2025屆廣東省茂名市五大聯(lián)盟學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆廣東省茂名市五大聯(lián)盟學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則實(shí)數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或62．已知拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C D.3．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.4．已知向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.65．已知雙曲線E的漸近線為，則其離心率為（）A. B.C. D.或6．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.7．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.8．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A.1 B.C.2 D.39．某綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙曲線型花瓶”.他們的設(shè)計(jì)思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，，，其中B是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn).小組中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如下表所示學(xué)生甲乙丙丁估算結(jié)果（）其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學(xué)是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁10．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：萬(wàn)元）之間的關(guān)系如下表：245683040605070若已知與的線性回歸方程為，那么當(dāng)廣告費(fèi)支出為5萬(wàn)元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為萬(wàn)元（殘差=真實(shí)值-預(yù)測(cè)值）A.40 B.30C.20 D.1011．已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則的值為（）A. B.C.4 D.12．已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某部門計(jì)劃對(duì)某路段進(jìn)行限速，為調(diào)查限速60km/h是否合理，對(duì)通過(guò)該路段的300輛汽車的車速進(jìn)行檢測(cè)，將所得數(shù)據(jù)按，，，分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖.則________；這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有______輛.14．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)分別是拋物線上位于第一、四象限的點(diǎn)，若，則的面積為__________.15．已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為__________；直線__________過(guò)定點(diǎn).16．兩姐妹同時(shí)推銷某一商品，現(xiàn)抽取他們其中8天的銷售量（單位：臺(tái)），得到的莖葉圖如圖所示，已知妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知三角形內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.18．（12分）已知點(diǎn)，（1）若過(guò)點(diǎn)P作的切線只有一條，求實(shí)數(shù)的值及切線方程；（2）過(guò)點(diǎn)P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求實(shí)數(shù)的值19．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長(zhǎng)直徑到點(diǎn)，使得，分別過(guò)點(diǎn)、作底面圓的切線，兩切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是切線與圓的切點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積21．（12分）如圖，AC是圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的一點(diǎn)，平面ABC，點(diǎn)E在棱PB上，且，，.（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.22．（10分）已知在等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由拋物線準(zhǔn)線與圓相切，結(jié)合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準(zhǔn)線方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故當(dāng)時(shí)，有或，所以或，得或6故選：D2、B【解析】利用點(diǎn)差法求出直線斜率，即可得出直線方程.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即，則直線方程為，即.故選：B.3、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.4、B【解析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式可得：，解得，故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及數(shù)量積的坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與漸近線的關(guān)系即可求解.【詳解】當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，漸近線為，故離心率為；當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，漸近線為，故離心率為；故選：D.6、B【解析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法與加法運(yùn)算求解得，再求共軛復(fù)數(shù)及其虛部.【詳解】解：，所以其共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為故選：B7、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：B.8、C【解析】利用直線和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以由直線和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為：.故選：C.9、D【解析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對(duì)幾何體的體積進(jìn)行估計(jì)即可.【詳解】可將幾何體看作一個(gè)以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個(gè)曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學(xué)的估算，故選：D10、D【解析】分析：把所給的廣告費(fèi)支出5萬(wàn)元時(shí)，代入線性回歸方程，做出相應(yīng)的銷售額，這是一個(gè)預(yù)測(cè)值，再求出與真實(shí)值之間有一個(gè)誤差即得.詳解：與的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，50，當(dāng)廣告費(fèi)支出5萬(wàn)元時(shí)，由表格得：，故隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為萬(wàn)元.故選D.點(diǎn)睛：本題考查回歸分析的初步應(yīng)用，考查求線性回歸方程，考查預(yù)測(cè)y的值，是一個(gè)綜合題11、A【解析】由，可得，再計(jì)算即可求解.【詳解】由題意可知，所以，即.故選：A12、B【解析】構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性比較大小【詳解】設(shè)恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)個(gè)小矩形面積之和為1即可求出的值；根據(jù)頻率分布直方圖可以求出車速低于限速60km/h的頻率，從而可求出汽車有多少輛【詳解】由解得：這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有故答案為：；14、42【解析】由焦半徑公式求得參數(shù)，得拋物線方程，從而可求得兩點(diǎn)縱坐標(biāo)，再求得直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)后可得面積【詳解】因?yàn)?，所以，拋物線的方程為，把代入方程，得（舍去），即.同理，直線方程為，即．所以直線與軸交于點(diǎn)，所以.故答案為：4215、①.②.【解析】根據(jù)切線的相關(guān)性質(zhì)將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點(diǎn).詳解】由圓得圓心，半徑，由題意可得,在中，，，可知當(dāng)垂直直線時(shí)，，所以四邊形的面積的最小值為，可得四點(diǎn)在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設(shè)，則圓心為，半徑為，則該圓方程為，整理可得，聯(lián)立兩圓可得直線AB的方程為，即可得當(dāng)時(shí)，，故直線過(guò)定點(diǎn).故答案為：；.16、13【解析】先根據(jù)妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，求得y,進(jìn)而得到其眾數(shù)，然后再根據(jù)姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，得到姐姐的銷售量的中位數(shù).【詳解】因?yàn)槊妹玫匿N售量的平均數(shù)為14，所以，解得，由莖葉圖知：妹妹的銷售量的眾數(shù)是14，因?yàn)榻憬愕匿N售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，所以姐姐的銷售量的中位數(shù)是16，所以，解得，所以，故答案為：13三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得面積【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼靡驗(yàn)?，所?因?yàn)榻菫殁g角，所以角為銳角，所以小問(wèn)2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=18、（1）；當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為；（2）或【解析】(1)根據(jù)題意可知P在圓上，據(jù)此即可求t和切線方程；(2)的面積，則當(dāng)面積最大時(shí)，．即，據(jù)此即可求出圓心O到直線l的距離，即可求出t的數(shù)值.【小問(wèn)1詳解】由題意得點(diǎn)在上，∴，，①當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程為，即②當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程，即【小問(wèn)2詳解】∵的面積，則當(dāng)面積最大時(shí)，．即，則圓心O到直線l距離又直線，即，則，解之得或注：亦可設(shè)圓心O到直線l的距離為d，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)(下同)19、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結(jié)論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說(shuō)明且，然后根據(jù)集合關(guān)系求解.詳解：(1),.則(2)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以且.由，得，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、切線的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）若，構(gòu)建為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示及其對(duì)應(yīng)的余弦值求R，最后由圓錐的體積公式求體積.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，底面圓，又是切線與圓的切點(diǎn)，∴底面圓，則，且，而，∴平面.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，若，可構(gòu)建為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，又面的一個(gè)法向量為，∴，可得，∴該圓錐的體積21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由圓的性質(zhì)可得，再由線面垂直的性質(zhì)可得，從而由線面垂直的判定定理可得平面PAB，所以得，再結(jié)合已知條件可得平面PBC，由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由已知條件結(jié)合基本不等式可得當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，是等腰直角三角形，，從而以O(shè)B，OC所在直線分別為x軸，y軸，以過(guò)點(diǎn)O且垂直于圓O平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)锳C是圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上不與A，C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以.因?yàn)椋褹B，平面PAB，所以平面PAB.因?yàn)槠矫鍼AB，所以.因?yàn)?，，且BC，平面PBC，所以平面PBC.因?yàn)槠矫鍼BC，所以.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以三棱錐的體積，（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立）.所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，是等腰直角三角形，.所以以