共美聯(lián)盟2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

共美聯(lián)盟2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.2 B.3C.4 D.52．《張邱建算經(jīng)》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日，問(wèn)第11日到第20日這10日共織布（）A.30尺 B.40尺C.6尺 D.60尺3．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A. B.C.16 D.324．已知實(shí)數(shù)，滿足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.25．在等差數(shù)列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.246．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.7．已知，是橢圓的兩焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡為（）A.圓 B.兩個(gè)圓C.橢圓 D.兩個(gè)橢圓8．若直線a，b是異面直線，點(diǎn)O是空間中不在直線a，b上的任意一點(diǎn)，則（）A.不存在過(guò)點(diǎn)O且與直線a，b都相交的直線B.過(guò)點(diǎn)O一定可以作一條直線與直線a，b都相交C.過(guò)點(diǎn)O可以作無(wú)數(shù)多條直線與直線a，b都相交D.過(guò)點(diǎn)O至多可以作一條直線與直線a，b都相交9．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.10．圓心在x軸上且過(guò)點(diǎn)的圓與y軸相切，則該圓的方程是（）A. B.C. D.11．已知橢圓方程為，則該橢圓的焦距為（）A.1 B.2C. D.12．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，如果則雙曲線的離心率為___________.14．半徑為的球的表面積為_______15．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一點(diǎn)，若，則的面積為____________16．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若，則_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.18．（12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，直線與平面ABCD所成角的正弦值為.E，F(xiàn)分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面BED；（2）求直線與平面FAC所成角的正弦值.19．（12分）近年來(lái)，由于耕地面積的緊張，化肥的施用量呈增加趨勢(shì)，一方面，化肥的施用對(duì)糧食增產(chǎn)增收起到了關(guān)鍵作用，另一方面，也成為環(huán)境污染，空氣污染，土壤污染的重要來(lái)源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促進(jìn)糧食增產(chǎn)，減少對(duì)周圍環(huán)境的污染成為需要解決的重要問(wèn)題.研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量的關(guān)系，成為解決上述問(wèn)題的前提.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為y（單位：百公斤）.參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與，哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于化肥施用量x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測(cè)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量y的值；（3）經(jīng)生產(chǎn)技術(shù)提高后，該化肥的有效率Z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得Z大致服從正態(tài)分布N），那這種化肥的有效率超過(guò)58%的概率約為多少？附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；②若隨機(jī)變量，則有，；③取.20．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)是橢圓E上一點(diǎn).（1）求E的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓E相交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的取值范圍.21．（12分）自疫情爆發(fā)以來(lái)，由于黨和國(guó)家對(duì)抗疫工作高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國(guó)抗疫工作取得階段性成功，國(guó)家經(jīng)濟(jì)很快得到復(fù)蘇.在餐飲業(yè)恢復(fù)營(yíng)業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計(jì)了近天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)，將前天的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖.組別分組頻數(shù)頻率第組第組第組第組第組合計(jì)（1）求、、的值，并估計(jì)該快餐店在前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）已知該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的方差為，在后天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為、方差為，估計(jì)這家快餐店這天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)和方差.（）22．（10分）已知直線l經(jīng)過(guò)直線，的交點(diǎn)M（1）若直線l與直線平行，求直線l的方程；（2）若直線l與x軸，y軸分別交于A，兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，求的面積（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，故可得，又到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，故點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：.2、A【解析】由題意可知，每日的織布數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式得解.【詳解】由題女子織布數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)第日織布為，有，所以，故選:A.3、C【解析】求的最大值即求的最大值，根據(jù)約束條件畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看成直線，直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)，將目標(biāo)與直線的截距建立聯(lián)系，然后得到何時(shí)目標(biāo)值取得要求的最值，進(jìn)而求得的最大值，最后求出的最大值.【詳解】要求的最大值即求的最大值.根據(jù)實(shí)數(shù)，滿足的條件作出可行域，如圖.將目標(biāo)函數(shù)化為.則表示直線在軸上的截距的相反數(shù).要求的最大值，即求直線在軸上的截距最小值.如圖當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，在軸上的截距最小值.由，解得所以的最大值為，則的最大值為16.故選：C.4、D【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可得到結(jié)果【詳解】由約束條件畫出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式相關(guān)計(jì)算求出公差，進(jìn)而求出首項(xiàng).【詳解】設(shè)公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B6、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：B.7、A【解析】設(shè)的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由橢圓性質(zhì)推導(dǎo)出，由題意知是△的中位線，從而得到點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓【詳解】是焦點(diǎn)為、的橢圓上一點(diǎn)為的外角平分線，，設(shè)的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，，，，由題意知是△的中位線，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓故選：A8、D【解析】設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得直線與平面相交或平行.分兩種情形，畫圖說(shuō)明即可.【詳解】點(diǎn)是空間中不在直線，上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線與點(diǎn)確定平面，由題意可得，故直線與平面相交或平行.(1)若直線與平面相交（如圖1），記，①若，則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線；②若與不平行，則直線即為過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線.（2）若直線與平面平行（如圖2），則不存在過(guò)點(diǎn)且與直線，都相交的直線.綜上所述，過(guò)點(diǎn)至多有一條直線與直線，都相交.故選：D.9、B【解析】設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計(jì)算，比較可得答案.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，，，，又底面是正方形，所以，，?duì)于A，；對(duì)于B，；對(duì)于C，；對(duì)于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.10、A【解析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，列式即可求出【詳解】依題可設(shè)圓的方程為，所以，解得即圓的方程是故選：A11、B【解析】根據(jù)橢圓中之間的關(guān)系，結(jié)合橢圓焦距的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，則焦距為，故選：B.12、C【解析】因?yàn)椤叭?，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問(wèn)題的能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【詳解】由可得，根據(jù)雙曲線的定義可得：，.故答案為：14、.【解析】由球的表面積公式計(jì)算【詳解】由題意.故答案為：15、【解析】根據(jù)拋物線定義求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出面積.【詳解】由題可得，設(shè)，則由拋物線定義可得，解得，代入拋物線方程可得，所以.故答案為：.16、【解析】由可知公比，所以直接利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，即可求出【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以，化?jiǎn)得，因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值，從而求得的值.【小問(wèn)1詳解】由，得，令，得或；令，得.∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問(wèn)2詳解】∵，∴.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.∴的極小值為，極大值為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又∵函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)的值為.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明垂直于平面BED內(nèi)的兩條相交直線，即可得到答案；（2）分別以O(shè)B，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標(biāo)系，平面FAC的一個(gè)法向量為，代入向量的夾角公式，即可得到答案；【小問(wèn)1詳解】∵ABCD為菱形，∴，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則OE為的中位線，∴.由題意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC平面ABCD中，∴.又，∴平面BED.小問(wèn)2詳解】∵ABCD為菱形，，∴為正三角形，∴.∵平面ABCD，∴與平面ABCD所成角，由，得，所以.如圖，分別以O(shè)B，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面FAC的法向量為，則由可得，取，故可得平面FAC的一個(gè)法向量為，記直線與平面FAC的夾角為，則19、（1）；（2）；810公斤；（3）.【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，結(jié)合給定模型的性質(zhì)直接判斷適合的模型即可.（2）將（1）中模型取對(duì)得，結(jié)合題設(shè)及表格數(shù)據(jù)求及參數(shù)，進(jìn)而可得參數(shù)c，即可確定回歸方程，進(jìn)而估計(jì)時(shí)糧食畝產(chǎn)量y的值.（3）由題設(shè)知，結(jié)合特殊區(qū)間的概率值及正態(tài)分布的對(duì)稱性求即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖，呈現(xiàn)非線性的變化趨勢(shì)，故更適合作為關(guān)于的回歸方程類型.【小問(wèn)2詳解】對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，由表中數(shù)據(jù)得：，，，則，∴關(guān)于的回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量約為810公斤.小問(wèn)3詳解】依題意，，則有，∴，則，∴這種化肥的有效率超過(guò)58%的概率約為.20、（1）；（2）.【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求解；(2)根據(jù)題意，直線l斜率存在，設(shè)其方程為，代入橢圓方程消去y得到關(guān)于x的二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，求出PQ長(zhǎng)度，求出原點(diǎn)到l的距離，根據(jù)三角形面積公式表示出△OPQ的面積，利用基本不等式求解其范圍即可.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)知，解得.∴橢圓E的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)軸時(shí)不合題意，故可設(shè)，則，得.由題意知，即，得.從而.又點(diǎn)O到直線的距離，∴，令，則，，，所求面積的取值范圍為.21、（1），，，平均數(shù)為；（2）平均數(shù)為，方差為.【解析】（1）計(jì)算出第組的頻數(shù)，可求得的值，利用頻數(shù)、頻率和總數(shù)的關(guān)系可求出的值，求出第組的頻率，除以組距可得的值，利用平均數(shù)公式可求得該快餐店在前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）設(shè)前天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，后天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，利用平均數(shù)公式和方差公式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：由表可知第組的頻數(shù)為，所以，，，第組的頻率為，，前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的