第03講利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線及構(gòu)造等腰三角形（拓展提升）（原卷版）

第03講利用等腰三角形的“三線合一”作輔助線及構(gòu)造等腰三角形（拓展提升）思維導圖1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱：等腰三角形的三線合一）1.過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形2.利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形考點剖析考點一、等腰三角形中底邊有中點時，連中線例題：已知，在中，，，點是的中點，作，使得射線與射線分別交射線，于點，．(1)如圖1，當點在線段上時，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【解析】（1）連接，∵，，點是的中點∴，且，平分，∴，，又∵∴∴∴（ASA）∴．（2），理由如下：連接，由（1）可知：，，∴在和中，∴（ASA），∴，∵，∴．【變式訓練】1．如圖，在中，，，F(xiàn)是邊上的中點，點D，E分別在邊上運動，且保持．連接，則面積的最大值為．

【答案】【解析】如圖，連接，

∵在中，，，點F是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵為定值，∴要的面積最大，則的面積最小即可，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，則當最小時，的面積最小，當時，最小，此時，∴．故答案為：．2．在中，，，點為的中點．(1)若，兩邊分別交，于，兩點．如圖1，當點，分別在邊和上時，求證：；(2)如圖2，若，當點，分別在和的延長線上時，連接，若，則______;(3)如圖3，若，兩邊分別交邊于，交的延長線于，連接，若，，試求的長．【解析】（1）證明：如圖，連接，∵，，點為的中點，∴，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖，連接，∵，，點為的中點，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為：18．（3）解：如圖，連接，過點作，交的延長線于點，∵，，點為的中點，∴，，∴，，∴，∴，∴，，∵，，∴，又∵，，∴，∴，∴．考點二、等腰三角形中底邊無中點時，作高線例題：如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【解析】（1）證明：如圖，過點A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【變式訓練】1．如圖，已知，點C在邊上，，點D，E在邊上，，若，求的長．

【解析】如圖，作于，

，，，在中，，，，，．2．已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補，過點作于點，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．【解析】（1）中，，且=,

．（2）如圖，過點作于E點，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如圖，作于，于，∵與的面積相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如圖，作于，作垂直于的延長線于．則．∵，，∴，∵與的面積相等，∴．∴≌．∴．，∴，綜上，與相等或互補．考點三、巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形例題：如圖：(1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點A為上一點，過點A作，垂足為C，延長交于點B，可根據(jù)證明，則，（即點C為的中點）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實際應用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請直接寫出答案．【解析】（1）∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案為：；（2）如圖2，延長交于點F，由（1）可知，，∴，∵，∴，故答案為：；（3），證明如下：如圖3，延長、交于點F，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由問題情境可知，，∴；（4）如圖4，延長交于E，由問題情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面積是．【變式訓練】1．中，，點D是邊上的一個動點，連接并延長，過點B作交延長線于點F．

(1)如圖1，若平分，，求的值；(2)如圖2，M是延長線上一點，連接，當平分時，試探究之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)如圖3，連接，①求證：；②，，求的值．【解析】（1）如圖，分別延長，交于點．

∵，∴，又∵，∴．在和中，∴．∴；∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴；（2），理由如下：如圖所示，延長，交于點．

由（1）可得，，∴．∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴．∵．∴．（3）①如圖所示，在上截取，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴；

②如圖所示，過點C作于G，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∵，∴∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴．

考點四、利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形例題：已知，如圖中，、的平分線相交于點，過點作交、于、．

(1)如圖1若，圖中有________個等腰三角形，且與、的數(shù)量關(guān)系是________．(2)如圖2若，其他條件不變，（1）問中與、間的關(guān)系還成立嗎？請說明理由．(3)如圖3在中，若，的平分線與三角形外角的平分線交于，過點作交于，交于．請直接寫出與、間的數(shù)量關(guān)系．【解析】（1）∵，∴，，∵、的平分線相交于點，∴，，∴，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴等腰三角形有：，，，，，共個，與、的數(shù)量關(guān)系是：，故答案為：；．（2）與、的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴．（3）與、間的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：∵，∴，，又∵，分別是與的角平分線，∴，，∴，，∴，，∴．【變式訓練】1．在中，點，點在直線上，，過點作，交射線于點，過點作，交直線于點．(1)當是的角平分線，點在邊延長線上時，如圖①，求證：；（提示：延長，相交于點．）(2)當是的角平分線，點在邊上時，如圖②；當是外角的角平分線，點在邊延長線上時，如圖③，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在（1）、（2）的條件下，若，則_____________．【解析】（1）證明：如圖①，延長、相交于點G，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（2）如圖②，設與相交于于點P，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；如圖③，延長交于點H，∵是外角的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（3）如圖①，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴,∴，∴；如圖2，∵不成立，此種情況不存在；如圖③，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：2或14考點五、過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形例題：如圖，在中，D為延長線上一點，且交于點F．

(1)求證：是等腰三角形；(2)在（1）的條件下（如圖2），F(xiàn)為中點．求證：．【解析】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）過A作于G，∵，，∴，

又∵，，∴，又∵F為中點,∴，∵，∴，∴，∴．【變式訓練】1．已知，在等邊三角形中，點E在上，點D在的延長線上，且．(1)【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當點E為的中點時，確定線段與的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當點E為邊上任意一點時，確定線段與的大小關(guān)系，請你寫出結(jié)論，并說明理由．（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點E作，交于點F．（請你完成以下解答過程）．(3)【拓展結(jié)論，設計新題】在等邊三角形中，點E在直線上，點D在線段的延長線上，且，若的邊長為1，，求的長（直接寫出結(jié)果）．【解析】（1），理由如下：，，三角形為等邊三角形，，點E為的中點，，，，，，，，；（2），理由如下：過點E作，交于點F，則，∠AFE=∠ACB，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，；（3）點E在延長線上時，作，同（2）可得為等邊三角形，如圖所示，同理可得，∵，，∴，，∵，則．考點六、利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形例題：如圖，在中，，的平分線交于點D．求證：．

【解析】證明：方法一：（截長）在上截取，連接．

在和中，，，，，，，，；方法二：（補短）延長到點使得，連接．

在和中，，，，，，，；方法三：（補短）延長到點使得，連接，

，，，，，，，．【變式訓練】1．在中，，(1)如圖①，當，為的角平分線時，在上截取，連接．請證明；(2)①如圖②，當，為的角平分線時，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；②如圖③，當，為的外角平分線時，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．【解析】（1）∵為的角平分線，∴，在和中，∵∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①猜想：．證明：如圖，在上截取，連接，∵為的角平分線時，∴，∵，∴，∴，，∵，∴．∵，∴，∴，∴．②猜想：．證明：在的延長線上截取，連接．∵平分，∴．在與中，，，，∴．∴，．∴．又，，．∴．∴．∴．過關(guān)檢測一、解答題1．如圖，已知，點在邊上，，點，在邊上，，若，求的長．2．如圖，點是內(nèi)部一點，且，，連接．(1)求證：；(2)若，直接寫出的面積．3．在中，點是邊上的兩點．(1)如圖1，若，．求證：；(2)如圖2，若，，設，．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②在①的條件下，，請直接寫出的度數(shù)．4．如圖，已知中，，點D、E在直線上，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，過點D向下作，交的延長線于點F，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長交于點G，若，求四邊形的面積．5．如圖，在中，，P是線段上一個動點．(1)如圖1，若平分，交于點F，求證：；(2)