2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE8.2一元線性回來模型及其應(yīng)用最新課標(biāo)(1）結(jié)合詳細(xì)實(shí)例，了解一元線性回來模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，駕馭一元線性回來模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)運(yùn)用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件．(2）針對(duì)實(shí)際問題，會(huì)用一元線性回來模型進(jìn)行預(yù)料．[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一一元線性回來模型我們稱eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e,E（e）＝0，D（e）＝σ2))為Y關(guān)于x的一元線性回來模型，其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或說明變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為________參數(shù)，b稱為________參數(shù)；e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差．要點(diǎn)二一元線性回來模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)1.閱歷回來方程：將eq\o(y,\s\up9(^))＝________稱為Y關(guān)于x的閱歷回來方程，也稱閱歷回來函數(shù)或閱歷回來公式，其圖形稱為________________．這種求閱歷回來方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up9(^))，eq\o(a,\s\up9(^))叫做b，a的最小二乘估計(jì)，其中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up9(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up9(－))）（yi－\o(y,\s\up9(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up9(－))）2)，,\o(a,\s\up9(^))＝\o(y,\s\up9(－))－\o(b,\s\up9(^))\o(x,\s\up9(－))．))2.殘差：對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過閱歷回來方程得到的eq\o(y,\s\up9(^))稱為預(yù)料值，觀測(cè)值減去預(yù)料值稱為殘差.3.用確定系數(shù)R2確定模型的擬合效果：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up9(^))i）2,\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up9(－))）2).R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差．[基礎(chǔ)自測(cè)]1.推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）(1）閱歷回來方程適用于一切樣本和總體．(）(2）閱歷回來方程一般都有局限性．(）(3）樣本取值的范圍會(huì)影響閱歷回來方程的適用范圍．(）(4）閱歷回來方程得到的預(yù)料值是預(yù)料變量的精確值．(）2.假如記錄了x，y的幾組數(shù)據(jù)分別為(0，1），(1，3），(2，5），(3，7），那么y關(guān)于x的閱歷回來直線必過點(diǎn)(）A．(2，2）B．(1.5，2）C．(1，2）D．(1.5，4）3.已知閱歷回來方程eq\o(y,\s\up9(^))＝2x＋1，而試驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)是(2，4.9），(3，7.1），(4，9.1），則殘差平方和是(）A．0.01B．0.02C．0.03D．0.044.已知變量x，y線性相關(guān)，由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)eq\o(x,\s\up9(－))＝4，eq\o(y,\s\up9(－))＝5，閱歷回來方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))中的系數(shù)eq\o(b,\s\up9(^))，eq\o(a,\s\up9(^))滿意eq\o(b,\s\up9(^))＋eq\o(a,\s\up9(^))＝4，則閱歷回來方程為________．題型一閱歷回來方程的求解及應(yīng)用——微點(diǎn)探究微點(diǎn)1公式法求閱歷回來方程例1某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出x(單位：百萬元）與銷售額y(單位：百萬元）之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x/百萬元24568y/百萬元3040605070(1）畫出散點(diǎn)圖；(2）求閱歷回來方程；(3）試預(yù)料廣告費(fèi)用支出為10百萬元時(shí)，銷售額是多少．(參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝145，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380）eq\a\vs4\al(狀元隨筆)留意閱歷回來方程中的一次項(xiàng)系數(shù)為eq\o(b,\s\up9(^))，常數(shù)項(xiàng)為eq\o(a,\s\up9(^))，這與一次函數(shù)的表示習(xí)慣不同．微點(diǎn)2利用樣本點(diǎn)中心(eq\o(x,\s\up9(－))，eq\o(y,\s\up9(－))）求閱歷回來方程例2某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)x(元）88.28.48.68.89銷量y(件）908483807568由表中的數(shù)據(jù)得到的閱歷回來方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))，其中eq\o(b,\s\up9(^))＝－20，預(yù)料當(dāng)產(chǎn)品單價(jià)定為9.5元時(shí)，銷量約為________件．eq\a\vs4\al(狀元隨筆)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up9(－))，eq\o(y,\s\up9(－))）在閱歷回來直線上．方法歸納求閱歷回來方程的步驟(1）確定探討對(duì)象，明確哪個(gè)變量是說明變量，哪個(gè)變量是響應(yīng)變量；(2）畫出說明變量和響應(yīng)變量的散點(diǎn)圖，視察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性相關(guān)關(guān)系等）；(3）由閱歷確定回來方程的類型(如我們視察到數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系，則選用閱歷回來方程）；(4）用最小二乘法求閱歷回來方程中的參數(shù)；(5）寫出閱歷回來方程．跟蹤訓(xùn)練1某個(gè)體服裝店經(jīng)營(yíng)某種服裝在某周內(nèi)獲得的純利潤(rùn)y(元）與該周每天銷售這種服裝的件數(shù)x之間有如下一組數(shù)據(jù)：x3456789y66697381899091已知eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝280，eq\i\su(i＝1,7,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝45309，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝3487.(1）求eq\o(x,\s\up9(－))，eq\o(y,\s\up9(－))；(2）求純利潤(rùn)y與每天銷售件數(shù)x的閱歷回來方程；(3）估計(jì)每天銷售10件這種服裝時(shí)，純利潤(rùn)是多少元？題型二閱歷回來分析——師生共研例3已知某種商品的單價(jià)x(單位：元）與需求量y(單位：件）之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求y關(guān)于x的閱歷回來方程，并說明回來模型擬合效果的好壞．方法歸納R2越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好．在線性回來模型中，R2表示說明變量對(duì)于響應(yīng)變量改變的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1，回來的效果越好(因?yàn)镽2越接近于1，說明變量和響應(yīng)變量的相關(guān)性越強(qiáng)）.若對(duì)某組數(shù)據(jù)可以實(shí)行幾種不同的回來方程進(jìn)行回來分析，則可以通過比較幾個(gè)R2，選擇R2大的模型作為這組數(shù)據(jù)的回來模型．跟蹤訓(xùn)練2某公司為提高市場(chǎng)銷售業(yè)績(jī)，促進(jìn)某產(chǎn)品的銷售，隨機(jī)調(diào)查了該產(chǎn)品的月銷售單價(jià)x(單位：元/件）及相應(yīng)月銷量y(單位：萬件），對(duì)近5個(gè)月的月銷售單價(jià)xi和月銷售量yi(i＝1，2，3，4，5）的數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如表數(shù)據(jù)：月銷售單價(jià)xi(元/件）99.51010.511月銷售量yi(萬件）1110865(1）建立y關(guān)于x的閱歷回來方程；(2）該公司開展促銷活動(dòng)，當(dāng)該產(chǎn)品月銷售單價(jià)為7元/件時(shí)，其月銷售量達(dá)到18萬件，若由回來直線方程得到的預(yù)料數(shù)據(jù)與此次促銷活動(dòng)的實(shí)際數(shù)據(jù)之差的肯定值不超過0.5萬件，則認(rèn)為所得到的閱歷回來方程是志向的，試問：(1）中得到的閱歷回來方程是否志向？(3）依據(jù)(1）的結(jié)果，若該產(chǎn)品成本是5元/件，月銷售單價(jià)x為何值時(shí)(銷售單價(jià)不超過11元/件），公司月利潤(rùn)的預(yù)料值最大？參考公式：閱歷回來方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))，其中eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(x,\s\up9(－))2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－)).參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝392，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝502.5.題型三非線性閱歷回來方程的求解——師生共研例4為了探討某種細(xì)菌繁殖的個(gè)數(shù)y隨時(shí)間x改變的狀況，收集如表數(shù)據(jù)：天數(shù)x(天）123456繁殖個(gè)數(shù)y(個(gè)）612254995190(1）用天數(shù)作說明變量，繁殖個(gè)數(shù)作響應(yīng)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖．(2）視察散點(diǎn)圖是否可用曲線y＝c1ec2x擬合，描述說明變量與響應(yīng)變量之間的關(guān)系．方法歸納求非線性閱歷回來方程的步驟(1）確定變量，作出散點(diǎn)圖．(2）依據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．(3）變量置換，通過變量置換把非線性閱歷回來問題轉(zhuǎn)化為閱歷回來問題，并求出閱歷回來方程．(4）分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來推斷擬合效果．(5）依據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性閱歷回來方程．跟蹤訓(xùn)練3電容器充電后，電壓達(dá)到100V，然后起先放電．由閱歷知道，此后電壓U隨時(shí)間t改變的規(guī)律用公式U＝Aebt(b<0）表示．現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t(s）時(shí)的電壓U(V）如下所示：t012345678910U100755540302015101055試求電壓U對(duì)時(shí)間t的回來方程．易錯(cuò)辨析缺失基本解題步驟致錯(cuò)例5在一次抽樣檢查中，抽得5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)據(jù)如下表：x0.250.5124y1612521試建立y關(guān)于x的回來方程．解析：作出散點(diǎn)圖，如圖(1）所示，由散點(diǎn)圖可以看出，圖象近似反比例函數(shù)在第一象限的部分，因此令u＝eq\f(1,x)，由已知數(shù)據(jù)，可得變換后的樣本數(shù)據(jù)：u4210.50.25y1612521作出散點(diǎn)圖，如圖(2）所示，可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的旁邊，因此可以用閱歷回來方程擬合．計(jì)算得eq\o(u,\s\up9(－))＝1.55，eq\o(y,\s\up9(－))＝7.2，eq\i\su(i＝1,5,u)iyi＝94.25，eq\i\su(i＝1,5,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝21.3125，則eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,u)iyi－5\o(u,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,5,u)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(u,\s\up9(－))2)≈4.13，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(u,\s\up9(－))≈0.8.從而得到y(tǒng)關(guān)于u的回來方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝4.13u＋0.8，則y關(guān)于x的回來方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\f(4.13,x)＋0.8.【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)緣由解決此題易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：依據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算得eq\o(x,\s\up9(－))＝1.55，eq\o(y,\s\up9(－))＝7.2，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝23，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝21.3125，代入公式計(jì)算得eq\o(b,\s\up9(^))≈－3.53，eq\o(a,\s\up9(^))≈12.67，從而得到y(tǒng)關(guān)于x的回來方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝－3.53x＋12.67.事實(shí)上，由散點(diǎn)圖可知樣本點(diǎn)并沒有呈線狀分布，兩個(gè)變量不具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．錯(cuò)解是由于沒有依據(jù)建立回來模型的基本步驟解題，忽視了畫散點(diǎn)圖，沒有視察數(shù)據(jù)之間的關(guān)系造成錯(cuò)誤．(2）一些非線性回來問題可通過中間量變換，轉(zhuǎn)化為閱歷回來問題求解．糾錯(cuò)心得(1）解決這類問題必需嚴(yán)格依據(jù)建立回來模型的基本步驟，不能主觀臆斷，必需按部就班，依照步驟解題．eq\x(溫馨提示：請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（十五）)

8．2一元線性回來模型及其應(yīng)用新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一截距斜率要點(diǎn)二1.eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))閱歷回來直線[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：因?yàn)閑q\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(0＋1＋2＋3,4)＝1.5，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(1＋3＋5＋7,4)＝4，所以樣本點(diǎn)的中心為(1.5，4)，而閱歷直線過樣本點(diǎn)的中心．故選D.答案：D3．解析：因?yàn)闅埐頴q\o(e,\s\up9(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up9(^))i，所以殘差的平方和為(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03.故選C.答案：C4．解析：閱歷回來方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))過樣本中心點(diǎn)(4，5)，所以4eq\o(b,\s\up9(^))＋eq\o(a,\s\up9(^))＝5；又eq\o(a,\s\up9(^))＋eq\o(b,\s\up9(^))＝4，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4\o(b,\s\up9(^))＋\o(a,\s\up9(^))＝5，,\o(a,\s\up9(^))＋\o(b,\s\up9(^))＝4，))得eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(1,3)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\f(11,3)，所以閱歷回來方程為：eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\f(11,3).答案：eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\f(11,3)題型探究·課堂解透題型一例1解析：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(25,5)＝5，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(250,5)＝50.∴eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(x,\s\up9(－))2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－))＝50－6.5×5＝17.5，所以所求的閱歷回來方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝6.5x＋17.5.(3)依據(jù)(2)中求得的閱歷回來方程，當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up9(^))＝6.5×10＋17.5＝82.5，即廣告費(fèi)用支出為10百萬元時(shí)，銷售額大約為82.5百萬元．例2解析：因?yàn)閑q\o(b,\s\up9(^))＝－20，所以eq\o(y,\s\up9(^))＝－20x＋eq\o(a,\s\up9(^)).eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9,6)＝8.5，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(90＋84＋83＋80＋75＋68,6)＝80，將(8.5，80)代入eq\o(y,\s\up9(^))＝－20x＋eq\o(a,\s\up9(^))，得eq\o(a,\s\up9(^))＝250，所以閱歷回來方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝－20x＋250，當(dāng)x＝9.5時(shí)，eq\o(y,\s\up9(^))＝－20×9.5＋250＝60.所以當(dāng)產(chǎn)品單價(jià)定為9.5元時(shí)，銷量約為60件．答案：60跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(1,7)(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(1,7)(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.(2)設(shè)閱歷回來方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))，則eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－7\o(x,\s\up9(－))2)＝eq\f(3487－7×6×79.86,280－7×62)≈4.75eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－))＝79.86－4.75×6＝51.36.∴所求閱歷回來方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝4.75x＋51.36.(3)當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up9(^))＝98.86，估計(jì)每天銷售10件這種服裝時(shí)，可獲純利潤(rùn)為98.86元．題型二例3解析：計(jì)算可得eq\o(x,\s\up9(－))＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\o(y,\s\up9(－))＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(x,\s\up9(－))2)＝eq\f(620－5×18×7.4,1660－5×182)＝－1.15，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(x,\s\up9(－))＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求閱歷回來方程是eq\o(y,\s\up9(^))＝－1.15x＋28.1.方法一列出殘差表：y1210753eq\o(y,\s\up9(^))129.77.45.12.8y－eq\o(y,\s\up9(^))00.3－0.4－0.10.2所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up9(^))i)2＝0.3，又eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up9(－)))2＝53.2，所以R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)（yi－\o(y,\s\up9(^))i）2,\i\su(i＝1,5,)（yi－\o(y,\s\up9(－))）2)≈0.994.故回來模型的擬合效果很好．方法二eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝122＋102＋72＋52＋32＝327，則r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up9(－))\o(y,\s\up9(－)),\r(（\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(x,\s\up9(－))2）（\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(y,\s\up9(－))2）))＝