第3章不等式（章末題型歸納總結(jié)）

第3章不等式章末題型歸納總結(jié)目錄模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題題型一：不等式的性質(zhì)及應(yīng)用題型二：利用不等式求值或范圍題型三：利用基本不等式求最值題型四：證明不等式題型五：含參數(shù)與不含參數(shù)一元二次不等式的解法題型六：由一元二次不等式的解確定參數(shù)題型七：不等式在實際問題中的應(yīng)用題型八：恒成立與有解問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題題型一：不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【典例11】（2024·高一·福建福州·階段練習(xí)）已知，則下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，故選項A錯誤；當(dāng)時，，故選項B錯誤；，，故選項C正確；當(dāng)時，，故選項D錯誤.故選：C.【典例12】（2024·高一·上海·課堂例題）如果，那么下列不等式中成立的是（

）A．； B．； C．； D．.【答案】B【解析】對于A：由得，錯誤；對于B：由，則有，即，正確；對于C：由得，則根據(jù)不等式的性質(zhì)有，即，由可得，錯誤；對于D：由得，則，即，錯誤.故選：B【變式11】（2024·高一·福建泉州·期中）若，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對A：當(dāng)時，由不能推出，所以A錯誤；對B：當(dāng)，時，由不能推出，所以B錯誤；對C：當(dāng)時，由不能推出，所以C錯誤；對D：由，又，所以，所以D正確.故選：D【變式12】（2024·高一·全國·單元測試）下列說法錯誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【解析】對于A，因為，且，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，滿足，此時，不滿足，故B錯誤；對于C，因為，所以，又，所以，故C正確；對于D，若，則，故D正確.故選：B.【變式13】（2024·高一·上海楊浦·期中）設(shè)為實數(shù)，則下列命題為真命題的是（

）.A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】對于A項，顯然正確；對于B項，當(dāng)時，有，故B項錯誤；對于C項，當(dāng)時，滿足，但此時，故C項錯誤；對于D項，當(dāng)時，滿足，但此時，故D項錯誤，故選：A題型二：利用不等式求值或范圍【典例21】（2024·高一·山東·專題練習(xí)）已知，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．取值范圍為【答案】B【解析】因為，，所以，，，所以的取值范圍為，的取值范圍為，故A正確，B錯誤；因為，，所以，，，所以的取值范圍為，的取值范圍為，故C正確，D正確.故選：B【典例22】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知，,所以.故選：D.【變式21】（2024·高一·全國·單元測試）已知，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè),即,所以解得,所以因為,所以,所以,即,故選：D.【變式22】（2024·高一·全國·假期作業(yè)）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，又，所以.故選：D.【變式23】（2024·高一·山東菏澤·階段練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，所以，解得，即可得，因為，，所以，故選：A．題型三：利用基本不等式求最值【典例31】（2024·高一·廣西·開學(xué)考試）已知，且，則的最小值是.【答案】9【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故所求最小值為9，故答案為：9【典例32】（2024·高一·廣東河源·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】【解析】正數(shù)，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號．故答案為：．【變式31】（2024·高一·天津·期末）若實數(shù)，，且滿足，則的最小值為.【答案】/【解析】因為，所以，又實數(shù)，，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故答案為：.【變式32】（2024·高一·天津濱海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，則；．【答案】21【解析】因為,所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng),即x=2時等號成立，所以.故答案為：.【變式33】（2024·高一·遼寧·階段練習(xí)）已知實數(shù)、滿足：.(1)求和的最大值；(2)求的最小值和最大值.【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時等號成立，∴的最大值為，∵，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)、時等號成立，∴的最大值為；（2）∵，∴，∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時等號成立，∴的最小值為，又，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)、或、時等號成立，∴的最大值為.【變式34】（2024·高一·江蘇·開學(xué)考試）（1）求函數(shù)的最大值；（2）求函數(shù)的最小值；（3）若，且，求的最小值.【解析】（1）由，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以原函數(shù)的最大值為.（2）由，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以原函數(shù)的最小值為9.（3）因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，，所以的最小值為.【變式35】（2024·高一·天津濱海新·階段練習(xí)）（1）若，求的最大值；（2）求在時的最小值．（3）已知，且，求的最小值．（4）已知正數(shù)滿足．求的最大值．【解析】（1），，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時等號成立，的最大值為12.（2）,令,則則可化為,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,的最小值為.（3），即，解得或(舍),當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號武立，的最小值為6.（4）正數(shù)a,b,c滿足，,即,,，，當(dāng)且僅當(dāng)且,即時等號成立,故的最大值為.【變式36】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；（3）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（4）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；（5）設(shè)，求函數(shù)的值域．（6）①當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；②求函數(shù)的最大值；【解析】（1）因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為.（2）因為，所以，，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，所以函數(shù)的最大值為.（3）因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為.（4），令，則，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，也即時，取得等號，所以，所以函數(shù)的最大值為.（5）,因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得等號，所以，所以函數(shù)的值域為.（6）①令，因為，所以，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即，也即時，取得等號，所以，所以函數(shù)的最大值為1.②令，則，所以，所以，因為函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，即時，有最小值為4，所以，所以函數(shù)的最大值為.題型四：證明不等式【典例41】已知實數(shù)，求證：．【解析】因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，所以，，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以，綜上，.【典例42】（2024·高一·上海·單元測試）（1）已知、是任意實數(shù)，求證：，并指出等號成立的條件；（2）已知，，求證：．【解析】（1），即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．（2）因為（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），從而得到，所以．【變式41】（2024·高一·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）選用恰當(dāng)?shù)淖C明方法，證明下列不等式.(1)已知均為正數(shù)，且，求證：；(2)已知，求證：.【解析】（1）證明：因為，所以，又因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以．（2）證明：，因為，所以，所以，所以，即．【變式42】（2024·高一·上海浦東新·期中）若實數(shù)、、滿足，則稱比遠(yuǎn)離．(1)若比遠(yuǎn)離，求的取值范圍；(2)對任意正數(shù)，，證明：；(3)對任意兩個不相等的正數(shù)，，證明：比遠(yuǎn)離．【解析】（1）由比遠(yuǎn)離，則，解得或，所以的取值范圍是；（2）由，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，上述不等式等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；（3）若證比遠(yuǎn)離，即證，則，且，所以即證，即證，又，所以，即，即比遠(yuǎn)離.【變式43】（2024·高一·云南昆明·期中）基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，我們可以應(yīng)用其解決數(shù)學(xué)中的最值問題．(1)已知，R，證明；(2)已知，，，R，證明，并指出等號成立的條件；(3)已知，，，，證明：，并指出等號成立的條件.(4)應(yīng)用（2）（3）兩個結(jié)論解決以下兩個問題：①已知，證明：；②已知，，且，求的最小值.【解析】（1）由可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，所以.（2）因為，由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”.（3）當(dāng)，，，時，因為，由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”.（4）①由（2）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，即，所以②因為，由（3）可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.【變式44】（2024·高一·江西·階段練習(xí)）（1）設(shè)，，比較，的大小；（2）若，根據(jù)性質(zhì)“如果，，那么”，證明：.【解析】（1），所以.（2）因為，，所以，所以，即.又因為，所以.題型五：含參數(shù)與不含參數(shù)一元二次不等式的解法【典例51】（2024·高一·江蘇淮安·開學(xué)考試）解不等式(1)；(2)(3)；(4)【解析】（1）因為，解得，所以不等式的解集為.（2）因為，解得，所以不等式的解集為.（3）不等式轉(zhuǎn)化為，且，解得，所以不等式的解集為.（4）不等式轉(zhuǎn)化為，解得，所以不等式的解集為.【典例52】（2024·高一·河南駐馬店·開學(xué)考試）解下列不等式(1)(2)(3)【解析】（1）由可得，所以或，即不等式的解集為.（2）由可得，化簡可得，解得或，即不等式的解集為.（3）由，當(dāng)時，，解得，所以，當(dāng)時，，解得，所以，當(dāng)時，，解得，所以.綜上，不等式的解集為.【變式51】（2024·高一·河南駐馬店·開學(xué)考試）已知函數(shù)，．(1)解關(guān)于的不等式；(2)若方程有兩個正實數(shù)根，，求的最小值．【解析】（1）不等式即為，∴，方程的兩根分別為2和，當(dāng)時，解不等式可得，當(dāng)時，不等式無解，當(dāng)時，解不等式可得，綜上可知：當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為．（2）方程有兩個正實數(shù)根，，即方程有兩個正實數(shù)根，，則，解得，由韋達(dá)定理得，，，故，當(dāng)時，，達(dá)到最小值，故的最小值為．【變式52】（2024·高一·北京石景山·期中）求下列關(guān)于x的不等式的解集：(1)；(2)【解析】（1）由不等式，可得，解得，即不等式的解集為.（2）由不等式，可得化為，若，不等式可化為，解得，即解集為；若，不等式可化為當(dāng)時，不等式即為，解得或，即不等式的解集為或；當(dāng)時，不等式即為，①當(dāng)時，即時，解得，解集為；②當(dāng)時，即時，解得，解集為；③當(dāng)當(dāng)時，即時，解得，解集為綜上，當(dāng)時，不等式的解集為或；當(dāng)，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.【變式53】（2024·高一·上?！卧獪y試）解關(guān)于的不等式（組）．(1)(2)．【解析】（1）由得，解得，由可得，即，解得或．故不等式組的解集為．（2）當(dāng)時，不等式化為，解得；當(dāng)時，不等式化為，解得或；當(dāng)時，，不等式化為，解得；當(dāng)時，不等式化為，此時無實數(shù)解；當(dāng)時，，不等式化為，解得．綜上，時，不等式的解集是；時，不等式的解集是或；時，不等式的解集是；時，不等式無實數(shù)解；時，不等式的解集是．【變式54】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）解關(guān)于的不等式．【解析】不等式可化為，即．即.①當(dāng)，即時，不等式的解集為；②當(dāng)，即時，不等式的解集為，③當(dāng)，即時，不等式的解集為．【變式55】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：(1)；(2)．【解析】（1）原不等式等價于，即，．∵，∴原不等式的解集為．（2）∵的兩根為，．①當(dāng)即時，，即；②當(dāng)即時，，即或；③當(dāng)即時，，即或．綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為．【變式56】（2024·高一·廣東深圳·期末）（1）若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）求關(guān)于的不等式的解集.【解析】（1）若對一切x∈R恒成立，當(dāng)時，則有，滿足題意；當(dāng)時，則有，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；（2）對于不等式，，

當(dāng)時，即當(dāng)時，不等式的解集為R；當(dāng)時，即當(dāng)或時，方程的根為，此時，不等式的解集為或；綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集為R；當(dāng)或時，不等式的解集為或.題型六：由一元二次不等式的解確定參數(shù)【典例61】（2024·高一·河北石家莊·開學(xué)考試）已知不等式的解集為，則=，=【答案】【解析】依題意，不等式的解集為，所以，解得.故答案為：；【典例62】（2024·高二·陜西寶雞·期末）若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為.【答案】【解析】因為不等式的解集為，所以是的兩個根，且a>0，可得，所以，所以得，即，由得，所以,所以或，則不等式的解集為.故答案為：.【變式61】（2024·高二·福建龍巖·階段練習(xí)）若不等式的解集為，則．【答案】5【解析】由題意可知：為方程的兩根，則，即，所以.故答案為：5.【變式62】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）已知不等式的解集為，則，此時不等式的解集為．【答案】【解析】根據(jù)題意可知，的兩根分別為和，則，，解得，，所以，而可化為，解得，故答案為：，．【變式63】（2024·高一·安徽安慶·期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【解析】由已知，不等式的解集為，故，且，為方程的兩根，所以，解得，故不等式為，即，解得或.故答案為：．【變式64】（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為．【答案】2+3/【解析】因為區(qū)間是關(guān)于的一元二次不等式的解集，則a，b是關(guān)于的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，則有，，，，所以，且a，b是兩個不同的正數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時即，等號成立，滿足，故的最小值是.故答案為：.【變式65】（2024·高一·廣東潮州·期中）若關(guān)于的不等式的解集為或，則的值為.【答案】【解析】根據(jù)題意，方程的兩根為和，故可得，解得.故答案為：.題型七：不等式在實際問題中的應(yīng)用【典例71】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）經(jīng)觀測，某公路在某時段內(nèi)的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間有函數(shù)關(guān)系：．在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時，車流量y最大？【解析】因為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以當(dāng)汽車的平均速度千米/小時時，車流量y最大．【典例72】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）甲、乙兩名司機的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，假設(shè)①甲、乙各加同一種汽油兩次；②兩人第一次加油的油價均為x，第二次加油的油價均為y且；③乙每次加滿油箱加入的油量都為a升．就加油兩次來說，甲、乙誰更合算？【解析】兩次加油的油價分別是元/升且，甲加兩次油的平均單價為元/升,乙每次加油a升，加兩次油的平均單價為元/升，即甲的平均單價低，甲更合算．【變式71】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）有一批材料，可以建成長為的圍墻，如圖，如果用材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場地，中間用同樣材料隔成三個相等面積的矩形，怎樣圍法才可以取得最大面積？

【解析】如圖，設(shè)每個小矩形的長為，寬為，由題可知，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，.【變式72】（2024·高一·江蘇徐州·期中）如圖所示，為宣傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙上設(shè)計大小相等的左右兩個矩形宣傳欄，宣傳欄的面積之和為，為了美觀，要求海報上四周空白的寬度為，兩個宣傳欄之間的空隙的寬度為，設(shè)海報紙的長和寬分別為(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少?【解析】（1）由題知，兩個矩形宣傳欄的長為，寬為，所以有，整理得.（2）由（1）知，即，因為，所以由基本不等式可得，令，則，解得（舍去）或.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以海報長，寬時，用紙量最少，最少用紙量為.【變式73】（2024·高一·湖北黃岡·期中）小明同學(xué)喜歡玩折紙游戲，經(jīng)常對折紙中的一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究.已知一矩形紙片其中的周長為他把沿AC向折疊，AB折過去后交DC于點他在思索一個問題：如果改變AB的長度(周長保持不變)，的面積是否存在最大值?請幫他確定的面積是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相應(yīng)的AB的長度；若不存在，試說明理由?【解析】由題意可知，矩形的周長為，設(shè)，則設(shè)，則，，而為直角三角形，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，此時，滿足，故時，取最大面積【變式74】（2024·高一·廣東陽江·階段練習(xí)）輛貨車從站勻速駛往相距千米的站，其時速都是千米/時，為安全起見，要求每兩輛貨車的間隔等于千米（為常數(shù)，，貨車長度忽略不計）.(1)將第一輛貨車由站出發(fā)到最后一輛貨車到達(dá)站所需時間表示成的函數(shù)；(2)當(dāng)取何值時，有最小值.【解析】（1）因為輛貨車從站勻速駛往相距千米的站，其時速都是千米/時，且每兩輛貨車的間隔等于千米，第一輛貨車由站出發(fā)到最后一輛貨車到達(dá)站，最后一輛車行駛的總路程為千米，所以，.（2）因為，其中，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)千米/時，等號成立，所以，當(dāng)千米/時，取最小值.【變式75】（2024·高一·江蘇·期中）某學(xué)校準(zhǔn)備購買手套和帽子用于獎勵在秋季運動會中獲獎的運動員，其中手套的單價為元，帽子的單價為元，且.現(xiàn)有兩種購買方案.方案一：手套的購買數(shù)量為件，帽子的購買數(shù)量為個；方案二：手套的購買數(shù)量為件，帽子的購買數(shù)量為個；(1)采用方案一需花費，采用方案二需花費，試問采用哪種購買方案花費更少？請說明理由；(2)若，，，滿足，，求這兩種方案花費的差值的最小值.（注：差值）【解析】（1）方案一的總費用為，方案二的總費用為，則，因為，，所以，即，所以采用方案二花費更少.（2）由（1）可知，因為，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，令，則，所以，當(dāng)時,即，等號成立，所以差值的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，，，時，等號成立.故兩種方案花費的差值的最小值為54.題型八：恒成立與有解問題【典例81】（2024·高一·遼寧·階段練習(xí)）根據(jù)要求完成下列問題：(1)解關(guān)于的不等式；(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，當(dāng)時，即時，原不等式可化為，解得，所以原不等式的解集為；當(dāng)時，即時，原不等式可化為，當(dāng)時，即時，，因為，所以原不等式的解集為；當(dāng)時，即時，，因為，所以原不等式的解集為；（2）因為，即，因為恒成立，所以，故，令，因為，所以，所以對于一切恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，且僅當(dāng)時取等號，即實數(shù)的取值范圍為.【典例82】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）已知等式恒成立，求常數(shù)、的值．【解析】等式恒成立，即，由得：.【變式81】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】設(shè)，，則的最大值小于等于0．而，∴對稱軸，而當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴的最大值為，即，故實數(shù)的取值范圍是．【變式82】（2024·高一·全國·階段練習(xí)）已知，，且.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的最大值.【解析】（1）由，得，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最小值為8；（2）由恒成立，得恒成立，又，所以，由（1）可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，即，故的最大值是4.【變式83】（2024·高一·山東濟南·期中）（1）對任意，函數(shù)的值恒大于0，求實數(shù)的取值范圍；（2）不等式對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意，當(dāng)時，恒成立，則，因為，所以，所以，由單調(diào)遞減，知當(dāng)時，，即.（2）因為對于任意的成立，所以對于任意的成立.即恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得，，所以，解得.故實數(shù)入的取值范圍為.【變式84】（2024·高一·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）若對任意，恒成立，求的取值范圍．【解析】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故的取值范圍為．【變式85】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或.(1)求，的值；(2)當(dāng)，且滿足時，有恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）因為不等式的解集為或，所以1和是方程的兩個實數(shù)根，且，所以，解得，即，.（2）由（1）知，于是有，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，等號成立，依題意有，即，得，即，所以的取值范圍為.【變式86】（2024·高一·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)(1)若不等式的解集為，實數(shù)a，b的值；(2)若該函數(shù)過點，且對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由題意不等式的解集為，可知的兩根是1，1，所以，解得，.（2）把代入函數(shù)得，即，對任意實數(shù)x恒成立，化為在R上恒成立，①當(dāng)時，，則，不合題意；②當(dāng)時，需滿足，解得綜上可得，.

模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想【典例91】（2024·江蘇南通·高一海門市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）關(guān)于的不等式任意兩個解得差不超過14，則的最大值與最小值的差是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】不等式，時解集為，時解集為，時解集為，由題意可得時，時，解得，則的最大值與最小值的差為4，故選：B.【典例92】（2024·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可知，可以異號，可以同正，當(dāng)異號時，必有，故可以推出；當(dāng)同正時，即，由基本不等式知，則當(dāng)時，有，解得，故充分性成立；當(dāng)時，滿足，但此時，即“”不能推出“”，故必要性不成立；所以，“”是“”的充分不必要條件.故選：A【變式91】（2024·甘肅武威·高三武威第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】分類討論和兩種情況，分別計算結(jié)果，并取并集.（1）當(dāng)，即時，原不等式可化為，顯然恒成立．（2）當(dāng)時，不等式恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)可知，即，解得．綜上可知，故a的取值范圍是．故選：A．【變式92】（2024·高一課時練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解中，恰有3個整數(shù)，則實數(shù)應(yīng)滿足（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】由，得由解中恰有3個整數(shù)∴當(dāng)時，，得；當(dāng)時，，得，綜上所述，或故選：D②轉(zhuǎn)化與化歸思想【典例101】（2024·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號