的標準名稱（我們假設L使用單括號名作為語句的標準名稱在以下的討論中，雙括號是后設語言中的符號，而單括號則是對象語言中的符號。）作為L中的個體常數。此外，L也包括了”F1”,“F2”,…”Fm”這幾個一位述詞將個體常數以及一元述詞的數量限制為有限多個，這對于以下的證明來說并非必要；同樣地，將述詞限制為只有一元述詞，這對于以下的證明來說也非必要。但這樣的限制將會使得下述的說明變得容易得多。、以及左右括號、”x1”,“x2,”…這些個體變數、”~”、”&”、””、和””等等這幾個邏輯符號。L+和L的字匯幾乎一樣，但多了”T”這個一位述詞（我們的目標是去將”T”解釋成「在L+中為真」這個述詞，并因而讓L+成為一個夠豐富的語言）。L和L+的文法規(guī)則如下：任何一個一位述詞之后接著一個個體變量或常數都是一個式子（formula）；任何一個式子之前接著”~”或”xi”（對于任何的iN）也都是一個式子；而如果和是兩個式子，則(&)或()仍然是一個式子。在在以下的討論中，雙括號是后設語言中的符號，而單括號則是對象語言中的符號。將個體常數以及一元述詞的數量限制為有限多個，這對于以下的證明來說并非必要；同樣地，將述詞限制為只有一元述詞，這對于以下的證明來說也非必要。但這樣的限制將會使得下述的說明變得容易得多。讓我們假設L是一個經過解釋的（interpreted）語言，而L+則是一個部份被解釋的語言。一個對L或L+的解釋或模型必需要指定兩件事情：D和I；其中，D是一個非空的論域，而I則是對于每一個非邏輯字詞（名稱和述詞）的指稱的說明。我將假設L有一個特定的模型M=<D,I>，其論域D里包括了L+中的每一個語句以及這個世界里的每一個人（至于它們還包括些什么事物，則不是一件重要的事情）。我還將假設，該模型Ｍ中的說明I將每一個L+的語句的標準名稱”’p’”都解釋成指稱”p”這個語句（舉例來說，在這樣的理解下，”’F1’”將指稱”F1”這個語句），并將“c1”解釋成指稱王文方這個人，而將””和“”這兩個個體常數解釋為分別指稱”~T”,“T”這兩個語句；直覺上，在這樣的解釋中，””是一個說自己不為真的語句的名字，因而是一個「說謊者」，而“”則是一個說自己為真的語句的名字，因而是一個「老實人」。（至于其它的個體常數如何被解釋，則不是一件重要的事情。）我還假設L中的每一個述詞在I的說明之下也都得到了一個特定的解釋。對于一個述詞”F”作出一個特定的解釋也就是對之指定D中一對沒有交集的兩個集合的序對<S,S’>，前者被稱為是”F”這個述詞的外延（extension），也就是”F”這個述詞真于（trueof）的對象所形成的集合，后者則被稱為是”F”這個述詞的反外延（anti-extension），也就是”F”這個述詞假于（falseof）的對象所形成的集合。如果一個D中的事物d并不落于”F”的外延或反外延中，”F”便既不真于d亦不假于d。由于L中的每一個非邏輯字詞在M中都有了一個明確的說明（讓我們假設I將”F1”解釋為真于所有的人，而假于其它的東西；其它的述詞我們則不用管），因此，L是一個被M完全解釋了的語言；而這個對于L的完整解釋M，同時也是一個對L+的部份解釋：除了”T”這個述詞以外，該解釋同時說明了L+中每一個非邏輯字詞的指稱。如果，除了M的解釋之外，我們還對”T”這個述詞的外延和反外延作出某個特定的說明，比方說，讓”T”的外延和反外延分別等于D的某個子集合A和B（A和B沒有交集），那么，M加上這個特定的、對于”T”的說明就會是對L+的一個完整解釋或模型，我將稱這樣的解釋或模型為M+<A,B>。在一個強的K3語言中，各種語句的真假值是這樣決定的：(i)如果”F”是一個一位述詞，而”c”是一個個體常數或語句名稱，那么，”Fc”為真(假)若且唯若”c”所指稱的事物屬于”F”的(反)外延；否則的話，”Fc”便既不為真也不為假。(ii)由真值函數連接詞連接了一或兩個語句所形成的復雜語句，系以下述的方式去決定其真假值（在以下有關于”&”和””的兩個真值表中，左方直行代表的是該復雜句左邊的語句的真假值，上方橫列代表的是該復雜句右邊的語句的真假值，”t”代表真，”f”代表假，”n”則代表既不為真也不為假）： p~p &tnf tnf tf ttnf ttnf nn nnnf ntnn ft ffff fttt(iii)如果”xi”對于論域D中的所有事物來說都為真，那么，”xi”便為真；如果”xi”對于論域D中的某個事物來說為假，那么，”xi”便為假；而如果”xi”對于論域D中的有些（但非所有）事物來說為真，卻不對D中的任何事物來說為假，那么，”xi”便既不為真也不為假。顯然，在經過M的解釋之后，L中的每一個語句都有了一定的真假值（真、假、或既不為真也不為假）。但L是一個不包含自己的真述詞的語言：在語法上，它缺乏一個企圖去表達「在L中為真」的述詞；在語意上，我們也可以假設：在前述M的解釋下，沒有任何一個L的述詞的外延會剛好是所有L中的真語句所形成的集合，也沒有任何一個L的述詞的反外延會剛好是所有L中的假語句所形成的集合；因此，L并不是一個我們真正關心的語言。我們關心的是像L+這樣的語言：它在語法上包括了一個企圖去表達「在L+中為真」的述詞”T”；而我們當前的問題在于：我們是否可能將之前的解釋M擴展成一個完整的、對于L+的解釋M+<A,B>，并使得A和B（也就是”T”這個述詞的外延和反外延）剛好分別是L＋中所有的真語句和L+中所有的假語句所形成的集合？如果這件事情是可能的，那么，”T”在M+<A,B>這個解釋下便會是L+這個夠豐富的語言的真述詞，而我們也就完成了我們的使命。但問題是：這樣的解釋可能嗎？如果可能，它如何可能？Kripke（1975）的論文的重要性就在于：該論文不僅證明了，對于一個像L+這樣的強的K3語言來說，將”T”解釋成為L+的真述詞總是可能的；它還額外告訴我們兩件事情：（1）這樣的解釋要如何建構起來；相較而言，Martin和Woodruff(1975）雖然也證明了這樣的解釋是可能的，但他們卻沒有告訴我們這如何可能。以及（2）這樣的結果如何可能推廣到其它三值或多值的語言上。在說明這兩點之前，讓我們先看一下強的K3語言的一個特性：單調性（monotonicity）。跟隨Gupta（2001），讓我們先定義一個介于兩個述詞的解釋之間的關系如下：對于任意一個述詞F的任意兩個解釋<A,B>和<C,D>來說，<A,B><C,D>若且唯若ＡＣ而且BD。（我們可以將”<A,B><C,D>”讀成「<A,B>這個對于F的解釋比<C,D>這個對于F的解釋來得弱」。直覺上，當<A,B>這個解釋比<C,D>來得弱時，在前一解釋中為Ｆ的事物在后一解釋中也是Ｆ，而且，在前一解釋中不是Ｆ的事物在后一解釋中也不是Ｆ；但反之則不必然。）現(xiàn)在，我們可以定義一個介于任意兩個具有相同論域的模型M1＝<D,I1>和M2＝<D,I2>之間的關系如下：M1M2若且唯若（a）M1和M2對于述詞之外的其它語詞（常數、函數名等等）所作出的解釋完全相同；（b）對于每一個述詞F來說，I1對于Ｆ所作出的解釋都弱于I2對于Ｆ所作出的解釋；亦即，對于每一個述詞F來說，I1(Ｆ)=I2(Ｆ)。（直覺上來說，當M1M2時，前者是一個比后者來得弱的解釋。）現(xiàn)在，我們可以來說明什么是單調性了。一個語言是單調的語言，若且唯若對于該語言的任意兩個解釋M1和M2來說，如果M1M2，那么，任何在M1的解釋下為真的語句在M2的解釋之下也會為真，而且任何在M1的解釋下為假的語句在M2的解釋之下也會為假。（直覺上，當一個語言L具有單調性時，對該語言的較強解釋會比較弱的解釋包含更多的真理和假理。）我們可以透過數學歸納法證明，每一個強的K3的語言都是一個具有單調性的語言。相較而言，Martin和Woodruff(1975）雖然也證明了這樣的解釋是可能的，但他們卻沒有告訴我們這如何可能。我們也可以說，三個段落之后的函數是一個在下述意義下單調的函數：對于任何的A,B,C,D來說，如果<A,B><C,D>，那么，(<A,B>)(<C,D>)?，F(xiàn)在，我們便來看看如何將L+中的述詞”T”解釋成為該語言的真述詞。Kripke（1975）教了我們一個重復建構的方法，以便去建構出這樣的一個解釋。在建構的最初階段—階段0—中，我們將L+解釋成M+<S0,S0’>=M+<,>。換句話說，我們將”T”解釋成：既不真于任何的語句和事物，也不假于任何的語句和事物。雖然在這個階段中我們將”T”解釋為不真于任何的事物，但在該解釋下，仍然有許多的語句為真，舉例來說，”F1c1”和”TF1c1”便是如此，讓我們稱所有這些在M+<,>的解釋下為真的語句所形成的集合為S1。同樣地，雖然M+<,>將”T”解釋為不假于任何的事物，但在該解釋下仍然有許多的語句為假，舉例來說，”~F1c1”和”T&~F1c1”便是如此，讓我們稱所有這些在M+<,>的解釋下為假的語句所形成的集合為S1’。除了上述這兩類語句之外，其它的語句在M+<,>的解釋下則都是既不為真也不為假的語句，比方來說，”T”、”T”、”~T”、”~T”、”T’F1c1’”、”~T’F1c1’”等等便都是如此。顯然，S0S1，但S0S1。同樣地，S0’S1’，但S0’S1’。由于S0S1而且S0’S1’，因而，將”T”解釋成<S0,S0’>并不能使得”T”成為L+在這個解釋下的真述詞；但我們卻可以從此進行到下一個階段—階段1—的解釋。在階段1中，我們將L+解釋成M+<S1,S1’>。換句話說，我們將”T”解釋成真于前一階段中的真語句，而假于前一階段中的假語句。雖然我們將”T”作了如此的解釋，但是在M+<S1,S1’>的解釋下，我們將會發(fā)現(xiàn)，”T”仍然不會是L+在這個解釋下的真述詞。事情之所以如此，那是因為在M+<S1,S1’>的解釋下，雖然在前一階段中為真的語句仍然會在這個新的解釋下為真（而這是因為之前所提到的單調性使然），但卻會有更多的語句—比方來說，”T’F1c1’”和”T’TF1c1’”—在這個新的解釋下成為真的語句；讓我們稱所有這些在M+<S1,S1’>的解釋之下為真的語句所形成的集合為S2。同樣地，雖然在前一階段中為假的語句仍然會在這個新的解釋下繼續(xù)為假（而這同樣是因為之前所提到的單調性使然），但卻會有更多的語句—比方來說，”T’~F1c1’”和”T’T&~F1c1’”—在這個新的解釋下成為假的語句；讓我們稱所有這些在M+<S1,S1’>的解釋下為假的語句所形成的集合為S2’。（而且，一如前一個階段，在M+<S1,S1’>的解釋下，仍然有許多的語句會繼續(xù)是既不為真也不為假的語句，比方來說，”T”、”T”、”~T”、”~T”、”T’T’”等等便都是如此。）顯然，S1S2，但S1S2。同樣地，S1’S2’，但S1’S2’。由于S1S2而且S1’S2’，因此，將”T”解釋成<S1,S1’>同樣不能將之解釋成為L+在這個解釋下的真述詞；但我們還可以由此進行到下一個階段—階段2—的解釋。在階段2中，我們將L+解釋成M+<S2,S2’>…等等。我們可以一直重復這樣的操作，一直到無窮的階段。在一個無窮的階段—比方說，在（或+等等）的階段中，我們可以將L+解釋成M+<S,S’>，其中，S是將所有之前各階段中的Si聯(lián)集起來的結果，而S’則是將所有之前各階段中的Si’聯(lián)集起來的結果。由于每一個階段中的真理和假理都只可能比前一個階段中的真理和假理來得更多，而不可能來得更少（因為強的K3語言具有單調性），因而這一序列對于”T”的解釋只有可能使得”T”的外延和反外延持續(xù)地增加，絕無可能使之在任一階段中變得比以前減少。現(xiàn)在，讓我們問一下這個緊要的問題：在這一序列的解釋M+<S0,S0’>、M+<S1,S1’>、…、M+<S,S’>、…、M+<S+,S+’>、…當中，有沒有可能每一個對于”T”的解釋<Si,Si’>都是這樣的：Si并不等于在M+<Si,Si’>之下為真的語句的集合，而Si’也不等于在M+<Si,Si’>之下為假的語句的集合，因而對于”T”的解釋<Si,Si’>并未能將之解釋成L+在該解釋下的真述詞？如果這是可能的，那么，我們?yōu)長+建構一個真述詞的希望就落空了。不過，稍微想想，我們便會知道這是不可能的。這件事之所以不可能，那是因為L+的語句只有可數的無限多個，而我們的解釋階段卻可以有不可數的無限多個階段。由于我們的強的K3語言L+具有單調性，因而，如果我們所設想的情況是可能的，那么，L＋中為真及為假的語句將會有不可數的無限多個，但這抵觸了L+中的語句只有可數無限多個的事實，因而這個設想中的情況是不可能的。因此，在這一序列的解釋當中，一定至少有一個解釋M+<S,S’>是這樣的：S剛好等于在M+<S,S’>之下為真的語句的集合，而S’也剛好等于在M+<S,S’>之下為假的語句的集合。（而在該解釋之后的每一個解釋M+<S,S’>也都是這樣的：S剛好等于在M+<S,S’>之下為真的語句的集合，而S’也剛好等于在M+<S,S’>之下為假的語句的集合。）如果我們將Ｌ+中的”T”解釋成這樣的<S,S’>（或任何之后的<S,S’>），那么，”T”就會是L+這個語言在該解釋下的的真述詞。到這里為止，Kripke算是完成了他的第一個目標：使用固定點論證去證明說，為了要能夠一致性地談論某個語言L中的語句是否為真，我們并非總是需要使用一個較L更為豐富的、或較L在階層上來得更高的后設語言不可；一個像L+這樣的三值的語言便可以包含自己本身的真述詞，而不必然導致矛盾。像前述M+<S,S’>（或之后任何的M+<S,S’>）這樣的解釋，又叫一個固定點（fixed-point）的解釋。一般性地說，對于任何的論元X和任何的一位函數f來說，如果f(X)=X，則X就叫做f的一個固定點。有些一位函數完全沒有任何的固定點可言，如x+3這個函數；有些一位函數則只有一個固定點，如x2這個函數；但也有些一位函數有不只一個的固定點。我們在前三個段落中所說的重復建構的方法，其實定義了一個附加于M的、從”T”的各種解釋到”T”的各種解釋的一個函數（這樣的函數通常被稱為”kapa-跳躍”（-jump））：對于任何一個附加于模型Ｍ的、對于”T”的解釋<Si,Si’>來說，(<Si,Si’>)=<Sj,Sj’>，而其中的Sj是所有在Ｍ＋<Si,Si’>的解釋之下為真的語句的集合，而Sj’則是所有在Ｍ＋<Si,Si’>的解釋之下為假的語句的集合。Kripke的上述建構法顯示說，該函數至少有一個固定點。事實上，我們可以進一步證明說：函數有不只一個的固定點，而在它的所有固定點中，上述的<S,S’>是其中最小的一個固定點；換句話說，對于任何的其它固定點<S,S’>來說，SS而且S’S’。相對地來說，馬丁及伍卓夫(1975）所證明的是，在一個弱的K3語言上，我們可以定義出一個類似的函數，而這個函數會有一個最大的（maximal）固定點；亦即，沒有常義延伸的固定點。在最小的固定點解釋下，L+中的許多語句為真（如”F1c1”、“T’F1c1’”、“T’T’F1c1’’”、“T’T’T’F1c1’’’”等等），許多的語句則為假（如”~F1c1”、“~T’F1c1’”、“~T’T’F1c1’’”、“~T’T’T’F1c1’’’”等等），但也有許多語句是既不為真也不為假的語句（如”T”、”T”、”~T”、”~T”、”T’T’”等等）。直覺上，在最小固定點的解釋之下，”T”的外延包括了一切描述了非語意事實的語句、以及由這些語句和T雙條件句可以推論出來的語句，而”T”的反外延則包括了一切描述了非語意的非事實的語句、以及由這些語句和T雙條件句可以推論出來的語句；因而，它們在直覺上都是「有根據的」語句。Kripke因而稱一個語句為「有根據的語句」，若且唯若，該語句屬于最小固定點解釋M+<S相對地來說，馬丁及伍卓夫(1975）所證明的是，在一個弱的K3語言上，我們可以定義出一個類似的函數，而這個函數會有一個最大的（maximal）固定點；亦即，沒有常義延伸的固定點。上述這些有關于固定點的想法的一個附帶好處是：我們可以在其中嚴格地區(qū)分像（說謊者）這樣的語句和像（老實人）這樣的語句。直覺上來說，兩者都是沒有根據的語句（而它們在Kripke的理論中的確也都是沒有根據的語句），但（說謊者）會導致吊詭的結果，而（老實人）則不會。為了區(qū)分這兩者，Kripke定義「吊詭的」（paradoxical）語句如下：吊詭的語句在任何的固定點解釋中都是既不為真也不為假的語句。由于（說謊者）”~T”在所有的固定點解釋中都既不為真也不為假，所以它是吊詭的語句；但（老實人）”T”則不是，”T”在有些固定點的解釋下為真，在有些固定點解釋下為假，而在有些固定點解釋（如最小的固定點）下則是既不為真也不為假。我們可以很容易便可以看出：如何去將上述這些對于L+這個特殊的強的K3語言的研究結果加以進一步地推廣。首先，除了”T”之外，這個語言里包含些什么樣的述詞或個體常元這件事情，對于證明上述的結果來說其實是沒差別的。其次，任何一個三值或多值的語言，只要它具有單調性（或者說，只要我們在其上所定義的-跳躍是單調的，這樣的語言包括弱的K3及LP），我們都可以為之證明出類似上述的結果。最后，將這些結果限制在初階語言之上似乎也是不必要的；同樣的證明似乎同樣可以用在比方說高階的語言、帶有通則化的量化詞的語言、以及模態(tài)的語言之上。我說過，對于同一個語言，比方說L+，我們可以作出好幾個不同的固定點解釋；在每一個固定點的解釋下，”T”都是該語言在該解釋之下的真述詞。但在這許多不同的解釋當中，有沒有哪一個才是「正確的」解釋呢？Kripke（1975）傾向于將最小固定點的解釋當作是正確的解釋。但這樣的解釋有一個小的問題：在該解釋下，像”x1(Tx1Tx1)”這種直覺上為真的語句（以及許多在古典邏輯中是邏輯真理語架的例子的語句）變成了一個既不為真也不為假的語句，而這似乎違反了我們的直覺。不過，這個問題或許不是一個太大的問題：如果我們采取vanFraassen的超評估（supervaluation）多值邏輯，那么，我們便可以既采取最小固定點解釋，又讓”x1(Tx1Tx1)”這種直覺上為真的語句（以及任何在古典邏輯中是邏輯真理語架的例子的語句）都變成真的語句但但Kripke（1975,注30）說，如果我們認為句子之所以不真不假，那是因為它們并不表達命題的緣故，那么，使用vanFraassen的理論去解決這個小問題得作法就會變得不太有吸引力。Kripke的構想真正難以克服的問題似乎在于（Gupta,2001）：K1.在一個像L+這種具有固定點解釋的強的K3語言中，如果我們將”pq”這樣的語句理解為只是在縮寫”(pq)&(qp)”這樣的句子，那么，我們便可以很容易地證明：并不是每一個具有”T’p’p”這種形式的語句在最小的固定點解釋下都會為真。事實上，許多具有這種形式的語句（如”T’~T’~T”）在任何一個固定點的解釋下都是既不為真也不為假的語句。這個結果之所以會產生，主要是因為”pp”這種形式的語句在L+中甚至不是邏輯真理的緣故。事實上，強的K3事實上，強的K3語言中沒有任何的邏輯真理可言。但假如”pp”這種形式的語句在L+中都是邏輯真理，那么，由于在固定點的解釋中任何一個語句”p”與”T’p’”都會有相同的真假值，因而每一個具有”T’p’p”這種形式的語句都將會在最小的固定點解釋下為真。K2.如果我們想要引介一個比較強的真值函數連接詞””到前述的L+中，以使得所有具有”pp”這種形式的語句都成為邏輯真理，并因而解決上述1中所提到的問題，（一個可以考慮的選項是下述這一個俗稱為L3的邏輯當中的函數：(t,t)=(f,f)=(n,n)=t；(f,t)=(t,f)=f；在其它情況下，的值為n），那么，我們便會發(fā)現(xiàn)：如果這樣一個強化后的語言滿足一定的條件這些條件包括：（1）該語言中至少有一個為假的語句A；（2）該語言中有一個名字”b”指稱著”A這些條件包括：（1）該語言中至少有一個為假的語句A；（2）該語言中有一個名字”b”指稱著”ATb”這個語句；以及（3）該語言中有一個名字”c”指稱著”TbTc”這個語句。滿足這些條件的語言將會是不一致的；有關于這個證明，請參見Gupta（2001,p.100）。K3.有些具有固定點解釋的語言不僅在邏輯資源上是很貧乏的，它們在語意上的資源也是很貧乏的。比方來說，雖然一個像L+這樣的強的K3語言可以擁有自己的真述詞和假述詞（我們可以這樣定義一個假述詞”F”：”F’p’”=df”T’~p’”），但它卻不可能擁有「在L+中既不為真也不為假」這樣的述詞，否則的話，該語言就會招致著名的「延伸的說謊者」（extendedliar）的報復。K4.對于一個像L+這種擁有固定點解釋的多值語言來說，一個有關于對象語言與后設語言的區(qū)別似乎仍然是無法避免的。舉例來說，（說謊者）在L+的任何一個固定點的解釋中都是一個既不為真也不為假的語句，但這個事實卻無法在對象語言中來加以斷說：在固定點的解釋下，對象語言中的”~T’~T’&~T’~~T’”這個語句并不是一個真語句。上述的這個事實因而似乎只能在L+的后設語言中才能加以斷說。但這些缺點仍然不足以讓我們立刻對Kripke的構想宣判死刑。Kripe（1975）證明了，替一個多值的豐富語言提供一個一致性的真理定義是可能的，但他構想中的強的K3語言卻無法滿足Tarski的實質恰當性要求。不過，F(xiàn)ield最近（2003,2008）證明說，我們其實可以有一個一致的、比L+或任何K3的語言都來得更具有表達力的、滿足Tarski實質恰當性要求的、同時還有著固定點解釋與真述詞的三值語言。Field的作法是直接替一個像L+這樣的強的K3語言引入一個非真值函數的條件句連接詞””，然后證明這樣的語言不僅仍然會有一個固定點的解釋，而且所有的T-雙條件句「T’p’p」在Field所提議的語言中，”pq”縮寫了”(p在Field所提議的語言中，”pq”縮寫了”(pq)&(qp)”。讓我們假設，我們已經將一個初基的連接詞””加入到前述的L+中，并因而形成L這個語言。除了前述L+的文法規(guī)則之外，L還有一個額外的文法規(guī)則：如果和是兩個式子，則()仍然是一個式子。Field的限制性語意論與前述L+的語意論基本上并無不同，但由于L中還有一個額外的連接詞””，因而Field必須說明如何對一個具有()這種形式的條件句來加以賦值。Field的限制性語意論企圖透過一系列、無窮多個固定點PK（K是1,2,…,…中任意的一個序數）而對這樣的條件句加以賦值，而這些固定點之間的關系是這樣的：每一個固定點PK都是由某個起始的、對于所有條件句的賦值SK所建構起來的，而每個起始點SK如何對條件句加以賦值這件事，則視它之前的固定點如何對語句加以賦值而定。更詳盡地說，S0、S1、…、S…等等這些起始點對于條件句的賦值方式是這樣決定的：基礎階段：對于所有的及來說，S0()=n。后續(xù)點（successor）階段：對于任何一個后續(xù)序數K+1來說，如果PK()PK()，則SK+1()=t；否則的話，SK+1()=f。極限（limit）階段：對于任何一個極限序數l來說，如果有某個jl是這樣的：對于任何的大于j而小于l的i來說，Pi()Pi()，那么Sl()=t；而如果有某個jl是這樣的：對于任何的大于j而小于l的i來說，Pi()Pi()，那么Sl()=f；否則的話，Sl()=n。給定了一個這樣的起始點SK之后，我們便可以依據之前Kripke所教導我們的建構方法，從該起始點開始逐步地建構出一個對L的固定點解釋PK來。而給定了這樣的一個固定點解釋PK之后，我們也可以依據上述的方法而決定出下一個起始點SK+1的賦值方法來。我們可以不停地這樣繼續(xù)操作下去，以致于無窮。由于這一序列的固定點解釋對于許多語句的賦值并不完全相同，因而我們還得決定出一個「最終的」、對于語句的賦值方法來；而Field在這一點上的作法是采取了以下的約定：對于任何的語句來說，如果有任何的序數j是這樣的：對于任何大于j的序數i來說，在其中的賦值都為t（或都為f），那么，我們對于的最終賦值就是t（或f）；否則的話，的最終賦值就是n。Field（2003,2008）中證明，這一個最終賦值的解釋仍然是一個固定點的解釋，因而在該解釋之下，L這個語言包含了自己的真述詞。但更好的事情是：在該解釋之下，所有具有「T’’」這種形式的T-雙條件句都為真，而所有””之外的連接詞則仍然遵守著原來L+的語意論。Field（2003,2008）因而證明了，我們其實可以有一個一致的、比L+或任何K3的語言都來得更有表達力的、滿足Tarski實質恰當性要求的、同時有著固定點解釋與真述詞的三值語言，比如說，L就是一個這樣的語言。除了滿足Tarski的實質恰當性要求之外，上述的L還有一些額外的優(yōu)點：首先，當和是任何兩個遵守排中律的語句時（換句話說，當”v~”以及”v~”皆為真時），””為真若且為若””為真；換句話說，在遵守排中律的語言脈絡中，””可以直接被看成是””，而””也遵守著””在古典邏輯中所遵循的所有規(guī)律。其次，當和是任意的兩個語句時，””仍然遵守著””在古典邏輯中所遵循的許多可欲的規(guī)律，如MP和Contraposition等等。第三，各種形式的Contraction規(guī)則，如()|(())()(())等等，在最終的解釋下都不是一個普遍成立的規(guī)則，因而這樣的一個解釋將可以有效地阻擋Curry悖論的產生。最后，我們可以在L中定義一個連接詞”D”如下（其中，””是任意的一個必然為真的語句）： D=df()而一旦我們如此定義”D”之后，我們將會發(fā)現(xiàn)，”D”總是蘊含”T’’”，而且，雖然在前述的最終解釋當中，”~T’~T’&~T’~~T’”仍然不是一個為真的語句，但”~DT’~T’&~DT’~~T’”卻在這樣的解釋中為真；我們因而可以將后者看作是在斷言「（說謊者）既不確定地為真也不確定地為假?！笷ieldField在提出他的弗完備理論時，除了企圖用它來解決語意悖論之外，其實還有一個目標：想要為語意悖論與連鎖悖論（soritesparadox）提出一個共同的解決之道。不過，在我看來，這個目標未必見得是一個可欲的目標：除非我們能夠先強而有力地論證說，語意悖論與連鎖悖論產生的病根是相同的，否則的話，這樣的目標將會有誤導哲學家之嫌。無論從哪一方面來看，F(xiàn)ield（2003,2008）的弗完備理論都比Kripke的弗完備理論來得更令人滿意，但問題是：Field的理論在多大的程度上解決了前述Kripke理論中的困難呢？毫無疑問，由于所有的T-雙條件句在其中均為真，F(xiàn)ield的理論因而解決了前述Kripke理論中的第一個問題，亦即K1，但K2-K4中所提到的那些問題呢？L這個語言仍然不允許有排除性的否定連接詞或L3中的連接詞””，否則的話，該語言就會失去固定點的解釋。同樣地，L這個語言也不允許有「在L中既不為真也不為假」這樣的述詞，否則的話，「延伸的說謊者」就會再度報復該語言；因而L仍然是一個在邏輯資源和語意資源兩方面都相對貧乏的語言。至于K4，盡管我們可以在L這個語言里定義出前述的”D”，并因而能夠在對象語言中斷說「（說謊者）既不確定地為真也不確定地為假」這樣的語句，但問題是：有些后設語言里能夠斷說的事情—如「（說謊者）既不為真也不為假」—仍然不能夠在對象語言里加以斷說，Tarski理論中的語言階層因而仍然如鬼魅般地糾纏著提倡弗完備理論的哲學家?；蛟S是因為上述這種種不太令人滿意的因素，當代一部分哲學家開始轉向弗一致性的理論，希望在其中找得滿意解決語意悖論的方法；在下一節(jié)中，我便來說明有關于這一方面的一些最新成果。參考書目：Beall,Jc.(2009).SpandrelsofTruth,Oxford:OxfordUniversityPress.Brady,R.T.(1989).Thenon-trivialityofdialecticalsettheory,inG.Priest,R.Routley,andJ.Norman(eds.),ParaconsistentLogic