湖南省長(zhǎng)沙市平高集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期六校期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

平高教育集團(tuán)湖南六校2024年度春季學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)試卷命題單位：平高教育集團(tuán)教育科學(xué)研究院命題人：蔡佳峰審題單位：平高教育集團(tuán)教育科學(xué)研究院審題人：譚志伸考試時(shí)間：2024年6月27日上午7：509：50本試題卷共4頁(yè)，22題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將條形碼粘貼在規(guī)定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用簽字筆或鋼筆將答案寫(xiě)在答題卡上，請(qǐng)勿在答題卡上使用涂改液或修正帶，寫(xiě)在本試卷上的答案無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式后根據(jù)交集運(yùn)算求解.【詳解】由所以故選：B.2.已知，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示解方程可得.【詳解】由可得，解得.故選：B3.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件進(jìn)行判斷【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與直線，即為直線與直線的斜率都是，縱截距不同，則兩直線平行，是充分條件；若直線與直線平行，當(dāng)時(shí)，兩直線方程都為，直線重合不符合題意，當(dāng)時(shí)，兩直線平行則斜率相等，截距不相等，解得，是必要條件；故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，利用指對(duì)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，則比較出大小.【詳解】因?yàn)?，且，則，，所以，故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式以及切弦互換即可求解.【詳解】.故選：A.6.已知的展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)等于36，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得求出的值，然后求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令的次數(shù)為零，求出，從而可求出展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)等于36，所以，得，因，所以，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故選：A7.第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦．假設(shè)這屆奧運(yùn)會(huì)將新增2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目和4個(gè)表演項(xiàng)目，現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地A，B，C承辦這6個(gè)新增項(xiàng)目的比賽，每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中1個(gè)項(xiàng)目，且A場(chǎng)地只能承辦競(jìng)賽項(xiàng)目，則不同的安排方法有（）A.60種 B.74種 C.88種 D.120種【答案】B【解析】【分析】按照A場(chǎng)地承辦1個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目還是2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目分類(lèi)討論，結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)A場(chǎng)地承辦1個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目時(shí)，分和兩種情況，共有種安排；當(dāng)A場(chǎng)地承辦2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目時(shí)，分和兩種情況，有種安排．故不同的安排方法共有種．故選：B.8.已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出正四棱臺(tái)的高，再分析出最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，再根據(jù)三角函數(shù)得到其半徑大小，最后利用球的表面積公式即可.【詳解】作出如圖所示正四棱臺(tái)，其中為正四棱臺(tái)的高，為其斜高，因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，，，因?yàn)?，故半徑最大的球不與上下底面同時(shí)相切，，則，則，過(guò)作正四棱臺(tái)的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則，則，則更確定最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，即該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球半徑，球的表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得到正四棱臺(tái)內(nèi)半徑的最大的球是與側(cè)面和底面同時(shí)相切的，再求出其高，得到側(cè)棱與底面夾角，作出軸截面圖形，再求出最大球半徑.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于隨機(jī)變量，下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)期望和方差變換公式和二項(xiàng)分布、正態(tài)分布相關(guān)概念求解即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，若，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.的最小正周期為C.的最小值為 D.在上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).【詳解】，函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)A，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；對(duì)B，函數(shù)的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，函數(shù)的最小值為，故C正確；對(duì)D，，，函數(shù)不單調(diào)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足，數(shù)列滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.設(shè)，，則的最小值為12.5C.若對(duì)任意的恒成立，則D.設(shè)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A：先求，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)分析求解；對(duì)于B：由，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解判斷；對(duì)于C：由對(duì)恒成立求解判斷；對(duì)于D：由，利用裂項(xiàng)相消法求解判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，若，則；若，則；若為等比數(shù)列，則，即，解得，此時(shí)符合，則，且，即為等比數(shù)列，綜上所述：，故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，令，則，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由，若，則；若，則，則；且符合上式，所以，若對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，則，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，則，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，可得，所以故答案為：.13.若橢圓的離心率為，則______.【答案】2或【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)的位置分類(lèi)討論，結(jié)合離心率的計(jì)算公式可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，則，，則；當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，則，則.故答案為：2或.14.已知曲線恒過(guò)點(diǎn)，且在拋物線上．若是上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)到的焦點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和的最小值為_(kāi)_____．【答案】7【解析】【分析】將曲線可變形為可得，進(jìn)而可得的方程為，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，拋物線的定義結(jié)合幾何性質(zhì)分析求解.【詳解】曲線可變形為令，解得，可知曲線恒過(guò)點(diǎn)，因?yàn)樵趻佄锞€上，則，解得，所以的方程為，可知的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，又因?yàn)?，可知點(diǎn)在拋物線內(nèi)，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)與的準(zhǔn)線垂直時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)到的焦點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和的最小值為7．故答案為：7.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為為銳角，且．（1）求角的大??；（2）若的面積為，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式可得，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，有．又由，可得，因?yàn)闉殇J角，所以；【小問(wèn)2詳解】由題意得，，得，由余弦定理得，可得．16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，、分別是、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）取線段、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，然后四邊形為平行四邊形，得到線線平行，從而證明線面平行；（2）根據(jù)線面角的定義，可由幾何圖形作出線面角，然后根據(jù)三角形求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：取線段、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，則，，又底面是正方形，即，則，即四邊形為平行四邊形，則，又在平面外，平面，故平面.【小問(wèn)2詳解】取線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，又，底面是邊長(zhǎng)為正方形，則，且，，又二面角的大小為，即平面平面，又平面，平面平面，則平面，則是直線與平面所成角，在中，，即，故直線與平面所成角的大小為.17.雙曲線C的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線C的一條準(zhǔn)線方程為.（1）求雙曲線C的方程；（2）若雙曲線C的一弦中點(diǎn)為，求此弦所在的直線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，得雙曲線的半焦距，再由準(zhǔn)線方程求得，從而可得，然后可得雙曲線方程．（2）設(shè)弦的兩端分別為，，利用點(diǎn)差法，代入雙曲線方程相減，利用中點(diǎn)坐標(biāo)可求得弦所在直線斜率，從而得直線方程．【小問(wèn)1詳解】∵橢圓的焦點(diǎn)為，∴∵一條準(zhǔn)線方程為，，解得，∴，∴雙曲線的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)弦的兩端分別為，．則有：．弦中點(diǎn)，．故直線斜率．則所求直線方程為：．18.已知函數(shù)．（1）若，判斷的單調(diào)性；（2）若在上沒(méi)有極值點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）【解析】【分析】（1）解不等式即可；（2）分兩種情況：即在上恒成立，或在上恒成立?！拘?wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，由，得．由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，若在上沒(méi)有極值點(diǎn)，則在上單調(diào)，即在上恒成立，或在上恒成立．若在上恒成立，則，解得，若在恒成立，則，解得．綜上所述，a的取值范圍為．19.某中學(xué)的風(fēng)箏興趣小組決定舉行一次盲盒風(fēng)箏比賽，比賽采取得分制度評(píng)選優(yōu)勝者，可選擇的風(fēng)箏為硬翅風(fēng)箏?軟翅風(fēng)箏?串式風(fēng)箏?板式風(fēng)箏?立體風(fēng)箏，共有5種風(fēng)箏，將風(fēng)箏裝入盲盒中摸取風(fēng)箏，每位參賽選手摸取硬翅風(fēng)箏或軟翅風(fēng)箏均得1分并放飛風(fēng)箏，摸取串式風(fēng)箏?板式風(fēng)箏?立體風(fēng)箏均得2分并放飛風(fēng)箏，每次摸取風(fēng)箏的結(jié)果相互獨(dú)立，且每次只能摸取1只風(fēng)箏，每位選手每次摸取硬翅風(fēng)箏或軟翅風(fēng)箏的概率為，摸取其余3種風(fēng)箏的概率為.（1）若選手甲連續(xù)摸了2次盲盒，其總得分為分，求的分布列與期望；（2）假設(shè)選手乙可持續(xù)摸取盲盒，即摸