2025屆黃山市重點中學高二上數(shù)學期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆黃山市重點中學高二上數(shù)學期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線過點，且其方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.2．用反證法證明“若a，b∈R，，則a，b不全為0”時，假設正確的是（）A.a，b中只有一個為0 B.a，b至少一個不為0C.a，b至少有一個為0 D.a，b全為03．已知函數(shù)對于任意的滿足，其中是函數(shù)的導函數(shù)，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.4．《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑（nào）．如圖所示的三棱錐為一鱉臑，且平面，平面，若，，，則（）A. B.C. D.5．雙曲線：的漸近線與圓：在第一、二象限分別交于點、，若點滿足(其中為坐標原點)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點，則直線ED與FG所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．已知向量，，且，則的值是（）A. B.C. D.8．若正實數(shù)、滿足，且不等式有解，則實數(shù)取值范圍是（）A.或 B.或C. D.9．的展開式中的系數(shù)為，則（）A. B.C. D.10．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學家程大位（1533-1606年）所著.該書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”.其意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且下一層燈數(shù)是上一層的2倍，則可得塔的最頂層共有燈幾盞？”.若改為“求塔的最底層幾盞燈？”，則最底層有（）盞.A.192 B.128C.3 D.111．拋物線上有兩個點，焦點，已知，則線段的中點到軸的距離是（）A.1 B.C.2 D.12．為了解青少年視力情況，統(tǒng)計得到名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數(shù)，葉表示十分位數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等差數(shù)列中，，公差，則_________14．某廠將從64名員工中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取4名參加2011年職工勞技大賽，將這64名員工編號為1～64，若已知8號、24號、56號在樣本中，那么樣本中最后一個員工的號碼是__________15．設橢圓，點在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.16．寫出一個與橢圓有公共焦點的橢圓方程__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）設，求數(shù)列的前n項和.18．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和19．（12分）橢圓的左、右焦點分別為，短軸的一個端點到的距離為，且橢圓過點過且不與兩坐標軸平行的直線交橢圓于兩點，點與點關于軸對稱.（1）求橢圓的方程（2）當直線的斜率為1時，求的面積；（3）若點，求證：三點共線.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別是，，離心率為，過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1（1）求橢圓C方程；（2）設點P在直線上，過點P的兩條直線分別交曲線C于A，B兩點和M，N兩點，且，求直線AB的斜率與直線MN的斜率之和21．（12分）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，點E，F(xiàn)分別在棱，上，且，（1）證明：點在平面BEF內(nèi)；（2）若，，，求直線與平面BEF所成角的正弦值22．（10分）在棱長為4的正方體中，點分別在線段上，點在線段延長線上，，，連接交線段于點.（1）求證平面；（2）求異面直線所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意和直線的點方向式方程即可得出結果.【詳解】因為直線過點，且方向向量為，由直線的點方向式方程，可得直線的方程為：，整理，得.故選：D2、D【解析】把要證的結論否定之后，即得所求的反設【詳解】由于“a，b不全為0”的否定為：“a，b全為0”，所以假設正確的是a，b全為0.故選：D3、C【解析】令，結合題意可得，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，進而得出，變形即可得出結果.【詳解】令，則，又，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調遞減，在單調遞增，所以，即，則.故選：C4、A【解析】根據(jù)平面，平面求解.【詳解】因為平面，平面，所以，又，，，所以,所以，故選：A5、B【解析】由，得點為三角形的重心，可得，即可求解.【詳解】如圖：設雙曲線的焦距為，與軸交于點，由題可知，則，由，得點為三角形的重心，可得，即，，即，解得.故選：B【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，三角形的重心的向量表示，屬于中檔題.6、B【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當空間直角坐標系，故選：B7、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數(shù)量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.8、A【解析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因為正實數(shù)、滿足，則，即，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，即的最小值為，因為不等式有解，則，即，即，解得或.故選：A.II卷9、B【解析】根據(jù)二項式展開式的通項，先求得x的指數(shù)為1時r的值，再求得a的值.【詳解】由題意得：二項式展開式的通項為：，令，則，故選：B10、A【解析】根據(jù)題意，轉化為等比數(shù)列，利用通項公式和求和公式進行求解.【詳解】設這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數(shù)列的前7項和為381，所以，解得，所以這個塔的最底層有盞燈.故選：A.11、B【解析】利用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，即可求出線段中點的橫坐標，即得到答案.【詳解】由已知可得拋物線的準線方程為，設點的坐標分別為和，由拋物線的定義得，即，線段中點的橫坐標為，故線段的中點到軸的距離是.故選：.12、B【解析】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進行排列，利用中位數(shù)的定義可得結果.【詳解】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進行排列，依次為：、、、、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】由等差數(shù)列通項公式直接可得.【詳解】.故答案為：1514、40【解析】結合系統(tǒng)抽樣的抽樣方法來確定最后抽取的號碼.【詳解】因為分段間隔為，故最后一個員工的號碼為.故答案為：15、【解析】由題意可知切線的斜率存在，所以設切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設切線方程為，將代入中得，，化簡整理得，令，化簡整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：16、（答案不唯一）【解析】根據(jù)橢圓的標準方程，以及分析即可【詳解】由題可知橢圓的形式應為（，且），可取故答案為：（答案不唯一）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列前n項和公式求出；（2）求得，利用裂項相消法即可求得.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，由，解得，所以，故數(shù)列的通項公式，；【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以.18、（1）（2）【解析】（1）由等比數(shù)列的通項公式計算基本量從而得出的通項公式；（2）由(1)可得，再由裂項相消法求和即可.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為q，所以有，，聯(lián)立兩式解得或又因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】∵，∴，∴19、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)已知求出即得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程求出弦長和三角形的高即得解；（3）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到韋達定理，再利用平面向量證明.【小問1詳解】解：由題得，所以橢圓方程為，因為橢圓過點所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題得,所以直線的方程為即，聯(lián)立直線和橢圓方程得，所以,點到直線的距離為.所以的面積為.【小問3詳解】解：設直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，設，所以，由題得，，所以，所以，所以,又有公共點,所以三點共線.20、（1）（2）0【解析】（1）由條件得和，再結合可求解；（2）設直線AB的方程為：，與橢圓聯(lián)立，得到，同理得，再根據(jù)題中的條件化簡整理可求解.【小問1詳解】因為橢圓的離心率為，所以，所以①又因為過且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，所以②，由①②可知，所以，，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】因為點P在直線上，所以設點，由題可知，直線AB的斜率與直線MN的斜率都存在所以直線AB的方程為：，即，直線MN的方程為：，即，設，，，，所以，消去y可得，，整理可得，且所以，，又因為，，所以，同理可得，又因為，所以，又因為，，，都是長度，所以，所以，整理可得，又因為，所以，所以直線AB的斜率與直線MN的斜率之和為021、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設、、、AC與BD的交點為O，由直四棱柱的性質構建空間直角坐標系，確定、的坐標可得，即可證結論.（2）由題設，求出、、的坐標，進而求得面BEF的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示求直線與平面BEF所成角的正弦值【小問1詳解】由題意，，設，，，設AC與BD的交點為O，以O為坐標原點，分別以BD，AC所在直線為x，y軸建立如下空