北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析

北京市順義區(qū)楊鎮(zhèn)一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線C：，則過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，弦長(zhǎng)為整數(shù)且不超過(guò)2022的直線的條數(shù)是（）A.4037 B.4044C.2019 D.20222．“x>1”是“x>0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知直線交圓于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則直線l被圓C截得線段的長(zhǎng)是（）A.3 B.2C. D.44．若兩個(gè)不同平面，的法向量分別為，，則（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確5．已知數(shù)列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（）A.2 B.C. D.36．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A.60 B.61C.62 D.637．已知直線過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，與C交于A，B兩點(diǎn)，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，若的面積為36，則等于（）A.36 B.24C.12 D.68．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.1 B.C.1或 D.9．若點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．在空間直角坐標(biāo)系中，方程所表示的圖形是（）A圓 B.橢圓C.雙曲線 D.球11．已知，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.3C.4 D.612．已知函數(shù)，.若存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則的最大值為_(kāi)______14．一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，其四個(gè)面涂有不同的顏色，拋擲這個(gè)正四面體一次，觀察它與地面接觸的顏色得到樣本空間{紅，黃，藍(lán)，綠}，設(shè)事件{紅，黃}，事件{紅，藍(lán)}，事件{黃，綠}，則下列判斷：①E與F是互斥事件；②E與F是獨(dú)立事件；③F與G是對(duì)立事件；④F與G是獨(dú)立事件．其中正確判斷的序號(hào)是______（請(qǐng)寫出所有正確判斷的序號(hào)）15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓.人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線方程為；②曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為；③曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離；④曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.16．已知是等差數(shù)列，，，設(shè)，數(shù)列前n項(xiàng)的和為，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖所示的四棱錐的底面是一個(gè)等腰梯形，，且，是△的中線，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)（1）證明：∥平面（2）若平面平面，且，求平面與平面夾角余弦值（3）在（2）條件下，求點(diǎn)D到平面的距離18．（12分）已知函數(shù)．若圖象上的點(diǎn)處的切線斜率為（1）求a，b的值；（2）的極值19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值20．（12分）已知函數(shù)，（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若焦距為4，點(diǎn)P是橢圓上與左、右頂點(diǎn)不重合的點(diǎn)，且的面積最大值.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.22．（10分）如圖，四棱錐中，，，，平面.（1）在線段上是否存在一點(diǎn)使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求四棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，先求出過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質(zhì)可得，過(guò)拋物線焦點(diǎn)中，長(zhǎng)度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，長(zhǎng)度最短的弦的長(zhǎng)為，由拋物線的對(duì)稱性可得，弦長(zhǎng)在5到2022之間的有共有條，故弦長(zhǎng)為整數(shù)且不超過(guò)2022的直線的條數(shù)是故選：A2、A【解析】根據(jù)充分、必要條件間的推出關(guān)系，判斷“x>1”與“x>0”的關(guān)系.【詳解】“x>1”，則“x>0”，反之不成立.∴“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.故選：A.3、B【解析】由題設(shè)知為圓的圓心且A、B在圓上，根據(jù)已知及向量數(shù)量積的定義求的大小，進(jìn)而判斷△的形狀，即可得直線l被圓C截得線段的長(zhǎng).【詳解】∵點(diǎn)為圓的圓心且A、B在圓上，又，∴，∴，又，∴，故△為等邊三角形，∴直線l被圓C截得線段的長(zhǎng)是2故選：B4、B【解析】由向量數(shù)量積為0可求.【詳解】∵，，∴，∴，∴，故選：B.5、C【解析】根據(jù)，（且），利用累加法求得，再根據(jù)恒成立求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，（且）所以，，，，因?yàn)楹愠闪?，所以，則M的最小值是，故選：C6、B【解析】討論奇偶性，應(yīng)用等差、等比前n項(xiàng)和公式對(duì)作分組求和即可.【詳解】當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，則，∴.故選：B.7、C【解析】設(shè)拋物線方程為，根據(jù)題意由求解.【詳解】設(shè)拋物線方程為：，因?yàn)橹本€過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，所以，又P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線AB的距離為p，所以，解得，所以，故選：C8、A【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡(jiǎn)求得，檢驗(yàn)后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當(dāng)時(shí)，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗(yàn)可知符合題意.故選：A9、C【解析】根據(jù)給定條件求出即可計(jì)算橢圓的離心率.【詳解】因點(diǎn)在橢圓，則，解得，而橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以橢圓離心率.故選：C10、D【解析】方程表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，從而可知圖形的形狀【詳解】由，得，表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，所以方程所表示的圖形是以原點(diǎn)為球心，2為半徑的球，故選：D11、B【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.詳解】因，且，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的值為3.故選：B12、B【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再研究函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榇嬖谌齻€(gè)零點(diǎn)，所以方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由得，解得，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、16【解析】根據(jù)橢圓定義可得：，再用基本不等式求解.【詳解】由橢圓的定義可得：，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為16故答案為：1614、②③【解析】由對(duì)立和互斥事件的定義判斷①③；由獨(dú)立事件的性質(zhì)判斷②④.【詳解】{紅}，則E與F不是互斥事件；且，則F與G是對(duì)立事件；，則E與F是獨(dú)立事件；，，則F與G不是獨(dú)立事件故答案為：②③15、①④【解析】設(shè),根據(jù)滿足,利用兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)整理，即可判斷①是否正確；由①可知，圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為,進(jìn)而可判斷②是否正確；設(shè)，根據(jù)題意可知，再根據(jù)在曲線上，可得，由此即可判斷③是否正確；由橢圓的的定義，可知在橢圓上，再根據(jù)橢圓與曲線的位置關(guān)系，即可判斷④是否正確.【詳解】設(shè),因?yàn)闈M足,所以,整理可得：,即,所以①正確；對(duì)于②中,由①可知，點(diǎn)在圓的外部,因?yàn)榈綀A心的距離,半徑為,所以圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為,而,所以②不正確；對(duì)于③中,假設(shè)存在，使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離,又，到直線的距離，所以，化簡(jiǎn)可得，又，所以，即，故假設(shè)不成立，故③不正確；對(duì)于④中,假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為，則在以點(diǎn)與點(diǎn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的橢圓上，即在橢圓上，易知橢圓與曲線有交點(diǎn)，故曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為；所以④正確.故答案為：①④.16、-3033【解析】先求得，進(jìn)而得到，再利用并項(xiàng)法求解.【詳解】解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，，所以，解得，所以，則，所以，，，，.故答案為：-3033三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定可得平面、平面，再根據(jù)面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)為，連接，證明出平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）利用等體積法，求D到平面的距離【小問(wèn)1詳解】連接、，由、分別是棱、的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面又，且，∴且，四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，則平面又，可得平面平面．又平面∴平面【小問(wèn)2詳解】由知：，又平面平面，平面平面，平面，∴平面取的中點(diǎn)為，連接、，由且，故四邊形為平行四邊形，故，則△為等邊三角形，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系易知，，所以、、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得設(shè)平面的法向量為，則，令，得設(shè)平面與平面所成的銳二面角為．則，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為【小問(wèn)3詳解】由（2）知：平面，則是三棱錐的高且，四邊形為平行四邊形，又，即為菱形，∴，而，則，且，∴，故.又，由上易知：△為等腰三角形且，∴，則D到平面的距離.18、（1）（2）極大值為，極小值為【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)圖象上的點(diǎn)處的切線斜率為，列出方程組，解之即可得解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：，，；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，令，得或，，－1（－1，3）3＋0－0＋的極大值為，極小值為.19、（1）（2）【解析】（1）由可求得的值，由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，解得，所以，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的，.【小問(wèn)2詳解】解：，所以，當(dāng)或時(shí)，取得最小值，且最小值為.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，，求出切線方程即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)函數(shù)求出的最大值，求出的范圍即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，則切線的斜率為，又因?yàn)?，則切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，令得，列表得x001↘極小值↗所以當(dāng)時(shí)，的最大值為由題意知，故，解之得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)焦距求出，利用面積最大值，得到求出，從而得到，求出橢圓方程；（2）分直線斜率存在和斜率不存在，結(jié)合題干條件得到，進(jìn)而求出直線方程.【小問(wèn)1詳解】∵∴，又的面積最大值，則，所以，從而，，故橢圓的方程為：；【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，代入③整理得，設(shè)、，則，所以，點(diǎn)到直線的距離因?yàn)椋?，又由，得，所以?而，，即，解得：，此時(shí)；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，直線交橢圓于點(diǎn)、.也有，經(jīng)檢驗(yàn)，上述直線均滿足，綜上：直線的方程為或.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中，有關(guān)向量的題目，要結(jié)合條件選擇不同的方法，一般思路有轉(zhuǎn)化為三角形面積，或者線段的比，或者由向量得到共線等.22、（1）存在，為的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析；