廣西百色市2025屆數(shù)學高二上期末調(diào)研試題含解析

廣西百色市2025屆數(shù)學高二上期末調(diào)研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.2．數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，-些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物.曲線C：為四葉玫瑰線.①方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限；②曲線C上任一點到坐標原點0的距離都不超過2；③曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于4π；④曲線C上有5個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點).則上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.43．用斜二測畫法畫出邊長為2的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為（）A. B.C.4 D.4．某市要對兩千多名出租車司機的年齡進行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機抽出100名司機，已知抽到的司機年齡都在[20,45]歲之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數(shù)大約是()A.31.6歲 B.32.6歲C.33.6歲 D.36.6歲5．直線與圓相交于點，點是坐標原點，若是正三角形，則實數(shù)的值為A.1 B.-1C. D.6．“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大8．中國古代《易經(jīng)》一書中記載，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)據(jù)，即“結(jié)繩計數(shù)”，如圖，一位古人在從右到左（即從低位到高位）依次排列的紅繩子上打結(jié)，滿六進一，用6來記錄每年進的錢數(shù)，由圖可得，這位古人一年收入的錢數(shù)用十進制表示為（）A.180 B.179C.178 D.1779．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C.4 D.210．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.11．已知空間向量，，且與互相垂直，則k的值是（）A.1 B.C. D.12．若兩個不同平面，的法向量分別為，，則（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是線段BC，AD的中點，點G是線段CD上靠近D的四等分點，則直線EF與AG所成角的余弦值為______14．若等比數(shù)列的前n項和為，且，則__________.15．某古典概型的樣本空間，事件，則___________.16．已知正項數(shù)列的前n項和為，且，則__________，滿足不等式的最大整數(shù)為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與雙曲線交于，兩點，為坐標原點（1）當時，求線段的長；（2）若以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求的值18．（12分）已知的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為，（1）求的值；（2）求展開式的所有有理項(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項19．（12分）某校在全體同學中隨機抽取了100名同學，進行體育鍛煉時間的專項調(diào)查．將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉時間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學定義為鍛煉達標，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同學定義為鍛煉不達標（1）求a的值，并估計該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)；（2）在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達標的同學，按分層抽樣的方法抽取6名同學了解不達標的原因，再從這6名同學中隨機抽取2名進行調(diào)研，求這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率20．（12分）在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合（1）求橢圓的離心率；（2）求拋物線的方程；（3）設(shè)是拋物線上一點，且，求點的坐標21．（12分）已知命題；命題.（1）若p是q的充分條件，求m的取值范圍；（2）當時，已知是假命題，是真命題，求x的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)拋物線的定義得出當點P在拋物線的頂點時，|PF|取最小值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)拋物線y＝2x2上點P到準線的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝y(tǒng)，其準線方程為y＝－，∴當點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D2、B【解析】對于①，由判斷，對于②，利用基本不等式可判斷，對于③，以為圓心，2為半徑的圓的面積與曲線圍成的面積進行比較即可，對于④，將和聯(lián)立，求解出兩曲線的切點，從而可判斷【詳解】對于①，由，得異號，方程(xy<0)關(guān)于原點及y=x對稱，所以方程(xy<0)表示的曲線在第二和第四象限，所以①正確，對于②，因為，所以，所以，所以，所以由曲線的對稱性可知曲線C上任一點到坐標原點0的距離都不超過2，所以②正確，對于③，由②可知曲線C上到原點的距離不超過2，而以為圓心，2為半徑的圓的面積為，所以曲線C構(gòu)成的四葉玫瑰線面積小于4π，所以③錯誤，對于④，將和聯(lián)立，解得，所以可得圓與曲線C相切于點，，，，而點（1，1）不滿足曲線方程，所以曲線在第一象限不經(jīng)過任何整數(shù)點，由曲線的對稱性可知曲線在其它象限也不經(jīng)過任何整數(shù)點，所以曲線C上只有1個整點（0，0），所以④錯誤，故選：B3、A【解析】畫出直觀圖，求出底和高，進而求出面積.【詳解】如圖，，，，過點C作CD⊥x軸于點D，則,所以直觀圖是底為2、高為的平行四邊形，所以面積為.故選：A.4、C【解析】先根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為計算出數(shù)據(jù)位于的頻率，再利用頻率分布直方圖中求中位數(shù)的原則求出中位數(shù)【詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為，所以，數(shù)據(jù)位于的頻率為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，中位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)中位數(shù)為，則有，解得（歲），故選C【點睛】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)和頻率分布直方圖中中位數(shù)的計算，計算時要充分利用頻率分布直方圖中中位數(shù)的計算原理來計算，考查計算能力，屬于中等題5、C【解析】由題意得，直線被圓截得的弦長等于半徑．圓的圓心坐標，設(shè)圓半徑為，圓心到直線的距離為，則由條件得，整理得所以，解得．選C6、B【解析】方程表示橢圓，可得，解出的范圍即可判斷出結(jié)論.【詳解】∵方程表示橢圓，∴解得或，故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B7、C【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結(jié)合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【詳解】解：對于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯誤；對于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯誤；對于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯誤.故選：C.8、D【解析】由于從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進一，所以從右到左的數(shù)分別為、、，然后把它們相加即可.【詳解】（個）.所以古人一年收入的錢數(shù)用十進制表示為個.故選：D.9、D【解析】切點與圓心的連線垂直于切線，切線長轉(zhuǎn)化為直線上點與圓心連線和半徑的關(guān)系，利用點到直線的距離公式求出圓心與直線上點距離的最小值，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為直線上任意一點，，切線長的最小值為：，故選：D.10、D【解析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【詳解】由，可知，則有，解之得故選：D11、D【解析】由＝0可求解【詳解】由題意，故選：D12、B【解析】由向量數(shù)量積為0可求.【詳解】∵，，∴，∴，∴，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】建立空間直角坐標系，令正四面體的棱長為，即可求出點的坐標，從而求出異面直線所成角的余弦值；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，令正四面體的棱長為，則，所以，所以，所以，，，，，設(shè)，因為，所以，所以，所以，，設(shè)直線與所成角為，則故答案為：14、5【解析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合求和公式，即可求解.【詳解】因為，若時，可得，故，所以，化簡得，整理得，解得或，因為，解得，所以.故答案為：.15、##0.5【解析】根據(jù)定義直接計算得到答案.【詳解】.故答案為：.16、①.##②.【解析】由得到，即可得到數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，從而求出，再根據(jù)求出，令，利用裂項相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得解；【詳解】解：由，令，得，，解得；當時，，即因此，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，，即所以，令，所以，所以，則最大整數(shù)為；故答案為：；；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，利用弦長公式可求弦長.（2）根據(jù)圓過原點可得，設(shè)，從而，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后利用韋達定理化簡前者可得所求的參數(shù)的值.【小問1詳解】當時，直線，設(shè)，由可得，此時，故.【小問2詳解】設(shè)，因為以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，故，故，由可得，故且，故.而可化為即，因為，所以，解得，結(jié)合其范圍可得.18、（1）（2）【解析】（1）由二項式系數(shù)和公式可得答案；（2）求出的通項，利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問1詳解】的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和，所以.【小問2詳解】，因此時，有理項，有理項是第一項和第七項.19、（1），中位數(shù)為64；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合頻率直方圖求中位數(shù).（2）首先由分層抽樣求6名同學的分布情況，再應(yīng)用列舉法求概率.【詳解】（1）由題設(shè)，，可得，∴中位數(shù)應(yīng)在之間，令中位數(shù)為，則，解得.∴該校同學平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)為64.（2）由題設(shè)，抽取6名同學中1名在，2名在，3名在，若1名在為，2名在為，3名在為，∴隨機抽取2名的可能情況有共15種，其中至少有一名在內(nèi)的共12種，∴這2名同學中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率為.20、（1）；（2）；（3）【解析】（1）由橢圓方程即可求出離心率.（2）求出橢圓的焦點即為拋物線的焦點，即可求出答案.（3）由拋物線定義可求出點的坐標【小問1詳解】由題意可知，.【小問2詳解】橢圓的右焦點為，故拋物線的焦點為.拋物線的方程為.【小問3詳解】設(shè)的坐標為，，解得，.故的坐標為.21、（1）；（2）.【