河南省師范大學附屬中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

河南省師范大學附屬中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面的一個法向量為，且，則點A到平面的距離為（）A. B.C. D.12．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A B.C. D.3．若復數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.4．數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為其前n項和．若對任意的，都有，則的值不可能是（）A. B.2C. D.35．若圓與直線相切，則實數(shù)的值為（）A. B.或3C. D.或6．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.7．已知是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則等于（）A.2 B.4C.6 D.88．已知奇函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.9．某商場開通三種平臺銷售商品，五一期間這三種平臺的數(shù)據(jù)如圖1所示．該商場為了解消費者對各平臺銷售方式的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取了6%的顧客進行滿意度調查，得到的數(shù)據(jù)如圖2所示．下列說法正確的是（）A.樣本中對平臺一滿意的消費者人數(shù)約700B.總體中對平臺二滿意的消費者人數(shù)為18C.樣本中對平臺一和平臺二滿意的消費者總人數(shù)為60D.若樣本中對平臺三滿意消費者人數(shù)為120，則10．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=11．魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術，他在《九章算術》方田章圓田術中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復，設，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（）A.2 B.3C. D.12．某市統(tǒng)計局網(wǎng)站公布了2017年至2020年該市政府部門網(wǎng)站的每年的兩項訪問量，數(shù)據(jù)如下：年度項目2017年2018年2019年2020年獨立用戶訪問總量（單位：個）2512573924400060989網(wǎng)站總訪問量（單位：次）23435370348194783219288下列表述中錯誤的是（）A.2017年至2018年，兩項訪問量都增長幅度較大；B.2018年至2019年，兩項訪問量都有所回落；C.2019年至2020年，兩項訪問量都又有所增長；D.從數(shù)據(jù)可以看出，該市政府部門網(wǎng)站的兩項訪問量都呈逐年增長態(tài)勢二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知AB為圓O：的直徑，點P為橢圓上一動點，則的最小值為______14．已知曲線在點處的切線的斜率為，則______15．橢圓的離心率是______16．一條光線經(jīng)過點射到直線上，被反射后經(jīng)過點，則入射光線所在直線的方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，，數(shù)列滿足(且)，.（1）求和的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.18．（12分）已知函數(shù).（1）當時，證明：函數(shù)圖象恒在函數(shù)的圖象的下方；（2）討論方程的根的個數(shù).19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）點M在線段上，且，試問在線段上是否存在一點N，滿足平面，若存在求的值，若不存在，請說明理由？20．（12分）已知橢圓，離心率分別為左右焦點，橢圓上一點滿足，且的面積為1.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于兩點.過點且平行于的直線交橢圓于點，證明：為定值.21．（12分）如圖，幾何體中，平面，，，，E是中點，二面角的平面角為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）在中，內(nèi)角所對的邊長分別為，是1和的等差中項（1）求角；（2）若的平分線交于點，且，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】直接由點面距離的向量公式就可求出【詳解】∵，∴，又平面的一個法向量為，∴點A到平面的距離為故選：B2、C【解析】由為的中點，根據(jù)向量的運算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據(jù)向量的運算法則，可得.故選：C.3、B【解析】利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)，利用復數(shù)的模長公式可求得結果.【詳解】，因此，.故選：B4、A【解析】由已知建立不等式組，可求得，再對各選項逐一驗證可得選項.【詳解】解：因為數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，為其前n項和．對任意的，都有，所以，即，解得，則當時，，不成立；當時，，成立；當時，，成立；當時，，成立；所以的值不可能是，故選：A.5、D【解析】利用圓心到直線的距離等于半徑可得答案.【詳解】若圓與直線相切，則到直線的距離為，所以，解得，或.故選：D.6、D【解析】由直線斜率概念可寫出傾斜角的正切值，進而可求出傾斜角.【詳解】因為直線的斜率為，所以傾斜角.故選D【點睛】本題主要考查直線的傾斜角，由斜率的概念，即可求出結果.7、D【解析】根據(jù)雙曲線定義寫出，兩邊平方代入焦點三角形的余弦定理中即可求解【詳解】雙曲線，，所以，根據(jù)雙曲線的對稱性，可假設在第一象限，設，則，所以，，在中，根據(jù)余弦定理：，即，解得：，所以故選：D8、A【解析】先由求出的值，進而可得的解析式，對求導，利用基本不等式可判斷恒成立，可判斷的單調性，根據(jù)單調性脫掉，再解不等式即可.【詳解】的定義域為，因為是奇函數(shù)，所以，可得：，所以，經(jīng)檢驗是奇函數(shù)，符合題意，所以，因為，所以，當且僅當即時等號成立，所以在上單調遞增，由可得，即，解得：或，所以的解集為，故選：A.9、C【解析】根據(jù)扇形圖和頻率分布直方圖判斷.【詳解】對于A：樣本中對平臺一滿意的人數(shù)為，故選項A錯誤；對于B：總體中對平臺二滿意的人數(shù)約為，故選項B錯誤；對于C：樣本中對平臺一和平臺二滿意的總人數(shù)為：，故選項C正確：對于D：對平臺三的滿意率為，所以，故選項D錯誤故選：C10、C【解析】因為“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點評】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.11、A【解析】設，則，解方程可得結果.【詳解】設，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：設是解題關鍵.12、D【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結合各選項的描述判斷正誤即可.【詳解】A：2017年至2018年，兩項訪問量分別增長、，顯然增長幅度相較于后兩年是最大的，正確；B：2018年至2019年，兩項訪問量相較于2017年至2018年都有回落，正確；C：2019年至2020年，兩項訪問量分別增長、，正確；D：由B分析知，該市政府部門網(wǎng)站的兩項訪問量在2018年至2019年有回落，而不是逐年增長態(tài)勢，錯誤.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】方法一：通過對稱性取特殊位置，設出P的坐標，利用向量的數(shù)量積轉化求解最小值即可方法二：利用向量的數(shù)量積，轉化為向量的和與差的平方，通過圓的特殊性，轉化求解即可【詳解】解：方法一：依據(jù)對稱性，不妨設直徑AB在x軸上，x，，，從而故答案為2方法二：，而，則答案2故答案為2【點睛】本題考查直線與圓的位置關系、橢圓方程的幾何性質考查轉化思想以及計算能力14、【解析】對求導，根據(jù)題設有且，即可得目標式的值.【詳解】由題設，且定義域為，則，所以，整理得，又，所以，兩邊取對數(shù)有，得：，即.故答案為：.15、【解析】求出、、的值，即可得出橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，，因此，橢圓的離心率是.故答案為：.16、【解析】先求點關于直線的對稱點，連接,則直線即為所求.【詳解】設點關于直線的對稱點為，則，解得，所以，又點，所以，直線的方程為：，由圖可知，直線即為入射光線，所以化簡得入射光線所在直線的方程:.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】(1)根據(jù)，列方程組即可求解數(shù)列的通項公式，根據(jù)可求數(shù)列的通項公式；(2)化簡，利用裂項相消法求該數(shù)列前n項和.【小問1詳解】設等差數(shù)列公差為d，∵，∴，∵公差，∴.由得，即，∴數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，∴；【小問2詳解】∵，∴，.18、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性，并求出函數(shù)的最大值小于零，即，即可得證；（2）將方程根的個數(shù)轉化為函數(shù)圖象與交點的問題，大致畫出函數(shù)的圖象，即可求解.【小問1詳解】設，其中，則，在區(qū)間上，單調遞減，又∵，即時，，∴，∴在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方.【小問2詳解】由得，即，令，則，令，得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴在處取得最小值，∴，又∵當時，，當時，，有零點存在性定理可知函數(shù)有唯一的零點，∴的大致圖象如圖所示，∴當時，方程的根的個數(shù)為0；當或時，方程的根的個數(shù)為1；當時，方程的根的個數(shù)為2.19、（1）證明見解析；（2）存在，的值為.【解析】（1）先證明,再證明，由線面垂直的判定定理求證即可;（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值【詳解】（1）在三棱柱中，平面ABC，，.∴，，，∵，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面.（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，，，，，所以，，設平面的法向量，則，取，得，點M在線段上，且，點N在線段上，設，，設，則，，，即，解得，，，∵，∴，解得.∴的值為.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）方法一：根據(jù)離心率以及，可得出，將條件轉化為點在以為直徑的圓上，即為圓與橢圓的交點，將的面積用表示，求出，進而求出橢圓的標準方程；方法二：根據(jù)橢圓的定義，，再根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式，即可解得，又由離心率求出，則可求出橢圓的標準方程；（2）設出直線的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達定理表示出，再將直線的方程代入橢圓方程，求出，則為定值.【小問1詳解】方法一：由離心率，得：，所以橢圓上一點，滿足，所以點為圓：與橢圓的交點，聯(lián)立方程組解得所以，解得：，所以橢圓的標準方程為：.方法二：由橢圓定義；，因為，所以，得到：，即，又，得所以橢圓C的標準方程為：；【小問2詳解】設直線AB的方程為：.得設過點且平行于的直線方程：.21、（1）證明見解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，從而可證平面；（2）以為坐標原點，，，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求平面的一個法向量與的方向向量，利用向量法可求直線與平面所成角的正弦值【小問1詳解】證明：取中點，又是中點，，，平面，平面，，平面，是二面角的平面角，，又，，在中，由余弦定理有，可得，又是中點，，平面，，又，平面，平面.【小問2詳解】解：以為坐標原點，，，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，1，，，0，，，1，，1，，，0，，，1，設平面的一個法向量為，，，則，令，則，，平面的一個法向量為，，，設直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為22、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)是1和的等差中項得到，再利用正