二輪重點(diǎn)講練 數(shù)學(xué)（新高考版）作業(yè)15

專題訓(xùn)練作業(yè)（十五）

一、單項選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）

I.己知等差數(shù)列｛aQ滿足：ai=1,34+ai6=4,則2a1X2a2X…X2al9=（）

A.238B.219

C.216D.276

答案A

解析???等差數(shù)列｛aj滿足:ai=l,法+「16=4,

.19（ai+ai9）19（a4+ai6）

..a（+a2+…+ai9=—38,

38

；.2aiX2a2X…X2al9=2ai+a2T---Fai9=2,故選A.

評說本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的求和公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2020?大教育全國名校聯(lián)考）設(shè)等差數(shù)列同｝的前n項和為Sn，且S8=0,a3=-3,則S9

=（）

A.9B.12

C.-15D.-18

答案A

分析由S8=0,a3=-3可得ai,d以及a%而S9=S8+ag,代入即可得到答案.

ai+2d=-3,

[ai=—7,

解析設(shè)公差為d,則，8X7解得I,-a9=ai+8d=9,所以S9=Ss+a9=

8ai+2"d=0(d=2,

9.故選A.

3.（2020?鄒城一中模擬）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比

西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如圖是由“楊輝三角”拓展而

成的三角形數(shù)陣，記a”為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成的數(shù)列

｛aj的第n項，則aw的值為（）

A.5049B.5050

C.5051D.5101

答案B

分析觀察數(shù)列的前4項，可得an=2-（1H）?,代入即可得解.

解析由題意得a1=l,a2=3=l+2,a3=6=l+2+3,34=10=1+2+3+4,…,

觀察規(guī)律可得an=l+2+3+…+n=ILL!1^

”,100X1013

所以aioo=---3---=5050.故選B.

4.(2020?湖北省七市聯(lián)考)已知等差數(shù)列｛a0｝的首項ai=l,公差為d,前n項和為Sn.若S”

WS8恒成立，則公差d的取值范圍是()

A.[f-1]B.[f+8)

C.(一8,-1]D[T-1)

答案A

解析根據(jù)等差數(shù)列｛4,｝的前n項和Sn滿足SnWS8恒成立，可知出》0且a9W0,

所以l+7d》0且l+8dW0,解得一.WdW一(故選A.

/O

5.(2020?太原五中模擬)已知公差不為0的等差數(shù)列｛a0｝的前n項和為Sn，且滿足a2，as，

ag成等比數(shù)列，則親=()

A,B..

3-11

CTTD-23

答案C

解析設(shè)｛an｝的公差為d,且dKO,

由a2,as,ag成等比數(shù)列，可得a$2=a2a9,

即(ai+4d)2=(ai+d)(ai+8d),

整理可得ai=8d,

7

TX5(ai+a)

5a3_8d+2d

^2§5=2-----------作故選C.

5s7.0=8d+3d

jX7(ai+a7)

<4>n-1<2An-1

6.已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an=GJ—(j),則數(shù)列｛a,,｝()

A.有最大項，沒有最小項

B.有最小項，沒有最大項

C.既有最大項又有最小項

D.既沒有最大項也沒有最小項

答案C

n-112

解析由題意得an=.(I)-r1

/2\n-124

令>0,貝！］t=l,1，???

2

an=t-t.

???y=t2—t的對稱軸為t/,在(一8,，上單調(diào)遞減，在&+8)上單調(diào)遞增，

2

???當(dāng)t=Q時，an取最小值；當(dāng)t=l時，an取最大值，

，｛an｝既有最大項又有最小項.故選C.

7.(2020?龍巖市畢業(yè)班質(zhì)檢)已知數(shù)列｛aj滿足an+1=an+ani(n>2),又｛aj的前項和為Sn,

若S6=52,則a5=()

A.13B.15

C.17D.31

答案A

解析Van+i=an+an-i(n^2),

/.Se=ai+a2+a3+a4+a5+a6=a3+a3+a4+a5+a5+a4=2(a3+a4)+2a5=4a5=52,

5?

.??a5=7=13.故選A.

8.(2020?廈門市質(zhì)量檢查)記數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，Sn=n2.設(shè)bn=」一，則數(shù)列｛bn｝的

anan+i

前'10項和為()

A也B11

A-21

C.導(dǎo)D.^

答案A

2

解析:數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,Sn=n,

—22

當(dāng)n22時，an=SnSn-i=n—(n—l)=2n—1,

又ai=Si=l滿足an=2n—1,所以an=2n—1,n￡N*,

因此bn=^i；=(2n-l)'(2n+l)^n-l-2n+0'

因此數(shù)列｛bj的前10項和為bi+b2H-----Fbio=1^l—++-

當(dāng)故選A-

9.(2020?揭陽市摸底)已知數(shù)列｛an｝i兩足Iog2an=n+log23,則22+34+或+…+a2o=()

A.3X(2"-4)B.3X(2l2-4)

4"-4

C-5D.4"-4

答案D

解析由Iog2an=n+k>g23,可得an=2n+k>g23=3X2n,

故可得｛a2n｝是首項為12,公比為4的等比數(shù)列,

a2+a4+a6H---Fazo為數(shù)列｛a?n｝的前10項和，

12（1-410）.........

則Sio=----「---=4”—4.故選D.

1—4

10.（2020?江西臨川一中期中）已知數(shù)列;，2123I23nni.皿公

ryy5…,Fn>/…，7則此數(shù)列

的第43項為（）

45

-B-

99

A.c

67

--

9D.9

答案D

解析由題意可知分母為1的項有1個，分母為2的項有2個，分母為3的項有3個，分母

為4的項有4個，分母為5的項有5個，分母為6的項有6個，分母為7的項有7個，分母

為8的項有8個，分母為9的項有9個.1+2+3+4+5+6+7+8=36,1+2+3+4+5+6

7

+7+8+9=45,所以第43項的分母為9,是分母為9的項中的第7個數(shù)，所以第43項為

故選D.

11.（2020?湖南衡陽八中模擬）元代數(shù)學(xué)家朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中提及：今有銀一秤一斤十

兩，令甲、乙、丙從上作折半差分之.其意思是：現(xiàn)有銀一秤一斤十兩，將銀分給甲、乙、

丙三人，甲、乙、丙三人每一個人所得是前一個人所得的一半.若銀的數(shù)量不變，按此法將

銀依次分給5個人，則得銀最少的3個人一共得銀（規(guī)定：1秤=10斤，1斤=10兩）（）

A卷兩B器兩

嗒兩D*兩

答案C

解析一秤一斤十兩共120兩，將這5人所得銀的數(shù)量由小到大排列，記為數(shù)列｛an｝（n=l,

q（1—G5）a（1-05）

2,3,4,5）,則｛20｝是公比4=2的等比數(shù)列，于是得前5項之和$5=]_；=[二2一

=120,解得小=詈120.

故得銀最少的3個人一共得銀的數(shù)量為ai+a2+a3=^X（l+2+22）=等（兩）.故選C.

12.（2020?山東泰安市第五次模擬）已知函數(shù)￡篁）=*3+坨（次方+*）,若等差數(shù)列｛aj的前

n項和為Sn，且f（a|—1）=-10,f（a2020—1）=10，則$2020=（）

A.-4040B.0

C.2020D.4040

答案c

解析???f(X)=x3+lgNx2+l+x)定義域為R,關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(—x)=(—x)3+lg(，^n

X3—lg(-\/x2+l+X)=—f(x),，f(x)為奇函數(shù).

由f(ai-1)=—f(a202?！猯)=f(l—@2020),得a1一1=1—@2020,所以a1+@2020=2,

為等差數(shù)列，...S202o=2弛駕也邈-=2020.故選C.

二、多項選擇題（在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求）

13.已知數(shù)列｛a,J是等差數(shù)列，前n項和為Sn,滿足ai+5a3=S8,則下列結(jié)論正確的是（）

A.aio—0B.Sio最小

C.S7=Si2D.S2o=O

答案AC

解析設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,因為山+5a3=S8,所以a1+5ai+10d=8ai+28d,ai=-9d,

n（0_］）d

所以an=ai+（n—l）d=（n—10）d,所以ai（）=0,故A正確；Sn=nai+-------z-------=—9nd+

n（n-1）d=1（n2_19n））所以S7=sn,故C正確；顯然B與D不一定正確.故選AC.

14.（2020?青島市第三次模擬）在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中的一朵絢麗的

奇葩.《張丘建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元5世紀(jì).書

中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”

其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多

織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多

織多少尺布？”已知1匹=4丈，1丈=10尺，若這一個月有30天，記該女子這一個月中

的第n天所織布的尺數(shù)為an，bn=2an,對于數(shù)列｛aj,｛%｝,下列選項中正確的為（）

A.bio=8b5B.｛bn｝是等比數(shù)列

廠,_.a+a+a209

C-a,b3O=1in°5D.泊3而不5￡7=夜

答案BD

解析由題意，可知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，且ai=5,設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,則30ai+亞產(chǎn)

16.16n+129

=390,解付d=K，an=ai+（n—l）d=-----------.

?；bn=2an,.?.牛i=Ti=2an+i-an=2d（非零常數(shù)）,則數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列,B正確；

OnZdn

?.?5d=5x1|=翳X3,^=（2d）5=25d#:23,Abio^Sbs,A錯誤;a3o=ai+29d=5+16=21,

.".aib30=5X22I>105,C錯誤；a4=ai+3d=5+3x1^=-^,a5=a1+4d=5+4乂共=孩]

.a[+as+a73a5as209

;D正確.故選BD.

''32+34+353ai34193

三、填空題

15.(2020?深圳市第二次調(diào)研)《塵劫記》是在元代的《算學(xué)啟蒙》和明代的《算法統(tǒng)宗》的

基礎(chǔ)上編撰的一部古典數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個這樣的問題:假設(shè)每對老鼠每月生子一次，

每月生12只，且雌雄各半.1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2個月

后，每對老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此類推，假設(shè)n個月后共有老鼠a。只，

則an=.

答案2義7“

解析由題意可得1個月后的老鼠的只數(shù)ai=(l+6)X2=2X7,

2

2個月后老鼠的只數(shù)a2=2(l+6)X7=2X7,

3個月后老鼠的只數(shù)a3=2(l+6)X72=2X73,…,

n個月后老鼠的只數(shù)a_=2X7n.

113

16.(2020?東莞市光明中學(xué)第一次月考)在數(shù)列｛aj中，ai=?;-=,、，n￡N\

Jdn+1dnvHnrJ)

且bn=IZi—.記Pn=b|Xb2義…Xbn，S=bl+b+-+b,則3n+lPn+Sn=________.

3十dnn2n

答案3

13|

解析由于=/—、，bn—一,

an+ian(an+3)3+an

所以b產(chǎn)二P，尸b|Xb2X“-Xb產(chǎn)福?赤福?亞］=雙7

又_L=_3_-b=1--L

n

an+ian(an+3)anan+3'anan+i*

所以Sn=b|+b2+…+bn=(U+(U+…+(1±)=3一土所以+%=

+l?7^+3---3.

n

3an+ianii

17.(2020?湛江市模擬)公比為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，若a?=2,S4-5S2=0,

則S6—S3的值為.

答案56

解析Va2=2,S4-5S2=0,

<iiq—2,_

f［a［一1)

Iai(1—q4)5a?(1—q2)引

—；---------=-------；-----------，lq=2,

I1—q1—q

345

.,.S6-S3=a4+a5+a6=2+2+2=56.

18.（2020?天一大聯(lián)考）已知數(shù)列｛aj的前n項和為S”,且滿足a2=1,Sn+2S「2=3SnT（n23）,

則a5=.

答案8

解析由Sn+2sL2=3SnT,得S。一S「i=2（S『i-2）.所以an=2an-i,即送「=2（n23）,

an-i

所以a5=a2X2，=1X2，=8.

19.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺.莞生一日，

長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第1天長高3

尺，莞草第1天長高1尺.以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2

倍，問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第天時，蒲

草和莞草的高度相同（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：1g3處0.4771,lg2

口.3010）.

答案3

解析由題意得，蒲草每天長高的長度組成首項為n=3,公比為號的等比數(shù)列｛a",設(shè)其前

n項和為A”；莞草每天長高的長度組成首項為bi=l,公比為2的等比數(shù)列｛bj,設(shè)其前n

3（1一環(huán)）?n—13（1一m）2n—16

項和為Bn.則An=-----j—,B=~~~令----j-=-~化簡得2“+而=7（n￡N）解

?1n2—1.12—IZ

―2

得2n=6,所以1!=震=1+震心3,即第3天時蒲草和荒草高度相同.

20.圖（1）是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽，會徽的主體圖案的示意圖（如圖（2）所示）是由一

連串直角三角形組成的，其中OA|=A|A2=A2A3=i=A7A8=1,若把圖（2）中的直角三角形

繼續(xù)畫下去，記OA|,OA2,OA3,…，OAn的長度構(gòu)成數(shù)列｛aQ,則a2OI9=.

答案72019

解析方法一：根據(jù)圖(2)中OA|=A1A2=A2A3=3=A7A8=1,結(jié)合△OA1A2,AiOA2A3,…,

22

△OA7A8都是直角三角形，可得a2=-\/ai+AiA2=y/2,a3=,tu=

、a3?+A3A4?=5,…，由此可得a2oi9=N2019.

方法二:根據(jù)圖⑵中OA|=A]A2=A2A3=3=A7A8=1,結(jié)合△OA1A2,AOA2A3,…，△

OA7A8都是直角三角形,可得an2=an-i2+l(n>l),所以數(shù)列｛a?2｝是以1為首項，1為公差的

等差數(shù)列，所以a/=l+(n-l)Xl=n,所以an=g.所以a2oi9=Y2019.

I備選題I

1.已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且ai=4，a2a6=8(04—2),則S2oi8=()

1小2017

A.2237gB.

1<n2018

C.22018gD.1一(力

答案A

解析方法一：由等比數(shù)列的性質(zhì)及3236=8(34—2),得a42=8a4—16,解得期=4.又初=53,

5(1-22018)

故q=2,所以S2018=?2=22°”—2.故選A.

方法二：觀察四個選項，先一般比，再特殊化，可得答案.對A有Sn=2n「一當(dāng)取n=l,

113

得ai=Si=g,滿足題意；對C有Sn=2n—5，取n=l,得ai=Si=,不滿足題意；注意到

8(a4—2)=a2a6=d＞。，得加＞2.又ai=3＞。，所以q＞0,從而S2oi8＞2,于是排除B、D.故選

A.

2.(2020?皖南八校第二次聯(lián)考)已知｛a/為等差數(shù)列，若a3+6=2a5，則3a6+aio=()

A.18B.24

C.30D.32

答案B

解析方法一：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,由a3+6=2a5,得ai+2d+6=2(ai+4d),整理

得ai+6d=6,所以3a6+aio=3(a]+5d)+(a[+9d)=4(ai+6d)=4X6=24.故選B.

方法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)知a3+a7=2a5,結(jié)合條件a3+6=2a5,得a?=6,則3a6+a1o=2a6

+(a6+a1o)=2a6+2a8=4a7=24.

3.(2020?西北三省期末聯(lián)考)已知Sn為等差數(shù)列｛aQ的前n項和,已知a3+Ss=18,a5=7.

若a3，a6，am成等比數(shù)列，則m=()

A.15B.17

C.19D.21

答案A

解析設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知S54ai+a5)=5a3,所以as+

fa=ai+2d=3,fai=-1,

Ss=6a3=18,解得a?=3.又a$=7,聯(lián)立方程組1j3解得彳所以an=2n

la5=ai+4d=7,[d=2,

—3.又因為a3,a6,am成等比數(shù)列，所以a3?am=a62,即3X(2m—3)=9?,解得m=15.

4.(2020?東北三校聯(lián)考)已知正項等比數(shù)歹！|｛an｝,若向量。=(8,a2),&=(a8,2),a//b,則

log2al+log2a2H-----Flog2a9=()

A.12B.8+log25

C.5D.18

答案D

分析本題先根據(jù)平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得a2a8=16,再根據(jù)等比中項的知識，可計算出as

=4,在求和時根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則及等比中項的性質(zhì)可得到正確選項.

解析由題意，向量Q=(8,a?),6=(a8,2),a//b,

則8X2-a2a8=0,即a2a8=16,

根據(jù)等比中項的知識，可得a2a8=a5?=16,

'.,a5>0,故a$=4,

二log2a1+log2a2H-----Flog2a9

=log2(a〕a2…a9)

=Iog21(aia9)(a2a8)(a3a7)(a4a6>as]

=log2a59

=91og24

=18.故選D.

評說本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，以及數(shù)列與向量的綜合問題.考查了轉(zhuǎn)化與化歸

思想，平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，對數(shù)的計算，邏輯思維能力和教學(xué)運(yùn)算能力.本題屬中檔題.

2

5.(2020?蘭州第二中學(xué)第五次月考)已知正項數(shù)列｛aj的前n項和為S”且ai=l,an+i=2Sn

+n+l(n￡N*),設(shè)數(shù)歹ijR-[的前n項和為T”，則Tn的取值范圍為()

[dnan+1J

A.(0,IB.(0,1)

C.Q,1)D,[1.1)

答案D

分析據(jù)題意求出an,再由裂項相消法求出Tn,可得出結(jié)果.

解析因為an+/=2Sn+n+1,

2

所以an=2Sn-i+n(n^2),

22

因此an+12—an2=2(Sn—Sn-])+l=2an+l,即an+i=(an+1),

又｛an｝為正項數(shù)列，所以an+i=an+l,

故數(shù)列｛an｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以an=n(n￡N*),

因此-----=~/_L1\"=7-

anan+in(n+1)nn+1

所以Tn=(T)+Q-￡)+.??+《-擊)=1—溫,

因為ndN*,所以gwTsl.故選D.

評說本題主要考查等差數(shù)列的通項以及裂項相消法求和，屬于常考題型.

6.(2020.河北省正中實臉中學(xué)模擬)科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線

可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到：任畫一條線段，然后把它三等分，以中間一段為邊向外作

正三角形，并把中間一段去掉，這樣，原來的一條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線，稱

為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每條小線段重復(fù)上述步驟，得到16條更小的線段構(gòu)成的

折線，稱為“二次構(gòu)造”，…，如此進(jìn)行“n次構(gòu)造”，就可以得到一條科赫曲線.若要在

構(gòu)造過程中使得到的折線的長度達(dá)到初始線段的1000倍，則至少需要構(gòu)造的次數(shù)是(取1g3

=?0.4771,1g2=0.3010)()

答案D

分析由折線長度變化規(guī)律可知“n次構(gòu)造”后的折線長度為由此得到@">1000,

3

利用運(yùn)算法則可知由此計算得到結(jié)果.

2Xlg2Tg3

4

解析記初始線段長度為a,則“一次構(gòu)造”后的折線長度為成，“二次構(gòu)造”后的折線長

度為gfa,以此類推，“n次構(gòu)造”后的折線長度為售)1,

若得到的折線長度為初始線段長度的1000倍，則(步與1000a,即罰力000,

.,.IgQ)=nlg1=n(lg4-lg3)=n(21g2-lg3)>lgl000=3,

3

即nJxnwn產(chǎn)24.02,???至少需要25次構(gòu)造?故選D,

2X().3。1()—0.4771

評說本題考查數(shù)列新定義運(yùn)算的問題，涉及對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造原

則得到每次構(gòu)造后所得折線長度成等比數(shù)列的特點(diǎn).

7.(2020?漳州市第三次質(zhì)檢)等比數(shù)列⑶｝的前n項和為Sn，且4川,2a2,a3成等差數(shù)列,

若ai=l,則S4=()

A.7B.8

C.15D.16

答案C

解析因為數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，且4ai,2a2,a3成等差數(shù)列，所以4a2=4a1+a3,即4a1q

=4ai+ad，因為aiWO,所以4q=4+q2,解得q=2,根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式得S4=

ai(1-q4)1-24

=15.故選C.

8.（2020.廣西柳州市線上月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A”，B。是圓x2+y2=n?上兩

rr2

個動點(diǎn)，且滿足6X（1?6§n=-Z（nWN*）,設(shè)An，Bn到直線x+小y+n（n+1）=0的距離之

和的最大值為a”，若數(shù)列的前n項和Sn<m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）

C.(J,+8)D.|,+8)

答案B

22

解析由(5Xn?(5§n=—，，得mmcos/AnOBn=一5，所以NAQBn=120°,設(shè)線段AnBn

2

的中點(diǎn)為Cn,則|OCn|=2，所以Cn在圓x?+y2=K上,An,Bn到直線x+小y+n(n+1)=0

的距離之和等于點(diǎn)Cn到該直線的距離的兩倍.點(diǎn)Cn到直線距離的最大值為圓心到直線的距

離與圓的半徑之和，而圓x2+y2=》的圓心（0,0）到直線x+小y+n（n+l）=0的距離為（1=

|n(n+1)|n(n+1)

W+(小)22

n(n+1),n],.?

?'-an=2------5------+2=i?+2n,

T=n2；2n=X%一6)

…+t=4［（iT）+Q_g+g_g+…+仁一制］=3

/.111、33

?一芥故選B.

9.【多選題】設(shè)｛an｝是等差數(shù)列,Sn是其前項和,且S5Vs6,S6=S7>S8,則下列結(jié)論正確的

是（）

A.d<0

B.a7=0

C.S/S5

D.S6與S7均為Sn的最大值

答案ABD

解析由｛an｝是等差數(shù)列，Sn是其前項和，且S5Vs6,S^S^Ss,則刖=$6—S5X),a7=S7

-S6=o,a8=S8-S7<0,a7+a8=S8-S6<0,則數(shù)列｛aj為遞減數(shù)列，故A,B正確；由S9

—S5=a9+as+a7+a6=2(as+a7)<0,即S9Vs5,即C錯誤；由a〕>a2>…〉a6>a7=0>a8>a9>…，

可得S6與S7均為Sn的最大值，即D正確.故選ABD.

10.(2020?大教育全國名校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列｛a,J的前n項和為Sn，且2Sn=3(an+1),若aio=kag,

貝|Jk=.

答案9

分析用n-1換2Sn=3(an+l)中的n,得2SnT=3an-i+3(n22),作差可得an=3an-i(n22),

從而數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，再由k=即=q2即可得到答案.

解析由2Sn=3a0+3,得2Sn-i=3an-i+3(n22),兩式相減，得2an=3an-3an-i,即即=

3an-i(n>2).由2si=3ai+3,解得因=-3,所以數(shù)列｛aj是首項為一3、公比為3的等比數(shù)

列，所以k=￥=q2=9.

評說本題考查已知an與Sn的關(guān)系求數(shù)列通項的問題，要注意n的范圍.

第二課時數(shù)列大題

(1)考查內(nèi)容分三塊：①等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì)：②由遞推關(guān)系求通項；③數(shù)列求和.

(2)數(shù)列大題通常有兩問，第(I)問，通常求數(shù)列通項公式，有時涉及用定義證明等差或等比

數(shù)列；第(H)問，跟和有關(guān)，通常是求前n項和或特定項和，有時也涉及不等式證明或逆求

參數(shù)等.

(3)注意數(shù)列與其他知識的結(jié)合！

----------------?2021高考押題?------------

押題一數(shù)列的證明

圖例1(2020?馬鞍山第二次質(zhì)檢)已知數(shù)列｛an｝,｛bn｝,｛Cn｝中，a,=1,-=7-+n-l,b

3n+ldnn

=?+n,e-卡

⑴求證:數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列,并求數(shù)列｛an｝,｛bn｝的通項公式;

(2)求數(shù)列｛.｝的前n項和Sn.

【分析】(1)根據(jù)‘1一=f2+n—l和bn=1++n可證明｛b"｝為等比數(shù)列，即可求得｛bn｝的通項

公式，進(jìn)而求得｛an｝的通項公式.

(2)代入(1)中所得的加=5匕，bn=2n可知Cn=l一告工=/,再錯位相減求和即可.

【解析】(1)證明：因為」-=?+n-l,故」一+n+l=?+2n即bn+i=2b”，

Hn+I即an+ldnMn7

故｛bn｝是以(+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列?故bn=2t

所以2+n=2nnan=S;

故an=2n_n，bn=2n.

(2)由(1)得Cn=11—2^~=1-—2^~=所

2n-n

所以sn=^r+^+^4—吟,

11,2,3,n—1,n

]Sn=^+了----F2n'2nli'

n

相減可得(1_gSn=*+￡+/++H---ng尹,

n+2

故Sn=2

2n.

【評說】本題主要考查了構(gòu)造數(shù)列求通項的方法，考查了等比數(shù)列的證明，同時也考查了

錯位相減法求和.屬于中檔題.

圖例2（2020?河北保定模擬）已知數(shù)列｛an｝滿足an#O,且3ali—3an+i=anan+i，等比數(shù)列｛1｝

中，b2=ai,b4=3,b6=9.

（1）證明：數(shù)列｛（｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛an｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛anan+1）的前n項和S?.

【分析】（1）由3an-3an+i=ana?+i變形可證明數(shù)列｛（｝為等差數(shù)列，結(jié)合已知條件可求出數(shù)

列｛a0｝的通項公式；（2）利用（1）的結(jié)論，得到數(shù)列｛anan+i｝的通項公式,根據(jù)數(shù)列｛a“an+i｝通項

公式的結(jié)構(gòu)特征，利用裂項相消法求得Sn.

【解析】（1）證明：anrO,且3an—3an+i=anan+”等號兩邊同時除以3anan+i,得———：=

3n+1an

j,所以數(shù)列9是公差為抽等差數(shù)列.

因為也,｝是等比數(shù)列，所以b2b6=b4?.

又tu=3,b6=9,所以9b2=9,所以b2=l,所以ai=b2=l,故A=（+；（n—D=1+；（n—

(2)由(1)知anan+i=-(n+2)"+3)=9島-尚,所以3也++%舁…+出

]傳一圭）=羽

)=9-

n+3

【評說】證明數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，需用定義或等差、等比中項性質(zhì).

圖例3（2020?湖北省七市模擬）已知數(shù)列｛aQ中，ai=l,當(dāng)n>2時，an=±七（nWN*）,數(shù)

an-i十2

列｛bn｝滿足bn=2n?anan+i.

（1）證明：數(shù)列｛5+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.

【分析】(1)將即=上上(neN*)兩邊分別取倒數(shù)，再加上1,可得;+1=2(7匚+1),

an-1~rzan\dn-\J

根據(jù)定義可知數(shù)列｛5+1｝是等比數(shù)列，從而可得其通項公式；

(2)根據(jù)通項公式，選擇合適方法求和.

【解析】(1)證明：當(dāng)n22時，an=yh(nGN*),

an-l十，

數(shù)列是以2為公比，以｝+1=2為首項的等比數(shù)列，

[dnJ31

從而丁+]=2*2口[nan=H7.

dnZ—1

|2n1]

（2）由（1）知an_2n_],,?bn_z_]）（2對1_1）_2n_1_2n+*_1'

押題二數(shù)列的通項與求和

圖例4(2020?濟(jì)南市模擬)已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且Sn=52+1n.

⑴求｛an｝的通項公式；

an，n=2k-l,k《N*,

⑵設(shè)bn=[?,z求數(shù)列｛bn｝的前2n項和T2n.

I2an,n=2k,k￡N,

【分析】(1)利用即與I之間的關(guān)系，即可求得，注意判斷n=l時的情況是否與結(jié)果吻

合；

⑵利用分組求和，結(jié)合(1)中所求｛an｝,即可求得結(jié)果.

【解析】(1)因為Sn=52+%,所以當(dāng)n=l時，ai=Si=l,

當(dāng)n22時，an=Sn—Sn-i=52+；n—；(n—1)?+；(n—1)=n,

又n=l時符合上式，所以an=n.

，

⑵因為瓦=fa葭n,，nn==22k-kl,,kkGWN”*,所以對任意的kGN*,

b2k+i—b2k-i=(2k+l)—(2k—1)=2,

則｛b2k+i｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列；

22k+2

置=k=%則｛b2k｝是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列.

所以T2n=(bl+b3+b5H-------Fb2n-l)+(b2+b4+b6H-------Fb2n)

=(1+3H---l-2n-l)+(22+24+26H----F22n)

nn+l

n(l+2n-l),4(l-4)n,44

=2+1-4=n'+~

四例5(2020?深圳第二次調(diào)研)已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛aj,a2=32,a334a5=8.

(1)求數(shù)列｛4,｝的通項公式；

(2)設(shè)bn=10g2an，Tn=|bl|+|b2|+|b3|+-+|bn|)求Tm

【分析】(1)設(shè)｛a0｝的公比為q,由題設(shè)條件列出q與首項ai的方程組，解出q和山.

(2)先由(1)中求得的an求出bn,再求Ibnl，最后通過等差數(shù)列前n項和公式即可求得T“.

【解析】(1)設(shè)各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛a?｝的公比為q,則q>0,

因為a2=32,a3a4a5=8,

a2=aiq=32,解得ai=2?,q=：,

所以

833485=34^=(a]q3)'，=8,

所以a“=29-2n(ndN*).

[9-2n,1-

9-2n

(2)由⑴知,bn=log2an=log22=9—2n,故同F(xiàn)-9,n>4,

7+9-2n

當(dāng)lWnW4時，T=n-—8n—n2；

n2

.L....(n—4)(1+2n—9)

2?

當(dāng)n>4時，Tn=(7+5+3+l)+-----------------------=n-8n+32,

8n—n2,lWnW4,

i/r1=?

nln2-8n+32,n>4.

【評說】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式、等比中項的性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項和公式、

對數(shù)運(yùn)算等知識點(diǎn)，等差數(shù)列的前n項和公式為Sn=W^Xn,考查計算能力，體現(xiàn)了基

礎(chǔ)性與綜合性，是中檔題.

國例6(2020?大慶實臉中學(xué)綜合訓(xùn)練)已知｛an｝是公差為1的等差數(shù)列，｛>｝是正項等比數(shù)列，

ai=bi=1>，cn=anbn(nGN*).

(1)在①b3=a4,②a3=3b.3,③a2=4b?這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面橫線處，判斷｛/｝

是否是遞增數(shù)列，并說明理由；

(2)若=求數(shù)列｛Sn｝的前n項和Tn.

JZanJ

【分析】(1)由題可得an=n,然后分別選①②③，求出bn和Cn,再利用作商法判斷數(shù)列｛/｝

的單調(diào)性即可；

(2)先求出數(shù)列｛Sn｝的通項Sn=￡T，然后利用等比數(shù)列前n項和公式求解.

【解析】因為｛an｝是公差為1,首項為1的等差數(shù)列，所以an=l+n—l=n.

設(shè)｛bn｝的公比為q.

cn,211?n

(1)若選①，由b3=a4,得bs=a4=4,q=2,bn=201,c-n.2n1,-—/?i\~~前=,(口4_l、

nCn+1tnIi),乙，<nIi)

<1,則C*Cn+I,所以｛5｝是遞增數(shù)列.

若選②，由a3=3b3=3,得b3=l,q=l,bn=l,cn=n,

則Cn=n〈Cn+l=n+l,所以｛Cn｝是遞增數(shù)列.

右選③，由a2=4b2=2,付b2=￥q=￡,t=跡7,0=577,京=(n+1)N11尸

1,則Cn》Cn+l,所以｛。｝不是遞增數(shù)列.

因例7(2020.遵義市南白中學(xué)模擬)己知等差數(shù)列｛aQ的前n項和為S”，且滿足：a3+a5=2,

ai+a2=5.

(1)求數(shù)列｛加｝的通項公式；

(2)記數(shù)列｛誓｝的前n項和為Tn，求Tn取得最大值時n的值.

【分析】(1)用基本量法求通項.(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求出｛*｝的通項公式，

件。，

再由jS-，即可解出n的值.

〔干wo，